1、2009年春季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷及答案解析(总分：28.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：12.00)1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。（分数：2.00）_2.已知 x=0045，y=2013 均为有效数，则 （分数：2.00）_3.已知矩阵 （分数：2.00）_4.设函数 f(x)=2x 3 -x+1，则 f(x)以 x 0 =-1，x 1 =0，x 2 =1为插值节点的二次插值多项式为_（分数：2.00）_5.设函数 f(x)C 2 x 0 -h，x 0 +h，h0，则 （分数：2.00）_6.求积分 （分数：2.00）_
2、二、计算题(总题数：2，分数：4.00)7.分析非线性方程 （分数：2.00）_8.给定方程组 Ax=b，其中 A= （分数：2.00）_三、综合题(总题数：6，分数：12.00)9.已知函数 f(x)在区间x 0 ，x 2 上有定义，且 x 1 = （分数：2.00）_10.求函数 f(x)= （分数：2.00）_11.已知函数 f(x)C 4 -a，a，I(f)= 1)试确定求积公式 =A 0 f(-a)+A 1 f(0)+A 2 f(a)中的参数 A 0 ，A 1 ，A 2 ，使 的代数精度达到最高，并指出此时该求积公式的代数精度次数；2)求 I(f)- 形如 （分数：2.00）_12.
3、给定常微分方程初值问题 取 （分数：2.00）_13.对于定解问题 取正整数 M，N，令 x i =ih,i=0,1,M; t k =kt,k=0,1,N 1)构造求解该初边值问题的隐式差分格式，并给出其截断误差表达式； 2)取 应用 1)中构造的求解公式计算 以及 （分数：2.00）_14.已知 A，BR nn ，其中 A非奇异，B 为奇异矩阵，试证明 （分数：2.00）_2009年春季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷答案解析(总分：28.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：12.00)1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。（分数：2.00）_
4、解析：2.已知 x=0045，y=2013 均为有效数，则 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：090210 -4)解析：3.已知矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：4.设函数 f(x)=2x 3 -x+1，则 f(x)以 x 0 =-1，x 1 =0，x 2 =1为插值节点的二次插值多项式为_（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x+1)解析：5.设函数 f(x)C 2 x 0 -h，x 0 +h，h0，则 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：6.求积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：二、计算题(总题数：2，分数：4.00
5、)7.分析非线性方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x)=sinx- ，显然 f(x)=0在(2，+)内无根在(0，2内，f“(x)=cosx- ，当 时，f“(x)=0又注意到 f(0)=0，故在 内，f“(x)0，函数单凋递增，f(0)=0，因此方程无根；在 内，f“(x)0，函数单调递减， f(2)0，有唯一根所以方程sinx- =0在(0，+)内有唯一根 x * 求解该方程的 Newton迭代格式为 x k+1 =x k - )解析：8.给定方程组 Ax=b，其中 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Jacobi 迭代矩阵的特征方程为 即 3 4 2 =
6、0，求得 1 =0， 2 =2， 3 =-2，当且仅当21，即 时，Jacobi 格式收敛 GaussSeidel 迭代格式迭代矩阵的特征方程为 )解析：三、综合题(总题数：6，分数：12.00)9.已知函数 f(x)在区间x 0 ，x 2 上有定义，且 x 1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法 1：由于 p“(x 1 )=0，P“(x 1 )=0，可设 p“(x)=A(xx 1 ) 2 ，两边积分得p(x)= (xx 0 ) 3 +B由 p(x 0 )=f(x 0 )得 )解析：10.求函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 0 (x)=1， 1 (
7、x)=x，则( 0 , 0 )= 0 1 1dx,( 0 , 1 )= 0 1 xdx= ，( 1 , 1 )= 0 1 x 2 dx= )解析：11.已知函数 f(x)C 4 -a，a，I(f)= 1)试确定求积公式 =A 0 f(-a)+A 1 f(0)+A 2 f(a)中的参数 A 0 ，A 1 ，A 2 ，使 的代数精度达到最高，并指出此时该求积公式的代数精度次数；2)求 I(f)- 形如 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)由代数精度定义有 求得 当 f(x)=x 3 时，有 当 f(x)=x 4 时，有 故该公式有 3次代数精度 2)以 H(-a)=f(-a)，H(0)=
8、f(0)，H(a)=f(a)，H“(0)=f“(0)为插值条件作 3次插值多项式 H(x)，则有 f(x)-H(x)= (x+a)(x-a)x 2 ，而 =A 0 H(-a)+A 1 H(0)+A 2 H(a)= )解析：12.给定常微分方程初值问题 取 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)局部截断误差 R i+1 =y(x i+1 )-y(x i )-hf(x i ，y(x i )+(1-)f(x i+1 ，y(x i+1 )=y(x i )+hy“(x i )+ y“(x i )+ )解析：13.对于定解问题 取正整数 M，N，令 x i =ih,i=0,1,M; t k =kt
9、,k=0,1,N 1)构造求解该初边值问题的隐式差分格式，并给出其截断误差表达式； 2)取 应用 1)中构造的求解公式计算 以及 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)在节点(x i ，t k )处考虑微分方程 由 Taylor展开得 x i-1 i x i+1 将上面两式代入方程得 略去截断误差 并令 u i k u(x i ，t k )得 2)取 要求的 )解析：14.已知 A，BR nn ，其中 A非奇异，B 为奇异矩阵，试证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 B是奇异阵，A 非奇异，则 A -1 B奇异，故必存在 xR n 且 x0 使 A -1 Bx=0因此(I-A -1 B)x=x两边取范数得x=(IA -1 B)x(IA -1 B)x因为x0，所以I-A -1 B)1，从而有 1IA -1 B)=A -1 (AB)(AB).A -)解析：
