1、2008年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷及答案解析(总分：32.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：8，分数：16.00)1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。（分数：2.00）_2.为提高数值计算精度，当近似值 X1 时，应将 （分数：2.00）_3.求方程 x=f(x)实根的 Newton迭代格式是_（分数：2.00）_4.设 （分数：2.00）_5.给定函数 f(x)=x 5 +1，则差商 f0，1，1，1=_（分数：2.00）_6.求积分 （分数：2.00）_7.求解初值问题 （分数：2.00）_8.设 A是实对称矩阵，则求其主特征值及对应的
2、特征向量的幂法(归一化算法)是_（分数：2.00）_二、计算题(总题数：2，分数：4.00)9.给定方程 e x =2-x，证明该方程存在唯一实根 x * ，并用迭代法求 x * 的近似值，精确到 3位有效数字（分数：2.00）_10.用列主元 Gauss消去法求解线性方程组 （分数：2.00）_三、综合题(总题数：6，分数：12.00)11.给定线性方程组 Ax=b，这里 AR nn 为非奇异矩阵，bR n ，xR n 设有下面的迭代格式 x (k+1) =x (k) +(b-Ax (k) )，k=0，1，2，(A)其中 0 为常数 1)证明：如果迭代格式(A)收敛，则迭代序列 收敛于方程
3、Ax=b的解； 2)设 n=2， （分数：2.00）_12.求一个函数 p(x)，使之满足下面的三个条件：1)p(x)C 1 0，22)p(0)=f(0)，p(1)=f(1)，p(2)=f(2)，P(0)=f(0)；3)p(x)在0，1和1，2上均为 2次多项式（分数：2.00）_13.求函数 f(x)=lnx在区间1，2上的 1次最佳一致逼近多项式 P 1 (x)=C 0 +C 1 x（分数：2.00）_14.考虑积分 及对应的求积公式 （分数：2.00）_15.给定常微分方程初值问题 取正整数 n，记 ,x i =a+ih，y i y(x i )，1in，y 0 =n 1)试应用数值积分公
4、式导出求解上述初值问题的求解公式(B) （分数：2.00）_16.给定边值问题 其中=(x，y) 0x1，0y1， （分数：2.00）_2008年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷答案解析(总分：32.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：8，分数：16.00)1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。（分数：2.00）_解析：2.为提高数值计算精度，当近似值 X1 时，应将 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：3.求方程 x=f(x)实根的 Newton迭代格式是_（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：4.设 （分数：2.00）
5、_正确答案：(正确答案： )解析：5.给定函数 f(x)=x 5 +1，则差商 f0，1，1，1=_（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：6)解析：6.求积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(-1)+f(1)解析：7.求解初值问题 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y i+1 =y i hsin(x i+1 +y i+1 )解析：8.设 A是实对称矩阵，则求其主特征值及对应的特征向量的幂法(归一化算法)是_（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：u 0 =v 0 R n ，v k =Au k-1 ，m k =maxv k ，u k =v k m k ，k=1，2，)
6、解析：二、计算题(总题数：2，分数：4.00)9.给定方程 e x =2-x，证明该方程存在唯一实根 x * ，并用迭代法求 x * 的近似值，精确到 3位有效数字（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=e x +x-2，则 f(x)在 R上连续f(0)=-10，f(1)=e-10，又 f“(x)=e 2 +10，xR，即 f(x)单调增所以方程 f(x)=0有唯一实根 x * (0，1) 用 Newton迭代格式求根，迭代格式为 )解析：10.用列主元 Gauss消去法求解线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：三、综合题(总题数：6，分数：12.00
7、)11.给定线性方程组 Ax=b，这里 AR nn 为非奇异矩阵，bR n ，xR n 设有下面的迭代格式 x (k+1) =x (k) +(b-Ax (k) )，k=0，1，2，(A)其中 0 为常数 1)证明：如果迭代格式(A)收敛，则迭代序列 收敛于方程 Ax=b的解； 2)设 n=2， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)设迭代格式(A)收敛，不妨设 在(A)式两边取极限得 x * =x * +(b-Ax * )由于 0，所以 bAx * =0，即 x * 是方程 Ax=b的解 2)将(A)改写为 x k+1 =(IA)x (k) +b根据迭代法收敛定理可知该迭代格式收敛的充
8、要条件是 (IA)1迭代矩阵 IA 的特征方程是 )解析：12.求一个函数 p(x)，使之满足下面的三个条件：1)p(x)C 1 0，22)p(0)=f(0)，p(1)=f(1)，p(2)=f(2)，P(0)=f(0)；3)p(x)在0，1和1，2上均为 2次多项式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法 1：设 P“(1)=m 1 由 p(0)=f(0)，p(1)=f(1)，P“(0)=f“(0)得 p(x)=f(0)+f0，0x+f0，0，1x 2 =f(0)+f“(0)x+f(1)-f(0)-f“(0)x 2 ，x0，1因为 p(x)C 1 0，2，所以 m 1 =P“(1)=f“
9、(0)+2f(1)-f(0)-f“(0)=2f(1)-f(0)-f“(0)，由 p(1)=f(1)，p)解析：13.求函数 f(x)=lnx在区间1，2上的 1次最佳一致逼近多项式 P 1 (x)=C 0 +C 1 x（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为当 x(1，2)时，f“(x)= )解析：14.考虑积分 及对应的求积公式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)以 0，1,2 为节点的插值基函数是 l 0 (x)= (x-1)(x-2)，l 1 (x)=-x(x-2)，l 2 (x)= (x-1) 0 3 l 0 (x)dx= )解析：15.给定常微分方程初值问题 取正整
10、数 n，记 ,x i =a+ih，y i y(x i )，1in，y 0 =n 1)试应用数值积分公式导出求解上述初值问题的求解公式(B) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)将方程两边在x i-1 ，x i+1 上积分得 y(x i+1 )=y(x i-1 )+ xi-1 xi+1 f(x，y(x)dx，由中点公式得 y(x i+1 )=y(x i-1 )+2hf(x i ，y(x i )+ )解析：16.给定边值问题 其中=(x，y) 0x1，0y1， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：考虑节点(x i ，y i j)处的方程 1i，jM-1 记 U ij =u(x i ，y j )，则利用 Taylor展开得 其中 ij (x i-1 ,x i+1 )， ij (y i-1 ，y i+1 )， )解析：
