1、考点 计数原理、排列与组合,考点清单,考向基础1.两个计数原理的联系与区别,2.排列与排列数 (1)排列:从n个不同元素中取出m(mn)个元素,按照一定的 顺序 排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)排列数:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个,数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,记作 . 注意 易混淆排列与排列数,排列是一个具体的排法,不是数而是一件 事,而排列数是所有排列的个数,是一个正整数. 3.组合与组合数 (1)组合:从n个不同元素中取出m(mn)个元素组成一组,叫做从n个不同 元素中取出m个元素的一个组合.,(2)组合数:从n个不
2、同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个 数,叫做 .从n个不同元素中取出m个元素的组合数,记作 . 注意 易混淆排列与组合问题,区分的关键是看选出的元素是否与顺序 有关,排列问题与顺序有关,组合问题与顺序无关.,4.排列数、组合数的公式及性质,考向突破,考向 计数原理、排列与组合的综合应用,例 (2018浙江,16,4分)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数 字,一共可以组成 个没有重复数字的四位数.(用数字作答),解析 含有数字0的没有重复数字的四位数共有 =540个,不含 有数字0的没有重复数字的四位数共有 =720个,故一共可以组成 540+720=1
3、 260个没有重复数字的四位数.,答案 1 260 易错警示 数字排成数时,容易出错的地方: (1)数字是否可以重复; (2)数字0不能排首位.,方法1 排列问题的常见解法 (1)直接法:把符合条件的排列数直接列式计算. (2)优先法:优先安排特殊元素或特殊位置. (3)捆绑法:把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同时注意捆 绑元素的内部排列. (4)插空法:对不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的 元素插在前面元素排列的空档中. (5)先整体后局部:“小集团”排列问题中,先整体后局部. (6)定序问题除法处理:对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除,方法技巧,以定
4、序元素的全排列. (7)间接法:正难则反,等价转化的方法.,例1 有4名男生、5名女生,全体排成一行,下列情形中各有多少种不同 的排法? (1)甲不在中间也不在两端; (2)甲、乙两人必须排在两端; (3)男女相间.,解析 (1)解法一(元素分析法):先排甲有6种排法,再排其余人有 种排 法,故共有6 =241 920种排法. 解法二(位置分析法):中间和两端有 种排法,包括甲在内的其余6人有种排法,故共有 =336720=241 920种排法. 解法三(等机会法):9个人全排列有 种排法,因为甲排在每一个位置的 机会都是均等的,则甲不在中间及两端的排法总数是 =241 920. 解法四:间接
5、法. -3 =6 =241 920(种). (2)先排甲、乙,再排其余7人. 共有 =10 080种排法. (3)插空法.先排4名男生,有 种排法,再将5名女生插空,有 种排法,故 共有 =2 880种排法.,方法2 组合问题的常见解法 组合问题的常见类型及处理方法: (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元 素取出,再由另外的元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下 的元素中选取. (2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须重视 “至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法 和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑
6、逆向思维,用间接 法处理.,例2 现有男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1人.选派5人外出 比赛.下列情形中各有多少种选法? (1)男运动员3名,女运动员2名; (2)至少有1名女运动员; (3)队长中至少有1人参加; (4)既要有队长,又要有女运动员.,解析 (1)第一步:选3名男运动员,有 种选法. 第二步:选2名女运动员,有 种选法. 故共有 =120种选法. (2)解法一(直接法):至少有1名女运动员包括: 1女4男,2女3男,3女2男,4女1男四种情况. 由分类加法计数原理可得“至少有1名女运动员”的选法有 + + + =246种. 解法二(间接法):“至少有1名女运动员”的
7、反面为“全是男运动员”, 从10人中任选5人有 种选法,其中“全是男运动员”的选法有 种. 所以“至少有1名女运动员”的选法有 - =246种. (3)解法一(分类求解):,“只有男队长”的选法有 种,“只有女队长”的选法有 种,“男、 女队长都入选”的选法有 种,所以“队长中至少有1人参加”的选法 共有2 + =196种. 解法二(间接法): 从10人中任选5人有 种选法, 其中不选队长的选法有 种,所以“队长中至少有1人参加”的选法有- =196种. (4)当已经选取女队长时,其他人任意选,共有 种选法.不选女队长时,必 选男队长,共有 种选法,其中不含女运动员的选法有 种,所以不选女 队
8、长时的选法共有( - )种.所以“既要有队长,又要有女运动员”的 选法共有 + - =191种.,方法3 分组与分配问题的解题技巧 分组、分配问题是排列组合的综合问题,解题思想是先分组后分配. (1)分组问题属于“组合”问题,常见的分组方法有三种: (i)完全均匀分组,每组元素的个数都相等; (ii)部分均匀分组,应注意不要重复; (iii)完全非均匀分组,这种分组方法不考虑重复现象. (2)分配问题属于“排列”问题,常见的分配方法有三种: (i)相同元素的分配问题常用“挡板法”; (ii)不同元素的分配问题利用分步乘法计数原理,先分组,后分配; (iii)有限制条件的分配问题采用分类法求解.,例3 将标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子中,每个盒子至少 有一个球,则一共有 种放法. 解题导引,解析 将标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子中,每个盒子至少 有一个球,故可分成(3,1,1)和(2,2,1)两组,共有 + =25种分法,再分 配到三个不同的盒子中,共有25 =150种放法.,答案 150,
