1、1培优点五 导数的应用1利用导数判断单调性例 1：求函数 323exfx的单调区间【答案】见解析【解析】第一步：先确定定义域， fx定义域为 R，第二步：求导： 232336ee9exxfx3ex，第三步：令 0fx，即 3e0xx，第四步：处理恒正恒负的因式，可得 3，第五步：求解 3,0,x，列出表格2函数的极值例 2：求函数 ()exf的极值【答案】 x的极大值为 1ef，无极小值【解析】 exxf令 0fx解得： 1， f的单调区间为：2fx的极大值为 1ef，无极小值3利用导数判断函数的最值例 3：已知函数 lnmfxR在区间 1,e上取得最小值 4，则 m_【答案】 e【解析】思路
2、一：函数 fx的定义域为 0,， 2fx当 0fx时， 210m，当 m时， f， fx为增函数，所以 min()(1)4fxf， m，矛盾舍去；当 0时，若 0,xm， 0fx， fx为减函数，若 ,x， 0fx，fx为增函数，所以 ln1f为极小值，也是最小值；当 1m，即 0时， fx在 1,e上单调递增，所以 min()(1)4fxf，所以 4（矛盾） ；当 e，即 e时， fx在 ,e上单调递减， minefxf，所以 3m；当 1e，即 1m时， fx在 1,e上的最小值为 l14f，此时 3（矛盾） 综上 e思路二： 21xfx，令导数 0fxm，考虑最小值点只有可能在边界点与极
3、值点处取得，因此可假设 m， 1， e分别为函数的最小值点，求出 m后再检验即可3对点增分集训一、单选题1函数 lnfx的单调递减区间为（ ）A 0, B 0,C 1,D ,1,【答案】A【解析】函数 lnyx的导数为 1yx，令 0yx，得 ，结合函数的定义域，得当 0,时，函数为单调减函数因此，函数 lnyx的单调递减区间是 ,1故选 A2若 1是函数 lfax的极值点，则（ ）A fx有极大值 B fx有极小值 1C f有极大值 0 D f有极小值 0【答案】A【解析】因为 1x是函数 lnfxa的极值点，所以 1f，0a， a， 10fx当 时， 0fx；当 1x时，fx，因此 fx有
4、极大值 ，故选 A3已知函数 3a在 ,1上单调递减，且 2agx在区间 1,2上既有最大值，又有最小值，则实数 的取值范围是（ ）A 2aB 3C 3aD 3a【答案】C【解析】因为函数 3fxax在 ,1上单调递减，4所以 230fxa对于一切 ,1x恒成立，得 23xa， 3，又因为 2agx在区间 1,2上既有最大值，又有最小值，所以，可知 2x在 ,上有零点，也就是极值点，即有解 0a，在 1,2上解得 2ax，可得 8a， 3，故选 C4函数 321yxm是 R上的单调函数，则 m的范围是（ ）A 1,B ,3C 1,3D 1,3【答案】C【解析】若函数 321yxm是 R上的单调
5、函数，只需 230yxm恒成立，即 4120， 故选 C5遇见你的那一刻，我的心电图就如函数 1lnsixy的图象大致为（ ）A B C D【答案】A【解析】由 1lnsixy，其定义域为 10x，即 1x， lsi1fxx，则 0ff函数为奇函数，故排除 C、D，52cos01fxx ，则函数在定义域内单调递减，排除 B，故选 A6函数 321fa在 ,2内存在极值点，则（ ）A 12aB 12aC 12a或 D 12a或 【答案】A【解析】若函数 3211fxax在 ,x无极值点，则 2 0fxax或2 0fxa在 ,恒成立当 2x在 1,2x恒成立时， 1a时， 210fa，得 12a；
6、2a时， 4+0fa，得 a；当 2fxx在 1,2x恒成立时，则 120fa且 4+0fa，得 1a；综上，无极值时 12a或 在 2a在 1,2x存在极值故选 A7已知 fxx， R，若函数 3gaxf在区间 1,3上单调递减，则实数 a的取值范围是（ ）A 1a或 3B 1或 3aC 9或 3D 9a或 【答案】D【解析】因为 22gxx ，函数 32gxaxf在区间 1,3上单调递减，所以 0x在区间 1,3上恒成立，只需 1 3g，即2067a解得 9a或 3，故选 D68函数 yfx在定义域 3,2内可导，其图像如图所示记 yfx的导函数为f，则不等式 0f的解集为（ ）A 1,2
7、,3B 148,23C 31,2 D 14,323【答案】A【解析】由图象知 1,3和 2,上 fx递减，因此 0fx的解集为 1,2,3故选 A9设函数 1ln03fxx，则 yfx（ ）A在区间 ,e， ,内均有零点B在区间 1,， ,内均无零点C在区间 ,e内有零点，在区间 1,e内无零点D在区间 1,内无零点，在区间 ,内有零点【答案】D【解析】 fx的定义域为 0,， fx在 0,3单调递减， 3,单调递增，713fx，当在区间 ,e上时， fx在其上单调， 10e3f， 103f，故 fx在区间1,上无零点，当在区间 ,e上时， fx在其上单调， e103f， 103f，故 fx在
8、区间1,上有零点故选 D10若函数 321fxax既有极大值又有极小值，则实数 a的取值范围为（ ）A 12aB 12C 1a或 2D 1或 2【答案】D【解析】 321fxax， 236fxxa ，函数 f 既有极大值又有极小值，23620fxax有两个不等的实数根， a，则 1a或 2，故选 D11已知函数 32fxxbc的两个极值点分别在 ,0与 ,1内，则 2ab的取值范围是（ ）A 3,2B 3,12C 13,2D 31,2【答案】A【解析】 由函数 32fxaxbc， 求导 234fxaxb，fx的两个极值点分别在区间 1,0与 ,内， 由 0的两个根分别在8区间 0,1与 ,内，
9、01 ff，令 2zab， 转化为在约束条件为304ba时，求 2zab的取值范围，可行域如下阴影（不包括边界） ，目标函数转化为 2zab， 由图可知， z在 3,04A处取得最大值 32，在 ,04B处取得最小值 3， 可行域不包含边界， 2zab的取值范围 ,本题选择 A 选项12设函数 yfx在区间 ,ab上的导函数为 fx， f在区间 ,ab上的导函数为fx，若在区间,ab上 0fx，则称函数 fx在区间 ,ab上为“凹函数” ，已知54212fm在区间 1,3上为“凹函数” ，则实数 m的取值范围为（ ）A 3,9B ,59C ,5D ,3【答案】D【解析】 542120fxmx，
10、 341mxfx， 324fxm，9函数在区间 1,3上为“凹函数” 0fx， 3240xm在 ,上恒成立，即 24m在 1,3上恒成立 2y在 1,3上为单调增函数， x， 3m，故选 D二、填空题13函数 32fxx在区间 1,上的最大值是_【答案】8【解析】 26432fxx ，已知 1,2x，当 23或 10时， 0f， f在该区间是增函数，当 0x时， fx， fx在该区间是减函数，故函数在 处取极大值， 0f，又 28f，故 fx的最大值是 814若函数 3234fxax在 ,1， ,上都是单调增函数，则实数 a的取值集合是_【答案】 153,4【解析】 3234fxax， 23f
11、xax，函数 f 在 ,1， ,上都是单调增函数，则 10f，即 320a，解得 3a， 20f，即 1540a，解得 154a，则实数 a的取值集合是 15,4，故答案为 15,415函数 2lnfxaxR在 ,2内不存在极值点，则 a的取值范围是_【答案】 2或 810【解析】函数 2ln1fxaxR在 ,2内不存在极值点2lf在 ,内单调 函数 0fx或 fxaR在 1,2内恒成立，由 20afx在 1,2内恒成立 2minax， 1,2，即 ，同理可得 8，故答案为 或 816已知函数 elnxfa， 当 1a时， f有最大值； 对于任意的 0，函数 fx是 0,上的增函数； 对于任意
12、的 a，函数 f一定存在最小值； 对于任意的 0，都有 0fx其中正确结论的序号是_ （写出所有正确结论的序号）【答案】【解析】由函数的解析式可得： exaf，当 1时， 1exf，21exf， fx单调递增，且 10f，据此可知当 时， 0f， fx单调递增，函数没有最大值，说法错误；当 0a时，函数 exy， lna均为单调递增函数，则函数 fx是 0,上的增函数，说法正确；当 时， exf单调递增，且 e10af，且当 0limexa，据此可知存在 0,x，在区间 0,x上， 0fx， fx单调递减；在区间 ,上， f， f单调递增；11函数 fx在 0处取得最小值，说法正确；当 1a时
13、， elnxf，由于 5e0,，故 51,， 55eeln0f，说法错误；综上可得：正确结论的序号是三、解答题17已知函数 lnfxaR（1）讨论函数 f在 0,上的单调性；（2）证明： 2elnx恒成立【答案】 （1）当 0a时， fx在 0,上单调递增；当 0a时， fx在 10,a上单调递增，在 1,a上单调递减；（2）见解析【解析】 （1） 1axfx0，当 0a时， 0f恒成立，所以， f在 ,上单调递增；当 时，令 fx，得到 1xa，所以，当 10,xa时， 0fx， fx单调递增，当 1,xa时， 0f， f单调递减综上所述，当 时， fx在 ,上单调递增；当 0a时， fx在
14、 10,a上单调递增，在 1,a上单调递减（2）证法一：由（1）可知，当 0a时， 1lnlfxa，12特别地，取 1ea，有 ln0ex，即 lnex，所以 2lnex（当且仅当 ex时等号成立） ，因此，要证 2lx恒成立，只要证明 x在 0,上恒成立即可，设 eg 0，则 2e1xg，当 ,1x时， x， 单调递减，当 ,时， 0g， x单调递增所以，当 1x时， min1e，即 x在 0,上恒成立因此，有 2elx，又因为两个等号不能同时成立，所以有 2eln0x恒成立证法二：记函数 2ellnex，则 211x ，可知 x在 0,上单调递增，又由 10， 知， 在 0,上有唯一实根
15、0，且 012x，则 021ex，即 021ex（*） ，当 0,时， ， 单调递减；当 0,时， 0x， x单调递增，所以 020elnxx，结合（*）式 021ex，知 002lnx，所以 2200001xxx，则 2elnx，即 2elnx，所以有 2eln恒成立18已知函数 ,xfabaR，其导函数为 yfx（1）当 2b时，若函数 yf在 上有且只有一个零点，求实数 a的取值范围；（2）设 0a，点 ,Pmn是曲线 yfx上的一个定点，是否存在实数0x使得 0002xfxfm成立？并证明你的结论13【答案】 （1） 2ea或 0,；（2）不存在，见解析【解析】 （1）当 2b时，ex
16、fa， aR， e2xfa， aR，由题意得 20x，即 2x，令 exh，则 40exh，解得 2，当 2时， 0， 单调递减；当 x时， 0hx， x单调递增，2()eminhx，当 1时， 40h，当 2x时， 20exh，则 2ea或 ,时， f在 R上有且只有一个零点（2）由 2xfab，得 e2xfab，假设存在 0，则有 0 000 0xmxmffnf f ，即 0002fxfmfx， ，0002exfab，0 02000 0ex xm mxafxf b ，0002 0eexmxmaabb ，即 002xmxm， a，002exmx，令 0tx，则 2ett，两边同时除以 em，得 1tt，即 2e1tt，14令 2e1ttg， 22ee1tttt tg，令 2th在 0,上单调递增，且 0h，0t对于 ,t恒成立，即 gt对于 ,t恒成立，eg在 ,上单调递增， 0，0t对于 ,t恒成立， 002exmxma不成立，同理， 0txm时，也不成立，不存在实数 0使得 0002xmfxnf成立
