1、贵州省专升本考试高等数学真题 2014年及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.函数 （分数：2.00）A.(1，3B.(1，+)C.(3，+)D.-3，1)2.已知 f(2x)=x 2 -2x，则 f(x)=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 f(x)的定义域为 R，则 g(x)=f(x)-f(-x)_（分数：2.00）A.是偶函数B.是奇函数C.不是奇函数也不是偶函数D.是奇函数也是偶函数4.已知 （分数：2.00）A.a=-1B.a=0C.a=1D.a=25.x=-1是函数 （分数：2.00）A.
2、跳跃间断点B.可去间断点C.连续点D.第二类间断点6.当 x0 时，比 1-cosx高阶的无穷小是_ A （分数：2.00）A.B.C.D.7.已知 f(x)=lnx，则 _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.8.曲线 在 （分数：2.00）A.x=1B.y=1C.y=x+1D.y=x-19.函数 f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)，则方程 f“(x)=0实根的个数为_（分数：2.00）A.2B.3C.4D.510.设 y=y(x)是由方程 y=xy+e x 确定的隐函数，则 _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.11.已知函数 f(x)在区间
3、0，a(a0)上连续，f(0)0，且在(0，a)上恒有 f“(x)0设 （分数：2.00）A.s1s2B.s1=s2C.s1s2D.不确定12.曲线 y=x 3 +1_（分数：2.00）A.无拐点B.有一个拐点C.有两个拐点D.有三个拐点13.曲线 （分数：2.00）A.x=0，y=1B.x=1，y=0C.x=2，y=1D.x=2，y=014.设 F(x)是 f(x)的一个原函数，则e -x f(e -x )dx=_（分数：2.00）A.-F(ex)+CB.-F(e-x)+CC.F(ex)+CD.F(e-x)+C15.设 f(x)在a，b上连续，则由曲线 y=f(x)与直线 x=a，x=b，y
4、=0 所围成平面图形的面积为_ A B C （分数：2.00）A.B.C.D.16.设 f(x)是连续函数，满足 _ A0 B C D （分数：2.00）A.B.C.D.17.设 （分数：2.00）A.sinx+xcosxB.(x-1)cosxC.sinx-xcosxD.(x-1)sinx18.下列广义积分收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.19.微分方程 （分数：2.00）A.x2+y2=25B.3x+4y=CC.x2+y2=CD.y2-x2=720.解常微分方程 y“-2y“+y=xe x 的过程中，特解一般应设为_（分数：2.00）A.y*=(Ax2+Bx)ex
5、B.y*=AxexC.y*=AexD.y*=x2ex(Ax+B)21.已知 a，b，c 为非零向量，且 ab=0，bc=0，则_（分数：2.00）A.a/b且 bcB.ab 且 b/cC.a/c且 bcD.ac 且 b/c22.直线 （分数：2.00）A.L在 上B.L与 平行但无公共点C.L与 相交但不垂直D.L与 垂直23.在空间直角坐标系内，方程 2x 2 -y 2 =1表示的二次曲面是_（分数：2.00）A.球面B.双曲抛物面C.圆锥面D.双曲柱面24. _ A0 B4 C D （分数：2.00）A.B.C.D.25.点(0，0)是函数 z=xy的_（分数：2.00）A.驻点B.极值点
6、C.最大值点D.间断点26.设 D=(x，y)|x|2，|y|1|，则 （分数：2.00）A.0B.-1C.2D.127.设 f(x，y)为连续函数， 交换积分次序后得到_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.28.L为从点(0，0)经点(0，1)到点(1，1)的折线，则 L x 2 dy+ydx=_（分数：2.00）A.1B.2C.0D.-129.下列级数条件收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.30.级数 的和是_ A1 B2 C D （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.设 （分数：2.00）32.设连续
7、函数 f(x)满足 （分数：2.00）33.已知 （分数：2.00）34.设 f“(x 3 +1)=1+2x 3 ，且 f(0)=-1，则 f(x)= 1 （分数：2.00）35.不定积分cos2xdx= 1 （分数：2.00）36.若向量 a=0，1，1，b=1，0，1，c=1，1，0，则(ab)c= 1 （分数：2.00）37.微分方程 y“-4y“+4y一 0的通解 y(x)= 1 （分数：2.00）38.设 （分数：2.00）39.函数 f(x，y，z)=x 2 +y 2 +z 2 在点(1，1，1)处方向导数的最大值为 1 （分数：2.00）40.函数 （分数：2.00）三、计算题(
8、总题数：10，分数：50.00)41.求极限 （分数：5.00）_42.设 a n 为曲线 y=x n 与 y=x n+1 (n=1，2，3，4，)所围的面积，判定级数 （分数：5.00）_43.求不定积分 （分数：5.00）_44.计算定积分 （分数：5.00）_45.解方程 xy“-y=x 3 （分数：5.00）_46.已知函数 z=f(x，y)由方程 e -xy -2z+e z =0所确定，求 dz （分数：5.00）_47.已知点 A(4，-1，2)，B(1，2，-2)，C(2，0，1)，求ABC 的面积 （分数：5.00）_48.计算二重积分 （分数：5.00）_49.计算曲线积分
9、L y(1+x 2 )dx+x(1-y 2 )dy，其中 L是圆周 x 2 +y 2 =1(逆时针方向) （分数：5.00）_50.试确定幂级数 （分数：5.00）_四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.欲围一个面积 150平方米的矩形场地所用材料的造价其正面是每米 6元，其余三面是每米 3元问场地的长、宽各为多少时，才能使造价最低? （分数：7.00）_52.已知 D是抛物线 L：y 2 =2x和直线 （分数：7.00）_五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.设 eabe 2 ，证明 （分数：6.00）_贵州省专升本考试高等数学真题 2014年答案解析(总分：150.00，
10、做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.函数 （分数：2.00）A.(1，3 B.(1，+)C.(3，+)D.-3，1)解析：解析 由 9-x 2 0，得-3x3，又由 x-10，得 x1，故函数的定义域为(1，3，故选 A2.已知 f(2x)=x 2 -2x，则 f(x)=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 3.设 f(x)的定义域为 R，则 g(x)=f(x)-f(-x)_（分数：2.00）A.是偶函数B.是奇函数 C.不是奇函数也不是偶函数D.是奇函数也是偶函数解析：解析 由 g(-x)=f(-x)-f(x)=-f(x)-
11、f(-x)=-g(x)，得 g(x)为奇函数，本题选 B4.已知 （分数：2.00）A.a=-1 B.a=0C.a=1D.a=2解析：解析 由 5.x=-1是函数 （分数：2.00）A.跳跃间断点B.可去间断点 C.连续点D.第二类间断点解析：解析 由6.当 x0 时，比 1-cosx高阶的无穷小是_ A （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 7.已知 f(x)=lnx，则 _ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由于 f(x)=lnx， 8.曲线 在 （分数：2.00）A.x=1B.y=1 C.y=x+1D.y=x-1解析：解析 由于9.函数 f(
12、x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)，则方程 f“(x)=0实根的个数为_（分数：2.00）A.2B.3C.4 D.5解析：解析 易知 f(x)在0，4上连续，在(0，4)内可导，且知 f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=0，即 f(x)在0，1，1，2，2，3，3，4均满足罗尔定理条件，可知存在 1 0，1， 2 1，2， 3 2，3， 4 3，4使得 f“( 1 )=f“( 2 )=f“( 3 )=f“( 4 )=0，又知 f(x)为 5次多项式，f“(x)为 4次多项式，故最多有 4个零点，综上可得，f“(x)=0 的实根个数为 4个，本题选 C10.设 y=y
13、(x)是由方程 y=xy+e x 确定的隐函数，则 _ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 对方程 y=xy+e x 两边对 x求导，其中 y为 x的函数，得 y“=y+xy“+e x ，即 即 11.已知函数 f(x)在区间0，a(a0)上连续，f(0)0，且在(0，a)上恒有 f“(x)0设 （分数：2.00）A.s1s2B.s1=s2C.s1s2 D.不确定解析：解析 由 f“(x)0 在(0，a)上恒成立知 f(x)在(0，a)严格单调增加，由题意知，存在 (0，a)，使得 12.曲线 y=x 3 +1_（分数：2.00）A.无拐点B.有一个拐点 C.有两个
14、拐点D.有三个拐点解析：解析 y“=3x 2 ，y“=6x，令 y“=0，得 x=0，当 x0 时，y“0，当 x0 时，y“0，故 x=0为曲线的一个拐点，本题选 B13.曲线 （分数：2.00）A.x=0，y=1B.x=1，y=0C.x=2，y=1D.x=2，y=0 解析：解析 故 x=2为曲线的铅直渐近线，14.设 F(x)是 f(x)的一个原函数，则e -x f(e -x )dx=_（分数：2.00）A.-F(ex)+CB.-F(e-x)+C C.F(ex)+CD.F(e-x)+C解析：解析 e -x f(e -x )=-f(e -x )de -x =-F(e -x )+C，本题选 B
15、15.设 f(x)在a，b上连续，则由曲线 y=f(x)与直线 x=a，x=b，y=0 所围成平面图形的面积为_ A B C （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由定积分的几何意义可知本题选 C16.设 f(x)是连续函数，满足 _ A0 B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 设 对题中等式两边取-1，1上定积分，得 则 故17.设 （分数：2.00）A.sinx+xcosxB.(x-1)cosxC.sinx-xcosxD.(x-1)sinx 解析：解析 由变上限积分求导公式，得 f“(x)=(x-1)sinx，本题选 D18.下列广义积分收敛的是_ A B
16、C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 19.微分方程 （分数：2.00）A.x2+y2=25B.3x+4y=CC.x2+y2=C D.y2-x2=7解析：解析 由 分离变量-xdx=ydy， 两边积分，得 20.解常微分方程 y“-2y“+y=xe x 的过程中，特解一般应设为_（分数：2.00）A.y*=(Ax2+Bx)exB.y*=AxexC.y*=AexD.y*=x2ex(Ax+B) 解析：解析 微分方程对应的齐次微分方程的特征方程为 r 2 -2r+1=0，即 r=1为特征二重根，由于 f(x)=xe x ，故特解形式应设为 x 2 e x (Ax+B)，故选 D21
17、.已知 a，b，c 为非零向量，且 ab=0，bc=0，则_（分数：2.00）A.a/b且 bcB.ab 且 b/c C.a/c且 bcD.ac 且 b/c解析：解析 由 ab=0，得 ab，由 bc=0，得 b/c，本题选 D22.直线 （分数：2.00）A.L在 上B.L与 平行但无公共点C.L与 相交但不垂直D.L与 垂直 解析：解析 直线的方向向量为 s=3，-2，5，平面的法向量为 n=6，-4，10，由23.在空间直角坐标系内，方程 2x 2 -y 2 =1表示的二次曲面是_（分数：2.00）A.球面B.双曲抛物面C.圆锥面D.双曲柱面 解析：解析 由曲面方程不含 z项，且方程为
18、2x 2 -y 2 =1，可知表示的是双曲柱面，本题选 D24. _ A0 B4 C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 25.点(0，0)是函数 z=xy的_（分数：2.00）A.驻点 B.极值点C.最大值点D.间断点解析：解析 26.设 D=(x，y)|x|2，|y|1|，则 （分数：2.00）A.0 B.-1C.2D.1解析：解析 由区域 D关于 x轴和 y轴均对称，故27.设 f(x，y)为连续函数， 交换积分次序后得到_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 画出积分区域如图，交换积分次序，得 28.L为从点(0，0)经点(0，1)到点(1，
19、1)的折线，则 L x 2 dy+ydx=_（分数：2.00）A.1 B.2C.0D.-1解析：解析 积分路径如图所示， 29.下列级数条件收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 D 中，绝对值级数为 的 p-级数，且为发散，而原级数30.级数 的和是_ A1 B2 C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 故级数的部分和为 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.设 （分数：2.00）解析：解析 32.设连续函数 f(x)满足 （分数：2.00）解析：解析 方程两边取0，2上的定积分，并设 得 则33.已知 （分数：2.00）解析：
20、1解析 34.设 f“(x 3 +1)=1+2x 3 ，且 f(0)=-1，则 f(x)= 1 （分数：2.00）解析：x 2 -x-1 解析 f“(x 3 +1)=1+2x 3 =2(x 3 +1)-1，故 f“(x)=2x-1， 所以 f(x)=x 2 -x+C，又 f(0)=-1，即 C=-1，故 f(x)=x 2 -x-135.不定积分cos2xdx= 1 （分数：2.00）解析：解析 36.若向量 a=0，1，1，b=1，0，1，c=1，1，0，则(ab)c= 1 （分数：2.00）解析：2 解析 37.微分方程 y“-4y“+4y一 0的通解 y(x)= 1 （分数：2.00）解析
21、：C 1 e 2x +C 2 xe 2x 解析 微分方程对应的特征方程为 r 2 -4r+4=0，得 r=2为二重特征根，故通解为 y(x)=C 1 e 2x +C 2 xe 2x 38.设 （分数：2.00）解析：2 解析 f x (x，0)=lnx 2 ， 39.函数 f(x，y，z)=x 2 +y 2 +z 2 在点(1，1，1)处方向导数的最大值为 1 （分数：2.00）解析： 解析 f x (x，y，z)| (1，1，1) =2x| (1，1，1) =2，f y (x，y，z)| (1，1，1) =2y| (1，1，1) =2，f z (x 1 ，y，z)| (1，1，1) =2z|
22、 (1，1，1) =2，故 f(x，y，z)在点(1，1，1)处的梯度gradf=2i+2j+2k；故方向导数的最大值为 40.函数 （分数：2.00）解析：解析 由于 的幂级数展开式为三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求极限 （分数：5.00）_正确答案：()解析：42.设 a n 为曲线 y=x n 与 y=x n+1 (n=1，2，3，4，)所围的面积，判定级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：由 x n =x n+1 ，得 x=0或 x=1，即曲线 y=x n 与 y=x n+1 交于点(0，0)和(1，1)，故 所以 43.求不定积分 （分数：5.00）_正确
23、答案：()解析：44.计算定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：45.解方程 xy“-y=x 3 （分数：5.00）_正确答案：()解析：原微分方程可变形为 所以方程的通解为 46.已知函数 z=f(x，y)由方程 e -xy -2z+e z =0所确定，求 dz （分数：5.00）_正确答案：()解析：令 F(x，y，z)=e -xy -2z+e z ， 则 F x =-ye -xy ，F y =-xe -xy ，F z =e z -2， 47.已知点 A(4，-1，2)，B(1，2，-2)，C(2，0，1)，求ABC 的面积 （分数：5.00）_正确答案：()解析：48.计算二重
24、积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：该二重积分适合选择极坐标系下进行计算：02，1r2， 49.计算曲线积分 L y(1+x 2 )dx+x(1-y 2 )dy，其中 L是圆周 x 2 +y 2 =1(逆时针方向) （分数：5.00）_正确答案：()解析：50.试确定幂级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析： 故收敛半径 R=1， 当 x=-1时，级数为 为收敛级数， 当 x=1时，级数为 为发散级数， 故原级数的收敛域为-1，1) 四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.欲围一个面积 150平方米的矩形场地所用材料的造价其正面是每米 6元，其余三面是每米 3元问场地的
25、长、宽各为多少时，才能使造价最低? （分数：7.00）_正确答案：()解析：设矩形场地正面长为 x，相邻边长为 y，则 总造价 令 F y =0，在 x0 范围内得唯一驻点 x=10， 由实际问题最小值一定存在，故 x=10时，F 取得最小值，此时 52.已知 D是抛物线 L：y 2 =2x和直线 （分数：7.00）_正确答案：()解析：区域 D如图所示： (1)区域 D的面积： (2)旋转体体积： 五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.设 eabe 2 ，证明 （分数：6.00）_正确答案：()解析：令 f(x)=ln 2 x，因 eabe 2 ，f(x)在a，b上满足拉格朗日中值定理，且 故存在 (a，b)，使得 令 得 在 xe，e 2 上 g“(x)0， 故 g(x)单调减少，g(x)在e，e 2 上最小值为 由于 (e，e 2 )，所以 即
