1、- 1 -第二章 概率学习目标 1.进一步理解随机变量及其概率分布的概念，了解概率分布对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程，并能够进行简单的应用.3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解 n 次独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.4.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，能计算简单的离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单的实际问题1事件概率的求法(1)条件概率的求法利用定义分别求出 P(B)和 P(AB)，解得 P(A|B) .PABPB借助古典概型公式，先求事件 B 包含的基本事件数 n，再在事件 B 发生的条件下求事件 A包含
2、的基本事件数 m，得 P(A|B) .mn(2)相互独立事件的概率若事件 A， B 相互独立，则 P(AB) P(A)P(B)(3)n 次独立重复试验在 n 次独立重复试验中，事件 A 发生 k 次的概率为Pn(k)C pkqn k， k0,1,2， n， q1 p.kn2随机变量的分布列(1)求离散型随机变量的概率分布的步骤明确随机变量 X 取哪些值；计算随机变量 X 取每一个值时的概率；将结果用二维表格形式给出计算概率时注意结合排列与组合知识(2)两种常见的分布列超几何分布若一个随机变量 X 的分布列为 P(X r) ，其中 r0,1,2,3， l， lmin( n， M)，CrMCn r
3、N MCnN则称 X 服从超几何分布二项分布若随机变量 X 的分布列为 P(X k)C pkqn k，其中 0 p1， p q1， k0,1,2， n，kn则称 X 服从参数为 n， p 的二项分布，记作 X B(n， p)3离散型随机变量的均值与方差(1)若离散型随机变量 X 的概率分布如下表：- 2 -X x1 x2 xnP p1 p2 pn则 E(X) x1p1 x2p2 xnpn，令 E(X)，则 V(X)( x1 )2p1( x2 )2p2( xn )2pn.(2)当 X H(n， M， N)时，E(X) ， V(X) .nMN nMN MN nN2N 1(3)当 X B(n， p)
4、时， E(X) np， V(X) np(1 p)类型一 条件概率的求法例 1 口袋中有 2 个白球和 4 个红球，现从中随机不放回地连续抽取两次，每次抽取 1 个，则：(1)第一次取出的是红球的概率是多少？(2)第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少？(3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率是多少？反思与感悟 条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清要求的条件概率是在什么条件下发生的概率一般地，计算条件概率常有两种方法- 3 -(1)P(B|A) .(2)P(B|A) .PABPA nABnA在古典概型下， n(AB)指事件 A 与事件 B 同时发生的
5、基本事件个数； n(A)是指事件 A 发生的基本事件个数跟踪训练 1 掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出 6 点，问“掷出点数之和大于或等于10”的概率类型二 互斥、对立、独立事件的概率例 2 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 和 .现安排甲组研23 35发新产品 A，乙组研发新产品 B.设甲、乙两组的研发相互独立(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品 A 研发成功，预计企业可获利润 120 万元；若新产品 B 研发成功，预计企业可获利润 100 万元求该企业可获利润的概率分布和均值- 4 -反思与感悟 在求解此类问题中，主要运用对立事件、独立事件的
6、概率公式(1)P(A)1 P( )A(2)若事件 A， B 相互独立，则 P(AB) P(A)P(B)(3)若事件 A， B 是互斥事件，则 P(A B) P(A) P(B)跟踪训练 2 红队队员甲，乙，丙与蓝队队员 A， B， C 进行围棋比赛，甲对 A、乙对 B、丙对C 各一盘已知甲胜 A，乙胜 B，丙胜 C 的概率分别为 0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用 表示红队队员获胜的总盘数，求 P( 1)类型三 离散型随机变量的概率分布、均值和方差例 3 一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有 1,2,2,3,3,
7、3 六个数字)，(1)设随机变量 表示一次掷得的点数和，求 的概率分布；(2)若连续投掷 10 次，设随机变量 表示一次掷得的点数和大于 5 的次数，求 E( )，V( )- 5 -反思与感悟 求离散型随机变量的均值与方差的步骤跟踪训练 3 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜 3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是 外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 ，假设各局比赛结果相12 23互独立(1)分别求甲队以 30,31,32 胜利的概率；(2)若比赛结果为 30 或 31，则胜利方得 3 分，对方得 0 分；若比赛结果为 32，则胜利方得 2 分，对方得 1 分，求乙队得
8、分 X 的概率分布及均值- 6 -类型四 概率的实际应用例 4 某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得 10 分，回答不正确得 0 分，第三个问题回答正确得 20 分，回答不正确得10分如果一个挑战者回答前两个问题正确的概率都是 0.8，回答第三个问题正确的概率为0.6，且各题回答正确与否相互之间没有影响(1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分 的概率分布和均值；(2)求这位挑战者总得分不为负分(即 0)的概率- 7 -反思与感悟 解需要分类讨论的问题的实质是：整体问题转化为部分问题来解决转化成部分问题后增加了题设条件，易于解题，这也是解决需要分
9、类讨论问题的总的指导思想跟踪训练 4 某地有 A， B， C， D 四人先后感染了甲型 H1N1 流感，其中只有 A 到过疫区， B肯定是受 A 感染，对于 C，因为难以断定他是受 A 还是受 B 感染的，于是假定他受 A 和受 B感染的概率都是 .同样也假定 D 受 A、 B 和 C 感染的概率都是 .在这种假定之下， B、 C、 D 中12 13直接受 A 感染的人数 X 就是一个随机变量写出 X 的概率分布- 8 -1抛掷一枚骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过 4，则出现的点数是奇数的概率为_2在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题事件 A 为“取到的 2 道题中至少有
10、一道理科题” ，事件 B 为“取到的 2 道题中一题为理科题，另一题为文科题” ，则 P(B|A)_.3设随机变量 的分布列为 P( k)C ( )k( )n k， k0,1,2， n，且 E( )24，kn23 13则 V( )的值为_4设 X 为随机变量， X B(n， )，若 X 的方差为 V(X) ，则 P(X2)_.13 435盒子中有 5 个球，其中 3 个白球，2 个黑球，从中任取两个球，求取出白球的均值和方差- 9 -1条件概率的两个求解策略(1)定义法：计算 P(A)， P(B)， P(AB)，利用 P(A|B) 求解PABPB(或 PB|A PABPA)(2)缩小样本空间法
11、：利用 P(B|A) 求解nABnA其中(2)常用于古典概型的概率计算问题2求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题(1)“P(AB) P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具(2)涉及“至多” “至少” “恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系(3)公式“ P(A B)1 P( )”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率AB3求解实际问题的均值与方差的解题思路：先要将实际问题数学化，然后求出随机变量的概率分布，同时要注意运用两点分布、二项分布等特殊分布的均值、方差公式以及均值与方差的线性性质- 10 -答案精析题型探究例 1
12、 解 记事件 A：第一次取出的球是红球；事件 B：第二次取出的球是红球(1)从口袋中随机不放回地连续抽取两次，每次抽取 1 个，所有基本事件共 65 个；第一次取出的球是红球，第二次是其余 5 个球中的任一个，符合条件的事件有 45 个，所以 P(A) .4565 23(2)从口袋中随机不放回地连续抽取两次，每次抽取 1 个，所有基本事件共 65 个；第一次和第二次都取出的球是红球，相当于取两个球，都是红球，符合条件的事件有 43 个，所以 P(AB) .4365 25(3)利用条件概率的计算公式，可得 P(B|A) .PABPA2523 35跟踪训练 1 解 设“掷出点数之和大于或等于 10
13、”为事件 A， “第一颗骰子掷出 6 点”为事件 B.方法一 P(A|B) .PABPB336636 12方法二 “第一颗骰子掷出 6 点”的情况有(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共 6 种， n(B)6.“掷出点数之和大于或等于 10”且“第一颗骰子掷出 6 点”的情况有(6,4)，(6,5)，(6,6)，共 3 种，即 n(AB)3. P(A|B) .nABnB 36 12例 2 解 记 E甲组研发新产品成功， F乙组研发新产品成功由题设知P(E) ， P( ) ， P(F) ， P( ) ，且事件 E 与 F， E 与 ， 与 F， 与 都相互独立
14、23 E 13 35 F 25 F E E F(1)记 H至少有一种新产品研发成功，则 ，H EF于是 P( ) P( )P( ) H E F13 25 ，215- 11 -故所求的概率为 P(H)1 P( )1 .H215 1315(2)设企业可获利润为 X 万元，则 X 的可能取值为 0,100,120,220.因为 P(X0) P( ) EF13 25 ，215P(X100) P( F) E13 35 315 ，15P(X120) P(E ) ，F23 25 415P(X220) P(E F) 23 35 615 ，25故所求的概率分布如下表：X 0 100 120 220P 215 1
15、5 415 25E(X)0 100 120 220 140.215 15 415 25跟踪训练 2 解 (1)设“甲胜 A”为事件 D， “乙胜 B”为事件 E， “丙胜 C”为事件 F，则 ，D， 分别表示甲不胜 A、乙不胜 B、丙不胜 C 的事件因为 P(D)0.6， P(E)0.5， P(F)E F0.5.由对立事件的概率公式知， P( )0.4， P( )0.5， P( )0.5.D E F红队至少两人获胜的事件有 DE ， D F， EF， DEF.F E D由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P P(DE ) P(D F) P( EF) P
16、(DEF)F E D0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.50.55.(2)由题意知， 的可能取值为 0,1,2,3.P( 0) P( )0.40.50.5DEF0.1，P( 1) P( F) P( E )DE DFP(D )0.40.50.50.40.50.50.60.50.50.35，EF所以 P( 1) P( 0) P( 1)0.45.- 12 -例 3 解 (1)由已知，随机变量 的取值为 2,3,4,5,6.设掷一个正方体骰子所得点数为 0，P( 01) ， P( 02) ，16 13P( 03) ，12所以 P( 2) ，16 16 136P( 3)
17、2 ，16 13 19P( 4)2 ，16 12 13 13 518P( 5)2 ，13 12 13P( 6) .12 12 14故 的概率分布为 2 3 4 5 6P 136 19 518 13 14(2)由已知，满足条件的一次投掷的点数和取值为 6，设某次发生的概率为 p，由(1)知， p.14因为随机变量 B ，(10，14)所以 E( ) np10 ，14 52V( ) np(1 p)10 .14 34 158跟踪训练 3 解 (1)记“甲队以 30 胜利”为事件 A1， “甲队以 31 胜利”为事件 A2， “甲队以 32 胜利”为事件 A3，由题意知各局比赛结果相互独立，故 P(A
18、1)( )3 ，23 827P(A2)C ( )2(1 ) ，2323 23 23 827P(A3)C ( )2(1 )2 .2423 23 12 427所以，甲队以 30,31,32 胜利的概率分别是 ， ， .827827 427- 13 -(2)设“乙队以 32 胜利”为事件 A4，由题意知各局比赛结果相互独立，所以 P(A4)C (1 )2( )2(1 ) .2423 23 12 427由题意知，随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3，根据事件的互斥性，得P(X0) P(A1 A2) P(A1) P(A2) ，1627P(X1) P(A3) ，427P(X2) P(A4) ，4
19、27P(X3)1 P(X0) P(X1) P(X2) .19故 X 的概率分布为X 0 1 2 3P 1627 427 427 19所以 E(X)0 1 2 3 .1627 427 427 19 79例 4 解 (1)三个问题均答错，得 00(10)10(分)三个问题均答对，得 10102040(分)三个问题一对两错，包括两种情况：前两个问题一对一错，第三个问题错，得 100(10)0(分)；前两个问题错，第三个问题对，得 002020(分)三个问题两对一错，也包括两种情况：前两个问题对，第三个问题错，得 1010(10)10(分)；第三个问题对，前两个问题一对一错，得 2010030(分)故
20、 的可能取值为10,0,10,20,30,40.P( 10)0.20.20.40.016，P( 0)C 0.20.80.40.128，12P( 10)0.80.80.40.256，- 14 -P( 20)0.20.20.60.024，P( 30)C 0.80.20.6120.192，P( 40)0.80.80.60.384.所以 的概率分布为 10 0 10 20 30 40P 0.016 0.128 0.256 0.024 0.192 0.384所以 E( )100.01600.128100.256200.024300.192400.38424.(2)这位挑战者总得分不为负分的概率为P( 0
21、)1 P( 0)10.0160.984.跟踪训练 4 解 (1) A 直接感染一个人有 2 种情况：分别是 A B C D 和 A BError!，概率是 ；12 13 12 13 13(2)A 直接感染二个人有 3 种情况：分别是 AError!， AError!， AError!，概率是 12 13 12 ；13 12 13 12(3)A 直接感染三个人只有一种情况： ABDC，概率是 .12 13 16随机变量 X 的概率分布是X 1 2 3P 13 12 16当堂训练1. 2. 3.8 4.12 23 802435解 取出的白球个数 可能取值为 0,1,2. 0 时表示取出的两个球都为黑球，即 P( 0) .C2C25 110 1 表示取出的两个球中一个黑球，一个白球，即 P( 1) .C13C12C25 35 2 表示取出的两个球均为白球，即 P( 2) .C23C25 310- 15 -于是 E( )0 1 2110 35 3101.2，V( )(01.2) 2 (11.2) 2 (21.2) 2 0.36.110 35 310
