1、2016年广西河池市高级中学高考一模数学文 一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 A=x|-2 x 1， B=x|x 0，则集合 A B等于 ( ) A.x|x -2 B.x|0 x 1 C.x|x 1 D.x|-2 x 1 解析：集合 A=x|-2 x 1， B=x|x 0， 集合 A B=x|x -2. 答案： A. 2. 若复数1aii是纯虚数，则实数 a的值为 ( ) A.0 B.-3 C.1 D.-1 解析： 1 1 11 1 1 2a i i a a iai i i i 是纯虚数， 10
2、10aa ，解得： a=1. 答案： C. 3. 设 a， b R，则“ (a-b)a2 0”是“ a b”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析： a， b R，则 (a-b)a2 0， a b成立， 由 a b，则 a-b 0，“ (a-b)a2 0， 所以根据充分必要条件的定义可的判断： a， b R，则“ (a-b)a2 0”是 a b的充分不必要条件 . 答案： A 4. 设 Sn是等差数列 an的前 n项和，若 a1=2， a5=3a3，则 S9=( ) A.-72 B.-54 C.54 D.90 解析：设等差数列 an
3、的公差为 d， a1=2， a5=3a3， 2+4d=3(2+2d)， 解得 d=-2， S9=9a1+928d=-54 答案： B 5. 已知向量 a =(1， 1)， b =(3， m)， a (a +b )，则 m=( ) A.2 B.-2 C.-3 D.3 解析：因为向量 a =(1， 1)， b (3， m)，所以 a +b =(4， 1+m)； 又 a (a +b )， 所以 1 (1+m)-1 4=0， 解得 m=3. 答案： D. 6. 已知圆 C的圆心是直线 x-y+1=0与 y轴的交点，且圆 C与直线 x+y+3=0相切，则圆的标准方程为 ( ) A.x2+(y-1)2=8
4、 B.x2+(y+1)2=8 C.(x-1)2+(y+1)2=8 D.(x+1)2+(y-1)2=8 解析：对于直线 x-y+1=0，令 x=0，解得 y=1. 圆心 C(0， 1)， 设圆的半径为 r， 圆 C与直线 x+y+3=0 相切， r=132 =22， 圆的标准方程为 x2+(y-1)2=8. 答案： A. 7. 设变量 x， y满足约束条件： 222yxxyx ，则 z=x-3y的最小值 ( ) A.-2 B.-4 C.-6 D.-8 解析：根据题意，画出可行域与目标函数线如图所示， 由图可知目标函数在点 (-2， 2)取最小值 -8 答案： D. 8. 一个几何体的三视图如图所
5、示，则该几何体的体积 (单位： cm3)为 ( ) A. + 33B.2 + 33C.2 + 3 D. + 3 解析：由三视图，该组合体上部是一三棱锥，下部是一圆柱由图中数据知 V圆柱 = 12 1= 三棱锥垂直于底面的侧面是边长为 2 的等边三角形，且边长是 2，故其高即为三棱锥的高，高为 3 故棱锥高为 3 由于棱锥底面为一等腰直角三角形，且斜边长为 2，故两直角边长度都是 2 底面三角形的面积是 12 2 2 =1 故 V棱锥 13 1 3 = 33故该几何体的体积是 + 33答案： A. 9. 执行如图所示的程序框图，输出的 k值是 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 解析：第一次
6、循环： n=3 5+1=16， k=0+1=1，继续循环； 第二次循环： n=162=8， k=1+1=2，继续循环； 第三次循环： n=82=4， k=2+1=3，继续循环； 第四次循环： n=42=2， k=3+1=4，继续循环； 第五次循环： n=22=1， k=4+1=5，结束循环 . 输出 k=5. 答案： B. 10. 函数 f(x)=Asin( x+ )(其中 A 0， | |2)的图象如图所示，为了得到 g(x)=sin2x的图象，则只要将 f(x)的图象 ( ) A.向右平移6个单位长度 B.向右平移12个单位长度 C.向左平移6个单位长度 D.向左平移12个单位长度 解析：
7、根据函数的图象： A=1 又4T 712-3解得： T= 则： =2 当 x=3时， f(3)=sin(23+ )=0 解得：3所以： f(x)=sin(2x+3) 要得到 g(x)=sin2x的图象只需将函数图象向右平移6个单位即可 . 答案： A 11. 三棱锥 P-ABC的四个顶点均在半径为 2的球面上，且 AB=BC=CA=2 3 ，平面 PAB平面ABC，则三棱锥 P-ABC 的体积的最大值为 ( ) A.4 B.3 C.4 3 D.3 2 解析：根据题意：半径为 2的球面上，且 AB=BC=CA=2 3 ， ABC为截面为大圆上三角形， 设圆形为 O， AB的中点为 N， ON=
8、223 =1 平面 PAB平面 ABC， 三棱锥 P-ABC的体积的最大值时， PN AB， PN平面 ABC， PN= 221 = 3 ， 三棱锥 P-ABC的体积的最大值为 13 34 (2 3 )2 3 =3. 答案： B 12. 已知离心率为 e的双曲线和离心率为 22的椭圆有相同的焦点 F1、 F2， P 是两曲线的一个公共点， F1PF2=3，则 e等于 ( ) A. 52B.52C. 62D.3 解析：设椭圆的长半轴长为 a1，双曲线的实半轴长为 a2，焦距为 2c， |PF1|=m， |PF2|=n，且不妨设 m n， 由 m+n=2a1， m-n=2a2得 m=a1+a2，
9、n=a1-a2. 又 F1PF23， 4c2 m2+n2-mn a12+3a22， 12223aacc 4，即 + 2 21322e 4， 解得 e 62. 答案： C. 二、填空题 (每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上 ) 13. 设 f(x)= 222212x xlo g x x ， ， ，则 f(f(5)=_. 解析：由题意知， f(x)= 222212x xlo g x x ， ， ， 则 f(5)=log24=2， f(f(5)=f(2)=22-2=1. 答案： 1. 14. 设 Sn为等比数列 an的前 n项和， 8a2-a3=0，则42SS =_. 解析：设等比数列 a
10、n的公比为 q， 8a2-a3=0， a2(8-q)=0， 解得 q=8. 则42SS = 41211 11 1aqqaqq=1+q2=65. 答案： 65. 15. 长方形 ABCD 中， AB=2， BC=1， O 为 AB 的中点，在长方形 ABCD 内随机取一点，取到的点到 O的距离大于 1的概率为 _. 解析：根据几何概型得： 取到的点到 O的距离大于 1的概率： p dD 外 部 分 的 面 矩 形 的 面圆 积积=2?221=1-4. 答案： 1-416. 已知定义在 R上的奇函数 f(x)，设其导函数为 f (x)，当 x (-， 0时，恒有 xf(x) f(-x)，令 F(x
11、)=xf(x)，则满足 F(3) F(2x-1)的实数 x的取值范围是 _. 解析： f(x)是奇函数， 不等式 xf (x) f(-x)，等价为 xf (x) -f(x)， 即 xf (x)+f(x) 0， F(x)=xf(x)， F (x)=xf (x)+f(x)， 即当 x (-， 0时， F (x)=xf (x)+f(x) 0，函数 F(x)为减函数， f(x)是奇函数， F(x)=xf(x)为偶数，且当 x 0为增函数 . 即不等式 F(3) F(2x-1)等价为 F(3) F(|2x-1|)， |2x-1| 3， -3 2x-1 3， 即 -2 2x 4， -1 x 2， 即实数
12、x的取值范围是 (-1， 2). 答案： (-1， 2). 三、解答题 (本大题共 5小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .) 17. 已知 ABC中的内角 A， B， C对边分别为 a， b， c， 3 sin2A+2cos2A 2， a 3 . (1)若 cosB 33，求 b； (2)若 2sinB=sinC，求 ABC的面积 . 解析： (1)利用倍角公式、和差公式可得 A，再利用同角三角函数基本关系式、正弦定理即可得出 . (2)由 2sinB=sinC，利用正弦定理可得： 2b=c，由余弦定理可得： a2=b2+c2-2bccosA，联立解出 bc即可得出
13、. 答案： (1) 3 sin2A+2cos2A 2， 3 sin2A+cos2A=1， 32sin2A+12cos2A=12， sin(2A+6)=12， A (0， )， 2A+6=56，解得 A=3. 由 cosB 33， B (0， )， sinB= 21 cos B = 63. 在 ABC中，由正弦定理可得： absinA sinB， 可得 b=3 6 263332a s i n Bs i n A. (2) 2sinB=sinC， 2b=c， 由余弦定理可得： a2=b2+c2-2bccosA， 3=b2+c2-bc，与 2b=c 联立解得： b=1， c=2. ABC的面积 S=1
14、2bcsinA=12 1 2 32= 32. 18. 某校为调查 2016 届学业水平考试的数学成绩情况，随机抽取 2个班各 50名同学，得如下频率分布表： ( )估计甲，乙两班的数学平均分 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 )； ( )数学成绩 60， 70)为“ C等”， 70， 90)为“ B等”和 90， 100为“ A等”，从两个班成绩为“ A等”的同学中用分层抽样的方法抽取 5人，则甲乙两个班各抽取多少人？ ( )从第 ( )问的 5人中随机抽取 2人，求这 2人来自同一班级的概率 . 解析： ( )由频率分布列能求出甲、乙班数学平均分 . ( )从两个班成绩为“ A等”的
15、同学中用分层抽样的方法抽取 5人，由频率分布表能求出甲乙两个班各抽取多少人 . ( )设抽取 5人中，甲班 3名学生分 别为 A、 B、 C，乙班 2名同学分别为 D， E，利用列举法能求出这 2人来自同一班级的概率 . 答案： ( )甲班数学平均分为： 5 5 4 6 5 6 7 5 1 0 8 5 1 8 9 5 1 2 8 0 . 650 ， 乙班数学平均分： 5 5 2 6 5 6 7 5 1 8 8 5 1 6 9 5 8 7 9 . 450 . ( )从两个班成绩为“ A等”的同学中用分层抽样的方法抽取 5人， 则甲班抽取： 5 1212 8=人，乙班抽取： 5 812 8=2人
16、. ( )设抽取 5人中，甲班 3名学生分别为 A、 B、 C，乙班 2名同学分别为 D， E， 则从中随机抽取 2人的所有可能结果为： AB， AC， AD， AE， BC， BD， BE， CD， CE， DE，共 10 个基本事件， 其中来自同一班级的含有： AB， AC， BC， DE，共 4个基本事件， 这 2人来自同一班级的概率 p=410 25. 19. 如图，三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧棱垂直底面， ACB=90， AC=BC=12AA1， D 是棱 AA1的中点 . ( )证明：平面 BDC1平面 BDC ( )平面 BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比 . 解
17、析： ( )由题意易证 DC1平面 BDC，再由面面垂直的判定定理即可证得平面 BDC1平面BDC； ( )设棱锥 B-DACC1的体积为 V1， AC=1，易求 V1=13 122 1 1=12，三棱柱 ABC-A1B1C1的体积 V=1，于是可得 (V-V1)： V1=1： 1，从而可得答案 . 答案： (1)由题意知 BC CC1， BC AC， CC1 AC=C， BC平面 ACC1A1，又 DC1 平面 ACC1A1， DC1 BC. 由题设知 A1DC1= ADC=45， CDC1=90，即 DC1 DC，又 DC BC=C， DC1平面 BDC，又 DC1 平面 BDC1， 平面
18、 BDC1平面 BDC； (2)设棱锥 B-DACC1的体积为 V1， AC=1，由题意得 V1=13 122 1 1=12， 又三棱柱 ABC-A1B1C1的体积 V=1， (V-V1)： V1=1： 1， 平面 BDC1分此棱柱两部分体积的比为 1： 1. 20. 如图，已知椭圆 C 的中心在原点 O，左焦点为 F1(-1， 0)，左顶点为 A，且 F1为 AO 的中点 . (1)求椭圆 C的方程； (2)若椭圆 C1方程为： 22xymn 1(m n 0)，椭圆 C2方程为： 22xymn ( 0，且 1)，则称椭圆 C2是椭圆 C1的倍相似椭圆 .已知 C2是椭圆 C的 3倍相似椭圆，
19、若椭圆 C的任意一条切线 l交椭圆 C2于两点 M， N，试求弦长 |MN|的最大值 . 解析： (1)由椭圆 C 的中心在原点 O，左焦点为 F1(-1， 0)，左顶点为 A，且 F1为 AO的中点，求出 a， b， c，由此能求出椭圆 C的方程 . (2)椭圆 C1 的 3倍相似椭圆 C2的方程为： 2212 9xy 1.切线 m 垂直于 x 轴，则其方程为：x= 2，推导出 |MN|=2 6 ；若切线 m 不垂直于 x 轴，可设其方程为： y=kx+b，代人椭圆 C1方程，得 (3+4k2)x2+8kbx+4b2-12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出弦长
20、|MN|的最大值 . 答案： (1)椭圆 C 的中心在原点 O，左焦点为 F1(-1， 0)，左顶点为 A，且 F1为 AO的中点， c=1， a=2， b2=4-1=3， 椭圆 C的方程为 2243xy=1. (2)椭圆 C1的 3倍相似椭圆 C2的方程为： 2212 9xy 1. 若切线 m垂直于 x轴，则其方程为： x= 2，解得 y= 6 ， |MN|=2 6 . 若切线 m不垂直于 x 轴，可设其方程为： y=kx+b. 将 y=kx+b代人椭圆 C1方程，得： (3+4k2)x2+8kbx+4b2-12=0， =(8kb)2-4(3+4k2)(4b2-12)=48(4k2+3-b2
21、)=0， 即 b2=4k2+3， (*)， 设 M， N两点的坐标分别是 (x1， y1)， (x2， y2)， 将 y=kx+b代入椭圆 C2的方程，得： (3+4k2)x2+8kbx+4b2-36=0， 此时， x1+x22834kbk ， x1x2= 224 3634b k ， |x1-x2|= 2224 3 1 2 934kbk， |MN|= 22 222 2 24 3 1 2 9 111 4 6 2 6 13 4 3 4 3 4kb kkk k k ， 3+4k2 3， 1 1+2134k 43 ，即 26212 6 134k 42， 综合，得弦长 |MN|的取值范围是 26， 42
22、， 弦长 |MN|的最大值是 42. 21. 设 f(x)=lnx， g(x)=f(x)+af (x). (1)求函数 f(x)的图象在点 (e， 1)处的切线方程； (2)求 g(x)的单调区间； (3)当 a=1时，求实数 m的取值范围，使得 g(m)-g(x) 1m对任意 x 0恒成立 . 解析： (1)求出 f(x)的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程即可得到切线方程； (2)求出 g(x)的导数，对 a讨论，当 a 0时，当 a 0时，令导数大于 0，可得增区间，令导数小于 0，可得减区间； (3)先化简求出 g(x)，在根据导数求出函数 g(x)的最小值，而 g(m)-g(x) 1
23、m，对任意 x 0恒成立，转化为 lnm g(x)恒成立，问题得以解决 . 答案： (1)f(x)=lnx的导数为 f (x)=1x， 即有 f(x)在点 (e， 1)处的切线斜率为 k=1e， 则 f(x)在点 (e， 1)处的切线方程为 y-1=1e(x-e)， 即为 x-ey=0； (2)g(x)=f(x)+af (x)=lnx+ax， g (x)=221 axxx xa (x 0)， 当 a 0时， g (x) 0， g(x)在 (0， + )上递增； 当 a 0时， 0 x a时， g (x) 0， g(x)在 (0， a)上递减， x a 时， g (x) 0， g(x)在(a，
24、+ )上递增 . 综上可得，当 a 0时， g(x)的增区间为 (0， + )； 当 a 0时， g(x)的增区间为 (a， + )，减区间为 (0， a). (3)f(x)=lnx， g(x)=f(x)+af (x)， 即有 g(x)=lnx+ax， 由 a=1， g(x)=lnx+1x， g (x)=221 axxx xa ， 令 g (x)=0，解得 x=1， 当 g (x) 0，即 x 1时，函数 g(x)单调递增， 当 g (x) 0，即 0 x 1时，函数 g(x)单调递减， 即有 g(x)min=g(1)=1， 由于 g(m)-g(x) 1m，对任意 x 0恒成立， 则 lnm+
25、1m-1m g(x)， m 0， 即有 lnm g(x)恒成立， 即 lnm 1， 解得 0 m e， 则实数 m的取值范围是 (0， e). 请考生在 22、 23、 24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .选修 4-1：几何证明选讲 22. 如图， A， B， C， D 四点在同一圆上， BC 与 AD 的延长线交于点 E，点 F 在 BA 的延长线上 . ( )若 1=3ECEB， 1=2EDEA，求 DCAB的值； ( )若 EF2=FA FB，证明： EF CD. 解析： ( )根据圆内接四边形的性质，可得 ECD= EAB， EDC= B，从而 EDC EBA，所
26、以有 =E D E C D CE B E A A B，利用比例的性质可得 211=23DCAB，得到 6=6DCAB； ( )根据题意中的比例中项，可得 =EF FBFA FE，结合公共角可得 FAE FEB，所以 FEA= EBF，再由 ( )的结论 EDC= EBF，利用等量代换可得 FEA= EDC，内错角相等，所以EF CD. 答案： ( ) A， B， C， D四点共圆， ECD= EAB， EDC= B EDC EBA，可得 =E D E C D CE B E A A B， 2=E D E C D CE B E A A B，即 211=23DCAB 6=6DCAB( ) EF2=F
27、A FB， =EF FBFA FE， 又 EFA= BFE， FAE FEB，可得 FEA= EBF， 又 A， B， C， D四点共圆， EDC= EBF， FEA= EDC， EF CD. 选修 4-4：坐标系与参数方程 23. 已知曲线 C的极坐标方程是 =2，以极点为原点，极轴为 x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 L的参数方程为 123xtyt(t为参数 ) (1)写出直线 L的普通方程与 Q曲线 C的直角坐标方程； (2)设曲线 C经过伸缩变换 12xxyy 得到曲线 C，设 M(x， y)为 C上任意一点，求 x2- 3xy+2y2的最小值，并求相应的点 M的坐标 . 解析：
28、(1)直接消去参数 t得直线 l的普通方程，根据 2=x2+y2可得曲线 C的直角坐标方程； (2)先根据伸缩变换得到曲线 C的方程，然后设 M(2cos， sin )，则 x=2cos， y=sin代入 x2- 3 xy+2y2，根据三角函数的性质可求出所求 . 答案： (1)直线 l的参数方程为 123xtyt(t为参数 )， 消去参数 t得直线 l 的普通方程为 3 x-y- 3 +2 0， =2， 曲线 C的直角坐标方程为 x2+y2=4； (2)曲线 C： x2+y2=4 经过伸缩变换 12xxyy 得到曲线 C， C： 2 2 4x y 1， 设 M(2cos， sin )则 x=
29、2cos， y=sin， x2- 3 xy+2y2 3+2cos(2 +3)， 当 =3+k， k Z时，即 M为 (1， 32)或 (-1， - 32)时 x2- 3 xy+2y2的最小值为 1. 选修 4-5：不等式选讲 24. 设 f(x)=|x|+2|x-a|(a 0). ( )当 a=l时，解不等式 f(x) 4； ( )若 f(x) 4恒成立，求实数 a的取值范围 . 解析： ( )当 a=l时， f(x)=|x|+2|x-1|= 2 3 02 0 13 2 1xxxxxx ， ， ，分三种情况求出不等式的解集，再取并集即得所求 . ( )化简函数 f(x)=|x|+2|x-a|的
30、解析式，求出它的最小值，由题意可得 f(x)的最小值 a大于或等于 4，由此求得 a取值范围 . 答案： ( )当 a=l时， f(x)=|x|+2|x-1|= 2 3 02 0 13 2 1xxxxxx ， ， . 当 x 0时，由 2-3x 4，得 -23 x 0； 当 0 x 1时， 1 2-x 2，解得 0 x 1； 当 x 1时，由 3x-2 4，得 1 x 2. 综上，不等式 f(x) 4 的解集为 -23， 2. ( )f(x)=|x|+2|x-a|= 2 3 02032a x xa x x ax a x a ， ， . 可见， f(x)在 (-， a单调递减，在 (a， + )单调递增 . 当 x=a时， f(x)取最小值 a. 若 f(x) 4恒成立，则应有 a 4， 所以， a取值范围为 4， + ).
