1、1第二章 第二节 圆的对称性1如图，已知O 的半径为 10cm，弦 AB 的长为 12cm，则弦 AB 的弦心距 OE的长为（ ）A 5cm B 6cm C 7cm D 8cm2如图，在平面直角坐标系中，A 经过原点 O，并且分别与 x 轴、y 轴交于B、 C 两点，已知 B（8，0） ，C（0，6） ，则A 的半径为( )A 3 B 4 C 5 D 833如图，在O 中，直径 CD 垂直于弦 AB，若C=25，则BOD 的度数是（ ）A 25 B 30 C 40 D 504如图，半径为 3 的O 内有一点 A，OA= ，点 P 在O 上，当OPA 最大时，PA的长等于（ ）A B C3 D2
2、5如图，O 的直径 CD 垂直于弦 AB，AOC=40，则CDB的度数为（ ）A10 B20 C30 D406下列判断中正确的是( )A平分弦的直径垂直于弦 B平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 D平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦7 “圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作九章算术中的一个问题， “今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问锯几何？”用现代的数学语言表述是：“如图，CD为O 的直径，弦 ABCD 垂足为 E，CE=1 寸，AB=10 寸，求直径 CD 的长” ，依题意，CD 长为（ ）A12 寸 B13 寸 C24 寸 D
3、26 寸8一条排水管的截面如图所示，已知该排水管的半径 OA=10，水面宽 AB=16，则排水管内水的最大深度 CD 的长为 （ ） A 8 B 6 C 5 D 429如图，点 A是半圆上的一个三等分点，点 B为弧 AD的中点， P是直径 CD上一动点，O 的半径是 2，则 P的最小值为（ ）A 2 B 5 C 31 D 210如图，已知O 的直径 AB=12，E、F 为 AB 的三等分点，M、N 为弧 AB 上两点，且MEB=NFB=60，则 EM+FN=（ ）A、 32 B、 3 C、 23 D、3311O 的直径为 10，弦 AB=6，P 是弦 AB 上一动点，则 OP 的取值范围是 1
4、2如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点 ，弦 AD 平分BAC，交 BC 于点E，AB5，AD4，则 AE 的长为 13如图，在 O 中，弦 AB 的长为 8cm，圆心 O 到 AB 的距离为 3cm求： O 的半径14如图 AB 是O 的直径，弦 EFAB 于点 D，如果 EF=10，AD=1，则O 半径的长是_ _.15ABC 是半径为 2cm 的圆内接三角形，若 BC= 32cm，则A 的度数为 .16如图，O 的弦 AB8，直径 CDAB 于 M，OM:MD3:2，则O 的半径为 17如图，在O 中，CD 是直径，弦 ABCD，垂足为 E，连接 BC，若 AB=2 cm，BCD=
5、22.5，则O 的半径为_cm18赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约 1400 年，历 经无数次洪水冲击和 8 次地震却安然无恙如图，若桥跨度 AB 约为 40 米，主拱高 CD 约 10 米，则桥弧 AB 所在圆的半径 R_米第 15 题图319 O的 半径为 5，弦 AB的长为 8， M是弦 AB上的动点，则线段 OM长的最小值为_.20弦 AB 将O 分成度数之比为 1：5 的两段弧，则AOB=_21如图，点 A、B、C、D 在O 上，AB 与 OC、OD 分别相交于点 E、F，如果 AEBF，那么 AC 与BD 相等吗？请说明理由22如图，AB 是O 的直径，C 是 ABD的中点
6、，CEAB 于点 E，BD 交 CE 于点 F（1）求证：CF=BF（2）若 CD=6，CA=8，求 AE 的长23如图，BD 为O 的直径，AB=AC，AD 交 BC 于点 E，AE=2，ED=4OEDCBA（1）判断ABE 与ADB 是否相似，并说明理由；4（2）求 AB 的长。（3）求 C的正切值；24如图，已知 AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，点 M 在O 上，M=D（1）判断 BC、MD 的位置关系，并说明理由；（2）若 AE=16，BE=4，求线段 CD 的长；（3）若 MD 恰好经过圆心 O，求D 的度数25如图，C 经过原点且与两坐标轴分别交于 A、B 两点，点 A
7、 的坐标为（0，4） ，M 是圆上一点，BMO120，求C 的半径和圆心 C 的坐标26如图所示， AB是圆 O 的一条弦， DAB，垂足为 C，交圆 O 于点 D，点 E在圆 O 上（1）若 52AOD，求 EB的度数；5（2）若 AC= 7，CD=1，求圆 O 的半径27如图，BE 是O 的直径， 半径 OA弦 BC，点 D 为垂足，连 AE，EC（1）若AEC=28，求AOB 的度数；（2）若BEA=B，B C=6，求O 的半径28如图，M 经过 O 点，并且M 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，线段 OA，OB（OAOB）的长是方程 06172x的两根6（1）求线段 OA，OB
8、 的长；（2）已知点 C 是劣弧 AO的中点，连结 MC 交 OA 轴于点 E判断 MC 与 OA 的位置关系，并说明理由；求点 C 的坐标7答案详解：1D试题分析：连接 OA，根据垂径定理求出 AE 的长，根据勾股定理计算即可得到答案解：连接 OA，OEAB，AE= AB=6cm，OE= =8cm故选：D2C试题分析：过点 A 作 ADOC，AEOB，根据垂径定理可得：OD=3， BE=4 即 AE=OD=3，根据 RtABE 的勾股定理可得 AB=5，即圆 A 的半径为 5.3D试题分析：根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半根据直径 C
9、DAB，可得弧 AD=弧 BD，则DOB=2C=504B试题分析：当 PAOA 时，PA 取最小值，OPA 取得最大值，然后在直角三角形 OPA 中利用勾股定理求 PA 的值即可解：OA、OP 是定值，在OPA 中，当OPA 取最大值时，PA 取最小值，PAOA 时，PA 取最小值；在直角三角形 OPA 中，OA= ，OP=3，PA= = 故选 B点拨：本题考查了解直角三角形解答此题的关键是找出“当 PAOA 时，PA 取最小值”即“PAOA 时，OPA 取最大值”这一隐含条件85B试题分析：连接 AD，根据圆周角定理求出ADC=12AOC=20CDAB， AC，CDB=ADC=20故选 B6
10、C试题解析：A、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故本选项错误；B、平分弦的直径也必平分弦所对的两条弧，故本选项错误；C、弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧，符合垂径定理，故本选项正确；D、平分一条弧的直径必平分这条弧所对的弦，故本选项错误故选 C7D试题分析：连接 OA，如图所示，设直径 CD 的长为 2x，则半径 OC=x，CD 为O 的直径，弦ABCD 于 E，AB=10 寸，AE=BE=12AB= 10=5 寸，连接 OA，则 OA=x 寸，根据勾股定理得x2=52+（x1） 2，解得 x=13，CD=2x=213=26（寸） 故选 D8D试题分析：根据垂径定理可得：OA=10，AC=8
11、，根据直角AOC 的勾股定理可得：OC=6，则CD=106=4.9D解：作点 A 关于 MN 的对称点 A，连接 A B，交 MN 于点 P，连接 OA， OB， AA点 A 与 A关于 MN 对称，点 A 是半圆上的一个三等分点， A ON= AON=60， PA=PA，9点 B 是弧 AN 的中点， BON=30， A OB= A ON+ BON=90，又 OA=OA=2， A B=2， PA+PB=PA+ PB=A B=2故选 D10C试题解析：如 图，过点 O 作直线 CDEM，分别交 EM，NF 的延长线于点 C、点 D；连接 OM、ON；OA=OB，AE=BF，OE=OF；又圆 O
12、 的直径 AB=12，E、F 为 AB 的三等分点，OE=OF=2，OM=6；MEB=NFB=60，CO=DO=2sin60= 3，EC=DF=2cos60=1；又OCEM，ODDN，CM=DN；EM+FN=CM+1+DN-1=2CM；由勾股定理得：CM2=OM2-OC2=36-3=33，CM= 3，2CM=2 3故选 C114OP5试题分析：因为O 的直径为 10，所以半径为 5，则 OP 的最大值为 5，OP 的最小值就是弦 AB 的弦10心距的长，所以，过点 O 作弦 AB 的弦心距 OM，利用勾股定理，求出 OM=4，即 OP 的最小值为 4，所以 4OP5解：如图：连接 OA，作 O
13、MAB 与 M，O 的直径为 10，半径为 5，OP 的最大值为 5，OMAB 与 M，AM=BM，AB=6，AM=3，在 RtAOM 中，OM= =4，OM 的长即为 OP 的最小值，4OP5故答案为：4OP512 74试题分析：试题分析：如图 1，连接 BD、CD，AB 为O 的直径，ADB=90，BD=2ABD= 254=3，弦 AD 平分BAC，CD=BD=3，CBD=DAB，在ABD 和BED中，BAD=EBD ，ADB=BDE，ABDBED， DEBA，即 34，解得DE= 94，AE=ABDE= 94= 7故选 135 cm11连接 OB，构造直角三角形 BOC，根据垂径定理和弦
14、心距得到直角三角形直角边长，利用勾股定理直接求圆的半径即可解：连接 OB，则AC=BC= AB，AB=8cm，OC=3cm BC=4cm在 RtBOC 中，OB= =5cm 即O 的半径是 5cm故答案为 5。1413试题分析：连接 OE，如下图所示，则：OE=OA=R，AB 是O 的直径，弦 EFAB，ED=DF =5，OD=OAAD，OD=R1，在 RtODE 中，由勾股定理可得： 22OED， 2(1)5R， 13R故答案为：131560或 120试题分析：由外接圆公式：2R= sinisinBCABC，且已知 R=2，BC= 32，所以 sinA= 32R，因为A 为三角形内角，所以
15、A 的度数为 60或 120165试题分析：连接 OB，设 OM=3x，则 MD=2x，0B=5x，BM=4，根据 RtBOM 的勾股定理可得：x=1，则12BO=5x=5，即圆的半径为 5172试题分析：先根据圆周角定理得到BOD=2BCD=45，再根据垂径定理得到 BE= AB= ，且BOE 为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解解：连结 OB，如图，BCD=2230，BOD=2BCD=45，ABCD，BE=AE= AB= 2 = ，BOE 为等腰直角三角形，OB= BE=2（cm） 故答案为：21825试题分析：根据垂径定理，得 AD= AB=20 米设圆的半径是 R，根据勾
16、股定理，得R2=202+（R10） 2，解得 R=25 米193试题分析：根据题意可知，点 O 到 AB 的距离中垂线段最短，因此 OM 的最小值为 O 到 AB 的玄心距的长，根据垂径定理和勾股定理可求得 OM=3.点拨：此题主要考查了垂径定理，解题关键是构造直角三角形，然后根据勾股定理求解既能得到结果.解题时注意最小值为点到直线距离-垂线段的长.2060试题解析：弦 AB 将圆分成的两段弧所对的圆心角度数之比为 1：5，AOB= 16360=60，13故答案为：60点拨：圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如 果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相
17、等21证明见解析试题分析：先根据 OA=OB 得出OAB=OBA，再由 SAS 定理得出OAEOBF，故可得出AOC=BOD，由此可得出结论解：AC 与 BD 相等OA=OB，OAB=OBA在OAE 和OBF 中， OAB=EF，OAEOBF（SAS） AOC=BOD，AC=BD22 （1）见解析（2） 532试题分析：（1）利用互余的性质得出 CABE，利用圆周角定理得出 DBC，然后得出 BCED，即可证明结论；（2）利用勾股定理得出 AB 的长，然后根据直角三角形的面积得出 CE 的长，然后利用勾股定理可求出 AE 的长试题解析：（1） AB 是O 的直径，09A0CB，E， 09A，B
18、，C 是 D的中点， ，A，BE，CF，（2） C 是 AD的中点 BC=CD=614在 RtABC 中，由勾股定理得 210ABC，ABCE又，6824105，在 RtACE 中 ，AE= 323 （1）相似 （2） 2 （3）试题分析：（1）根据条件证明ABC=D ，又有公共角BAE=EAB，然后可证明ABEADB；（2）利用ABEADB 得到对应边成比例 ABED，代入数值计算即可得出 AB 的值；（3）根据C=D，在 RtADB 求出 tanD 的值即可试题解析：（1）AB=AC， ABC，ABC=D又BAE=EAB，ABEADB;（2）ABEADB， ED， AB2=ADAE =（A
19、E+ ED）AE=（2+4）2 = 12， AB = 3;（3）BD 为O 的直径，DAB=90又C=D，tanC=tanD= 236ABD24 （1）BCMD；理由见解析；（2）16；（3）30试题分析：（1）根据圆周角定理可得出M=D=C=CBM，由此即可得出结论；（2）先根据 AE=16，BE=4 得出 OB 的长，进而得出 OE 的长，连接 OC，根据勾股定理得出 CE 的长，进而得出结论；（3）根据题意画出图形，根据圆周角定理可知，M= 12BOD，由M=D 可知D= 12BOD，故可得出D 的度数试题解析：（1）BCMD理由：M=D，M=C，D=CBM，M=D=C=CBM，BCMD
20、；（2）AE=16，BE=4，OB= 164=10，15OE=10-4=6，连接 OC，CDAB，CE= 12CD，在 RtOCE 中，OE 2+CE2=OC2，即 62+CE2=102，解得 CE=8，CD=2CE=16；（3）如图 2，M= 1BOD，M=D，D= 2BOD，ABCD，D= 1390=3025R 2AB4，圆心 C 的坐标为（2 3，2） 。试题分析：（ 1） 由 于 AOB=90， 那 么 应 连 接 AB， 得 到 AB 是 直 径 由 BMO=120可 得到 BAO=60， 易 得 OA=4， 利 用 60的 三 角 函 数 ， 即 可 求 得 AB， 进 而 求 得
21、 半 径 （ 2） 利 用 勾 股 定 理 可 得 OB 长 ， 作 出 OB 的 弦 心 距 ， 利 用 勾 股 定 理 可 得 到 C 的 横 坐 标 的16绝 对 值 ， 同 法 可 得 到 点 C 的 横 坐 标 试题解析：（1）连结 AB，易证 AB 为C 的直径。BMO120，BAO60。AB2AO8。C 的半径 为 R 2AB4。（2）圆心 C 的坐标为（2 3，2） 。26 （1）26；（2）4试题分析：此题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理此题难度不大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用（1）由 AB 是圆 O 的一条弦，ODAB，根据垂径定理的即可求得 AD=B，然后
22、由圆周角定理求得DEB 的度数；（2）首先设圆 O 的半径为 x，然后由勾股定理得到方程：（x-1） 2+（ 7） 2=x2，解此方程即可求得答案试题解析：（10 分）解：（1）ODAB，垂足为 C，交O 于点 D， AD=B，AOD=52，DEB=12AOD= 52=26（2）设圆 O 的半径为 x，则 OC=OD-CD=x-1，OC 2+AC2=OA2，（x-1） 2+（7） 2=x2，解得：x=4，圆 O 的半径为 427(1)56；(2) 23试题分析：（1）根据垂径定理得到 AC= B，根据圆周角定理解答；17（2）根据圆周角定理得到C=90 ，根据等腰三角形的性质得到B=30，根据
23、余弦的定义求出BE 即可试题解析：（1）OAB C， AC= B，AEB=AEC=28，由圆周角定理得，AOB=2AEB=56；（2）BE 是O 的直径，C=90，CEB+B=90，BEA=B，AEB=AEC，B=30，BE= cosBC=43，O 的半径为 228 （1） 5,OA；（2）MC 垂直平分 OA；C（6，4）试题分析：（1）利用因式分解法解方程即可得到 OA=12，OB=5；（2）连接 AB、MO，根据 C 为劣弧 A的中点，如图，根据等腰三角形的性质“三 线合一”可知MC 与 OA 的位置关系；根据三角形的中位线可知 ME= 12OB= 5，根据垂径定理可知 OE=6，然后根据勾股定理可求得 OM的值，进而求出 EC 的值，由此求得点 C 的坐标试题解析：解：（1） 0672x 2x， 5 OAOB ,1OBA （2）MC 垂直平分 OA（直接答 MCOA 不扣分） 连结 OM，MA点 C 为劣弧 OA 的中点18 AOC OMCAMC在M 中，OMAMMEOA，OEAE即 MC 垂直平分 OA 12OAOE6AOB90AB 为M 的直径 5,12OBAAB13 OM 3 22EM 4CE点 C（6，4）
