1、2016年吉林省延边州高考模拟试卷数学理 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填写在答题卡上 . 1.若 M a1， a2， a3， a4， a5，且 M a1， a2， a3=a1， a2，则满足上述要求的集合 M的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析： M a1， a2， a3=a1， a2， a1， a2 M且 a3 M， M a1， a2， a3， a4， a5， M=a1， a2， a4， a5或 a1， a2， a4或 a1， a2， a5或 a1， a2. 故选 D 2.复数 21
2、ii的共轭复数是 ( ) A.1+i B.-1+i C.1-i D.-1-i 解析： 212 2 2 11 1 1 2iiii ii i i ， z =-1-i. 故选： D 3.若向量 a =(3， 4)，且存在实数 x， y，使得 a =x1e+y2e，则1e，2e可以是 ( ) A.1e=(0， 0)，2e=(-1， 2) B.1e =(-1， 3)， 2e =(2， -6) C.1e =(-1， 2)， 2e =(3， -1) D.1e =(-12， 1)， 2e =(1， -2) 解析：根据平面向量基本定理知： 1e ， 2e 不共线； A.1e=0e2，1e，2e共线； B.2e=
3、-21e，1e，2e共线； C.1e=(-1， 2)，2e=(3， -1)， -1 (-1)-2 3=-5 0，1e与2e不共线，即该选项正确； D.2e=-21e，1e，2e共线 . 故选： C. 4.如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为 2，且侧棱 AA1面 A1B1C1，正视图是正方形，俯视图是正三角形，该三棱柱的侧视图面积为 ( ) A.2 3 B. 3 C.2 2 D.4 解析：由题意知三棱柱的侧视图是一个矩形， 矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高， 在边长是 2的等边三角形中， 底边上的高是 2 32= 3 ，侧视图的面积是 32. 故选 A 5.在二项式
4、 (3x2-1x)n的展开式中，所有二项式系数的和是 32，则展开式中各项系数的和为( ) A.-32 B.0 C.32 D.1 解析：二项式 (3x2-1x)n的展开式中，所有二项式系数的和是 32， 2n=32，解得 n=5；令 x=1，可得展开式中各项系数的和为 (3 12-11)5=32. 故选： C. 6.若 x， y满足约束条件 2 2 121xyxyxy ，则 z=3x+2y 的取值范围 ( ) A.54， 5 B.72， 5 C.54， 4 D.72， 4 解析：由题意作出其平面区域， 令 z=3x+2y，则 y=-32x+2z； 由 2 2 1xyyx， 解得， x=y=14
5、 ；故 C(14 ， 14 )；由 21yxyx， 解得， x=y=1；故 D(1， 1)； 结合图象及2z的几何意义知， 3 14+2 14 3x+2y 3 1+2 1；即 54 3x+2y 5. 故选 A 7.执行如图所示的程序框图，如果输入 P=153， Q=63，则输出的 P的值是 ( ) A.2 B.3 C.9 D.27 解析：模拟执行程序，可得 P=153， Q=63； 不满足条件 Q=0， R=27， P=63， Q=27； 不满足条件 Q=0， R=9， P=27， Q=9； 不满足条件 Q=0， R=0， P=9， Q=0； 满足条件 Q=0，退出循环，输出 P的值为 9.
6、故选： C 8.在 ABC中，若 a2-b2= 3 bc，且 sinsinABB=2 3 ，则角 A=( ) A.6B.3C.23D.56解析：在 ABC 中， sinsinABB=sinsinCB=2 3 ，由正弦定理可得： sinsincCbB=2 3 ，即：c=2 3 b， a2-b2= 3 bc， a2-b2= 3 b 2 3 b，解得： 227ab ， 由余弦定理可得： cosA= 2 2 2 2 2 21 2 72 33 222b c a b b bbc bb ， A (0， )， A=6. 故选： A. 9.下列四种说法中，正确的个数有 ( ) 命题“ x R，均有 x2-3x-
7、2 0”的否定是：“ x0 R，使得 x02-3x0-2 0”； m R，使 f(x)= 2 2mmmx 是幂函数，且在 (0， + )上是单调递增； 不过原点 (0， 0)的直线方程都可以表示成 xyab=1； 回归直线的斜率的估计值为 1.23，样本点的中心为 (4， 5)，则回归直线方程为y=1.23x+0.08. A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 解析：命题“ x R，均有 x2-3x-2 0”的否定是：“ x0 R，使得 x02-3x0-2 0，故错误； m=1，使 f(x)= 2 2mmmx 是幂函数，且在 (0， + )上是单调递增，故正确； 不过原点 (0， 0)的直线方
8、程不都可以表示成 xyab=1，比如 a=0或 b=0时，故错误； 回归直线的斜率的估计值为 1.23，样本点的中心为 (4， 5)，则回归直线方程为y=1.23x+0.08，故正确 . 故选： B 10.如图所示， M， N是函数 y=2sin( x+ )( 0)图象与 x轴的交点，点 P在 M， N之间的图象上运动，当 MPN 面积最大时， PM PN，则 =( ) A.4B.3C.2D.8 解析：由图象可知，当 P位于 M、 N之间函数 y=2sin(wx+ )( 0)图象的最高点时， MPN面积最大 . 又此时 PM PN =0， MPN为等腰直角三角形，过 P作 PQ x轴于 Q，
9、|PQ|=2， 则 |MN|=2|PQ|=4，周期 T=2|MN|=8. = 2284T . 故选： A 11.已知抛物线 y2=4px(p 0)与双曲线 22xyab=1(a 0， b 0)有相同的焦点 F，点 A是两曲线的交点，且 AF x轴，则双曲线的离心率为 ( ) A. 5 12B. 2 +1 C. 3 +1 D.2 2 12解析：设双曲线的左焦点为 F，连接 AF. F是抛物线 y2=4px的焦点，且 AF x轴， 设 A(p， y0)，得 y02=4p p，得 y0=2p， A(p， 2p)， 因此， Rt AFF中， |AF|=|FF|=2p，得 |AF|=2 2 p 双曲线
10、22xyab=1的焦距 2c=|FF|=2p，实轴 2a=|AF|-|AF|=2p(2-1), 由此可得离心率为： e= 222 221c c paa p = 2 +1. 故选： B 12.已知函数 f(x)= 11ln411 xxxx ， ， ，则方程 f(x)=ax 恰有两个不同实数根时，实数 a的取值范围是 ( )(注： e为自然对数的底数 ) A.(0， 1e) B.14， 1e C.(0， 14) D.14， e 解析：方程 f(x)=ax 恰有两个不同实数根， y=f(x)与 y=ax有 2 个交点， 又 a表示直线 y=ax的斜率， y =1x， 设切点为 (x0， y0)， k
11、=01x ，切线方程为 y-y0=01x (x-x0)， 而切线过原点， y0=1， x0=e， k=1e，直线 l1的斜率为 1e， 又直线 l2与 y=14x+1 平行，直线 l2的斜率为 14，实数 a的取值范围是 14， 1e). 故选： B 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，把正确答案填在答题卡中的横线上 . 13.如图所示，在一个边长为 1的正方形 AOBC内，曲线 y=x2和曲线 y= x 围成一个叶形图 (阴影部分 )，向正方形 AOBC 内随机投一点 (该点落在正方形 AOBC 内任何一点是等可能的 )，则所投的点落在叶形图内部的概率是 . 解析：由定积
12、分可求得阴影部分的面积为 S= 31230 21 12103 | 33X X d x x x ，所以 p=13 . 答案： 13. 14.若从 1， 2， 3， 9这 9个整数中同时取 4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有 种 (用数字作答 ). 解析： 9个数中，有 5 个奇数 4个偶数 同时取 4个不同的数，和为奇数分下面几种情况 1个奇数 3个偶数，共有 5 34C=20种取法； 3个奇数 1个偶数，共有 35C 14C=40种取法 .不同的取法共有 60种 . 答案 ： 60. 15.三棱锥 P-ABC 中， ABC 为等边三角形， PA=PB=PC=2， PA PB，三棱锥 P
13、-ABC 的外接球的表面积为 . 解析：三棱锥 P-ABC 中， ABC为等边三角形， PA=PB=PC=2， PAB PAC PBC. PA PB， PA PC， PB PC. 以 PA、 PB、 PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图： 则长方体的外接球同时也是三棱锥 P-ABC外接球 . 长方体的对角线长为 444 =2 3 ， 球直径为 2 3 ，半径 R= 3 ， 因此，三棱锥 P-ABC外接球的表面积是 4 R2=4 ( 3 )2=12 . 答案： 12 16.给出下列命题： 已知服从正态分布 N(0， 2)，且 P(-2 2)=0.4，则 P( 2)=0.3； f(x-1)是偶函
14、数，且在 (0， + )上单调递增，则 218 2 112 l o g 88f f f ； 已知直线 l1： ax+3y-1=0， l2： x+by+1=0，则 l1 l2的充要条件是 3ab； 已知 a 0， b 0，函数 y=2aex+b的图象过点 (0， 1)，则 11ab的最小值是 4 2 . 其中正确命题的序号是 (把你认为正确的序号都填上 ). 解析：若服从正态分布 N(0， 2)，且 P(-2 2)=0.4，则 P( 2)=1 2 2 1 0 .42( 2)P =0.3，故正确， f(x-1)是偶函数，且在 (0， + )上单调递增，则 f(x)关于 x=-1 对称，且在 (-1
15、， + )上单调递增， 182 1， log218=-3， (18)2 (0， 1)， 则 f(log218)=f(-3)=f(1)， 则 f( 182 ) f(1) f(18)2)，即 218 2 112 l o g 88f f f ，故正确， 当 b=0， a=0 时，两直线分别为 l1： 3y-1=0， l2： x+1=0，满足 l1 l2，故 l1 l2的充要条件是 ab=-3错误，故错误， 已知 a 0， b 0，函数 y=2aex+b 的图象过点 (0， 1)，则 2a+b=1，则 11ab=(11ab)(2a+b)=2+1+2abba 3+ 22 abba=3+2 2 ， 即则
16、11ab的最小值是 3+2 2 .故错误， 答案 ： . 三、解答题：本大题共 5小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17.数列 an是首项 a1=4的等比数列， Sn为其前 n项和，且 S3， S2， S4成等差数列 . ( )求数列 an的通项公式； ( )若 bn=log2|an|，设 Tn为数列 11nnbb的前 n项和，求证 Tn 12. 解析： (I)设等比数列 an的公比为 q，先看当 q=1 时， S3， S2， S4不成等差数列，不符合题意，判断出 q 1，进而根据等比数列求和公式表示出 S3， S2， S4，根据等差中项的性质建立等式，求得 q，
17、则数列 an的通项公式可得 . ( )把 (1)中的 an代入 bn，进而利用裂项法求得前 n项的和，根据 Tn= 1221 21 n .原式得证 . 答案： (I)设等比数列 an的公比为 q. 当 q=1时， S3=12， S2=8， S4=16，不成等差数列 ， q 1， S3= 3411qq， S2= 2411qq， S4= 4411qq， 2S2=S3+S4， 2 3 48 1 4 1 4 11 1 1q q qq q q ， 即 q4+q3-2q2=0. q 0， q 1， q=-2， an=4(-2)n-1=(-2)n+1， ( )bn=log2|an|=log2|(-2)n+1
18、|=n+1， 11 1 1 11 2 1 2nnb b n n n n ， 1 1 1 1 11234 123nT nn ， 121122nT n . 18. 2015 年 7 月 9 日 21 时 15 分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成 165.17 万人受灾， 5.6 万人紧急转移安置， 288 间房屋倒塌， 46.5 千公顷农田受灾，直接经济损失 12.99 亿元 .距离陆丰市 222 千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的 50 户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成 0， 2000，(2000， 4000， (4000， 6000
19、， (6000， 8000， (8000， 10000五组，并作出如下频率分布直方图： ( )试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 )； ( )小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款 .现从损失超过 4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过 8000元的居民为户，求的分布列和数学期望； ( )台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的 50 户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求 b， c， a+b， c+d， a+c， b+d， a+b+c+d 的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少
20、于 500元和自身经济损失是否到 4000元有关？ 附：临界值表参考公式：， K2= 2n a d b ca b c d a c b d ， n=a+b+c+d. 解析： ( )根据频率分布直方图，即可估计小区平均每户居民的平均损失； ( )由频率分布直方图可得，损失不少于 6000 元的居民共有 (0.00003+0.00003) 200050=6 户，损失为 6000 8000 元的居民共有 0.00003 2000 50=3 户，损失不少于 8000 元的居民共有 0.00003 2000 50=3户，即可求这两户在同一分组的概率； ( )求出 K2，与临界值比较，即可得出结论 . 答案
21、： ( )记每户居民的平均损失为 x 元，则： x =(1000 0.00015+3000 0.0002+50000.00009+7000 0.00003+9000 0.00003) 2000=3360. ( )由频率分布直方图可得，损失不少于 6000 元的居民共有 (0.00003+0.00003) 200050=6户， 损失为 6000 8000元的居民共有 0.00003 2000 50=3户， 损失不少于 8000元的居民共有 0.00003 2000 50=3 户， 因此，这两户在同一分组的概率为 P= 3 2 3 2 26 5 5 . ( )如图： K2= 2()5 0 3 0
22、6 9 53 9 1 1 3 5 1 5 4.046 3.841， 所以有 95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于 500 元和自身经济损失是否 4000 元有关 . 19.如图，在矩形 ABCD中， AB=4， AD=2， E是 CD 的中点， O是 AE 的中点，以 AE 为折痕向上折起，使 D为 D，且 D B=D C. ( )求证：平面 D AE平面 ABCE； ( )求 CD与平面 ABD所成角的正弦值 . 解析： (I)取 BC中点 F，连结 OF， D O， D F，则 BC平面 D OF，于是 BC OD，又 OD AE，于是 OD平面 ABCE，故而平面 D AE平面 A
23、BCE； (II)以 O为原点建立平面直角坐标系，求出平面 ABD的法向量 n ，则 CD与平面 ABD所成角的正弦值等于 |cos n ， CD |. 答案： (I)取 BC中点 F，连结 OF， D O， D F，则 BC OF， D B=D C， BC D F， 又 OF 平面 D OF， D F 平面 D OF， OF D F=F， BC平面 D OF， D O 平面 D OF， BC D O， DA=DE，即 D A=D E， D O AE，又 AE 平面 ABCE， BC 平面 ABCE， AE与 BC相交， D O平面 ABCE， D O 平面 D AE， 平面 D AE平面 A
24、BCE. (II)以 O为原点建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz， 则 A(1， -1， 0)， B(1， 3， 0)， C(-1， 3， 0).D (0， 0， 2 ). DA =(1， -1， - 2 )， DB =(1， 3， - 2 ).CD =(-1， 3， - 2 ). 设平面 ABD的法向量为 n =(x， y， z)，则 n DA ， n DB . 2 0023x y zx y z ，令 z= 2 ，得 x=2， y=0， n =(2， 0， 2 ).|n |= 6 ， |CD |=2 3 .n CD =-4. cos n ， CD = n CDn CD=- 23. CD
25、与平面 ABD所成角的正弦值为 23. 20.已知点 P为 y轴上的动点，点 M为 x轴上的动点，点 F(1， 0)为定点，且满足 12 0PN NM，PM PF =0. ( )求动点 N的轨迹 E 的方程； ( )过点 F且斜率为 k 的直线 l与曲线 E交于两点 A， B，试判断在 x轴上是否存在点 C，使得 |CA|2+|CB|2=|AB|2成立，请说明理由 . 解析： ( )设出 N点的坐标，由已知条件 12 0PN NM可知 P为 MN 的中点，由题意设出P和 M的坐标，求出 PM 和 PF 的坐标，代入 PM PF =0可求动点 N的轨迹 E 的方程； ( )设出直线 l的方程，和
26、抛物线方程联立后化为关于 y的一元二次方程，由根与系数关系写出 A， B两点的纵坐标的和与积，假设存在点 C(m， 0)满足条件，则 CA =(x1-m， y1)， CB=(x2-m， y2)，由 |CA|2+|CB|2=|AB|2成立得到 CA CB =0，代入坐标后得到关于 m 的一元二次方程，分析知方程有解，从而得到答案 . 答案： ( )设 N(x， y)，则由 12 0PN NM，得 P为 MN 的中点 . P(0，2y)， M(-x， 0). PM=(-x， -2y)， PF=(1， -2y). PM PF =-x+ 24y=0，即 y2=4x. 动点 N的轨迹 E的方程 y2=4
27、x. ( )设直线 l的方程为 y=k(x-1)，由 214y k xyx ，消去 x得 y2-4ky-4=0. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1+y2=4k， y1y2=-4. 假设存在点 C(m， 0)满足条件，则 CA =(x1-m， y1)， CB =(x2-m， y2)， CA CB =x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2 =( 124yy)2-m( 22124yy)+m2-4 =-4m(y1+y2)2-2y1y2+m2-3 =m2-m(24k +2)-3. =(24k +2)2+12 0， 关于 m的方程 m2-m(24k +2)-3=0有解 . 假设成
28、立，即在 x轴上存在点 C，使得 |CA|2+|CB|2=|AB|2成立 . 21.设函数 f(x)=ax-sinx， x 0， . (1)当 a= 12时，求 f(x)的单调区间； (2)若不等式 f(x) 1-cosx恒成立，求实数 a的取值范围 . 解析： (1)当 a=12时， f(x)=12x-sinx， x 0， ，从而求导 f (x)=12-cosx，从而判断函数的单调性； (2)化简可得 ax-sinx 1-cosx，作函数 y=ax-1与函数 y=sinx-cosx的图象，结合图象求解即可 . 答案： (1)当 a=12时， f(x)=12x-sinx， x 0， ， f (
29、x)=12-cosx， 故 x 0，3)时， f (x) 0， x (3， 时， f (x) 0； 故 f(x)在 0，3)上是减函数，在 3， 上是增函数； (2)由题意得， ax-sinx 1-cosx， 故 ax-1 sinx-cosx， 作函数 y=ax-1与函数 y=sinx-cosx的图象如图， 结合图象可得， a 1120； 故实数 a的取值范围为 (-， 2. 22.如图所示，已知 O1和 O2相交于 A， B两点 .过点 A作 O1的切线交 O2于点 C，过点 B作两圆的割线，分别交 O1， O2于点 D， E， DE与 AC 相交于点 P， ( )求证： PE AD=PD
30、CE； ( )若 AD是 O2的切线，且 PA=6， PC=2， BD=9，求 AD的长 . 解析： ( )连接 AB，根据弦切角定理和圆周角定理的推论得到 CAB= D， CAB= E，则 F= D，根据内错角相等，得到 AD CE，即可证明 PE AD=PD CE； ( )利用 PCE PAD，结合相交弦定理，切割线定理，即可求 AD 的长 . 答案： (1)连接 AB， CA切 O1于 A， CAB= D， CAB= E， E= D. AD CE， PCE PAD. PE CEPD AD. PE AD=PD CE； ( )设 BP=x， PE=y， PA=6， PC=2， xy=12 ，
31、 PCE PAD， DP APEP CP， 962xy ， 由可得 34xy， 或 121xy，(舍去 )， DE=9+x+y=16， AD是 O2的切线， AD2=DB DE=916 ， AD=12. 23.在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为12322xtyt ，(t 为参数 )，若以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 C 的极坐标方程为 =4cos ，设 M 是圆 C 上任一点，连结 OM 并延长到 Q，使 |OM|=|MQ|. ( )求点 Q轨迹的直角坐标方程； ( )若直线 l与点 Q轨迹相交于 A， B两点，点 P的直角坐标为 (0， 2)，求
32、|PA|+|PB|的值 . 解析： ( )圆 C的极坐标方程为 =4cos ，化为 2=4cos ，把 cossinxy， 代入即可得直角坐标方程： x2+y2=4x，设 Q(x， y)，则 M(2x，2y)， 代入圆的方程即可得出 . ( )把直线 l 的参数方程12322xtyt ，(t 为参数 )代入点 Q 的方程可得 t2+(4+2 3 )t+4=0，利用根与系数的关系及其 |PA|+|PB|=|t1+t2|即可得出 . 答案： ( )圆 C的极坐标方程为 =4cos ，化为 2=4cos ，可得直角坐标方程： x2+y2=4x，配方为 (x-2)2+y2=4， 设 Q(x， y)，则
33、 M(2x，2y)， 代入圆的方程可得 (2x-2)2+(2y)2=4， 化为 (x-4)2+y2=16.即为点 Q的直角坐标方程 . ( )把直线 l的参数方程12322xtyt ，(t为参数 )代入 (x-4)2+y2=16. 得 t2+(4+2 3 )t+4=0， 令 A， B对应参数分别为 t1， t2，则 t1+t2=-(4+2 3 ) 0， t1t2 0. |PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4+2 3 . 24.已知函数 f(x)=|x-1|. (1)解不等式 f(x)+f(x+4) 8； (2)若 |a| 1， |b| 1，且 a 0，求证： f(ab) |
34、a|f(ba). 解析： ( )根据 f(x)+f(x+4)=|x-1|+|x+3|= 2 2 34 3 12 2 1xxxxx ， ， ， ，分类讨论求得不等式 f(x)+f(x+4) 8的解集 . ( )要证的不等式即 |ab-1| |a-b|，根据 |a| 1， |b| 1，可得 |ab-1|2-|a-b|2 0，从而得到所证不等式成立 . 答案 ： ( )f(x)+f(x+4)=|x-1|+|x+3|= 2 2 34 3 12 2 1xxxxx ， ， ， ，当 x -3时，由 -2x-2 8，解得 x -5； 当 -3 x 1时， f(x) 8不成立； 当 x 1时，由 2x+2 8，解得 x 3. 所以，不等式 f(x) 4 的解集为 x|x -5，或 x 3. ( )f(ab) |a|f(ba)，即 |ab-1| |a-b|. 因为 |a| 1， |b| 1， 所以 |ab-1|2-|a-b|2=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)=(a2-1)(b2-1) 0， 所以 |ab-1| |a-b|，故所证不等式成立 .
