1、2016年陕西省宝鸡市高考一模数学文 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 . 1. 已知集合 A=x|1 x 2， B=x|x2-1 0，则 A B=( ) A.x|-1 x 1 B.x|-1 x 2 C.1 D. 解析： B=x|x2-1 0=x|-1 x 1 则 A B=1. 答案： C 2. 复数 2 ii(i是虚数单位 )的虚部为 ( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析：复数 2 122 = iiii i i i 的虚部为 -2. 答案： A. 3. 下列函数中，奇函数是 ( ) A.f(x)=2
2、x B.f(x)=log2x C.f(x)=sinx+1 D.f(x)=sinx+tanx 解析： A.f(x)=2x为增函数，非奇非偶函数， B.f(x)=log2x的定义域为 (0， + )，为非奇非偶函数， C.f(-x)=-sinx+1，则 f(-x) -f(x)且 f(-x) f(x)，则函数 f(x)为非奇非偶函数， D.f(-x)=-sinx-tanx=-(sinx+tanx)=-f(x)，则函数 f(x)为奇函数，满足条件 . 答案： D 4. 在 ABC， a= 2 ， b= 3 ， B=3，则 A等于 ( ) A.6B.4C.34D.4或 34解析：由正弦定理可得： sin
3、A=asinBb= 2 3 3sin = 22 a= 2 b= 3 0 A3 A=4. 答案： B. 5. 执行如图所示的程序框图，若输入 A的值为 2，则输入的 P值为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析： S=1，满足条件 S 2，则 P=2， S=1+12=32满足条件 S 2，则 P=3， S=1+12+13=116满足条件 S 2，则 P=4， S=1+12+13+14=2512不满足条件 S 2，退出循环体，此时 P=4 答案： C 6. “ x 1”是“ log12x 0”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4、 解析：当“ x 1”时， x可能小于等于 0，此时“ log12x 0”无意义， 当“ log12x 0”时， 0 x 1，此时“ x 1”成立， 故“ x 1”是“ log12x 0”的必要而不充分条件 . 答案： B. 7. 已知实数 x， y满足 1218yyxxy，则目标函数 z=x-y的最小值为 ( ) A.-2 B.5 C.6 D.7 解析：如图作出阴影部分即为满足约束条件 1218yyxxy的可行域， 由 218yxxy得 A(3， 5)， 当直线 z=x-y平移到点 A时，直线 z=x-y在 y轴上的截距最大，即 z取最小值， 即当 x=3， y=5时， z=x-y取最小值为
5、 -2. 答案： A. 8. 对于任意向量 a 、 b 、 c ，下列命题中正确的是 ( ) A.|a b |=|a |b | B.|a +b |=|a |+丨 b 丨 C.(a b )c =a (b c ) D.a a =|a |2 解析： a b =|a |b |cos a ， b ， |a b | |a |b |， A错误； 根据向量加法的平行四边形法则， |a +b | |a |+|b |，只有当 a ， b 同向时取“ =”， B错误； (a b )c 是向量，其方向与向量 c 相同， a (b c )与向量 a 的方向相同， C错误； a a =|a |a |cos0=|a |2，
6、 D正确 . 答案： D 9. 若直线 x+y=a+1被圆 (x-2)2+(y-2)2=4所截得的弦长为 2 2 ，则 a=( ) A.1或 5 B.-1或 5 C.1或 -5 D.-1或 -5 解析：直线 x+y=a+1 被圆 (x-2)2+(y-2)2=4所截得的弦长为 2 2 ， 圆心 (2， 2)到直线 x+y-a-1=0的距离为 d= 222 2 2. 由点到直线的距离公式得： 2 2 1 22a ，解得： a=1或 5. 答案： A. 10. 若函数 y=f(x)+cosx在 -4， 34上单调递减，则 f(x)可以是 ( ) A.1 B.-sinx C.cosx D.sinx 解
7、析： A.若 f(x)=1，则 y=1+cosx，显然 cosx在 -4， 34上没有单调性； y=1+cosx在 -4， 34上没有单调性，即该选项错误； B.若 f(x)=-sinx，则 y=-sinx+cosx=- 2 sin(x-4)； 令 x-4 t， t -2，2，则： sint在 -2，2上单调递增； y=- 2 sint在 -2，2上单调递减； y=-sinx+cosx在 -4， 34上单调递减，即该选项正确； C同 A，可说明 C选项错误， D同 B可说明 D选项错误 . 答案： B. 11. 已知三角形 PAD 所在平面与矩形 ABCD所在平面互相垂直， PA=PD=AB=
8、2， APD=90，若点 P、 A、 B、 C、 D都在同一球面上，则此球的表面积等于 ( ) A.4 3 B. 3 C.12 D.20 解析：设球心为 O，如图 . 由 PA=PD=AB=2， APD=90，可求得 AD=2 2 ， 在矩形 ABCD中，可求得对角线 BD= 222 2 2 2 3， 由于点 P、 A、 B、 C、 D 都在同一球面上， 球的半径 R=12BD= 3 则此球的表面积等于 =4 R2=12 . 答案： C. 12. 对定义在 0， 1上，并且同时满足以下两个条件的函数 f(x)成为 M函数：对任意的 x 0， 1恒有 f(x) 0；当 x1 0， x2 0， x
9、1+x2 1时，总有 f(x1+x2) f(x1)+f(x2)成立，则下列函数不是 M函数的是 ( ) A.f(x)=x2 B.f(x)=2x-1 C.f(x)=ln(x2+1) D.f(x)=x2+1 解析： A.f(x)=x2，该函数显然满足， f(x1+x2)=(x1+x2)2 x12+x22+2x1x2 f(x1)+f(x2)，即满足； 该函数是 M函数； B.f(x)=2x-1， x 0， 1时，显然 f(x) 0，即满足； x1 0， x2 0， f(x1+x2)=2x1+x2-1， f(x1+x2)-f(x1)+f(x2)=(2x1-1)(2x2-1) 0； 该函数为 M函数；
10、C.f(x)=ln(x2+1)，显然满足； f(x1+x2) ln(2x1x2+x12+x22+1)， f(x1)+f(x2)=ln(x1x2) (x1x2)+x12+x22+1； x1 0， x2 0， x1+x2 1； 2x1x2 (x1x2) (x1x2)； f(x1+x2) f(x1)+f(x2)，即满足； 该函数是 M函数； D.f(x)=x2+1，当 x1=0， x2=1 时， f(x1+x2)=2， f(x1)+f(x2)=3； 不满足； 该函数不是 M函数 . 答案： D. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 .把答案填在答题卡中对应题号后的横线上 .
11、 13. 已知向量 a =(1， x)， b =(x-1， 2)，若 a b ，则 x=_. 解析：因为 a b ，所以 1 2=x(x-1)，解得 x=2或者 -1. 答案： 2或 -1. 14. 函数 y=12sinx+ 32cosx(x 0，2)的单调递增区间是 _. 解析：化简可得 y=sinxcos3+cosxsin3=sin(x+3)， 由 2k -2 x+3 2k +2可得 2k -56 x 2k +6， k Z， 当 k=0时，可得函数的一个单调递增区间为 -56，6， 由 x 0，2可得 x 0，6. 答案： 0，6. 15. 已知函数 f(x)= 1 () 042( 0 )
12、xxf x x ， ，则 f(2016)=_. 解析： f(x)= 1 () 042( 0 )xxf x x ， ， f(2016)=f(504 4)=f(0)=(12)0=1. 答案： 1. 16. 某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为 4 千米时，运费为 20万元，仓储费用为 5 万元，当工厂和仓库之间的距离为 _千米时，运费与仓储费之和最小，最小值为 _万元 . 解析：设工厂和仓库之间的距离为 x 千米，运费为 y1万元，仓储费为 y2万元，则 y1=k1x，y2= 2kx工厂和仓库之间的
13、距离为 4千米时，运费为 20万元，仓储费用为 5万元， k1=5， k2=20， 运费与仓储费之和为 5x+20x 5x+20x 2025xx=20，当且仅当 5x=20x，即 x=2时，运费与仓储费之和最小为 20 万元 . 答案： 2， 20 三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. 已知单调递增的等比数列 an满足： a2+a3+a4=28，且 a3+2是 a2、 a4的等差中项 . ( )求数列 an的通项公式； ( )若 bn=anlog2an， Sn=b1+b2+ +bn，求数列 bn的前 n项和 Sn. 解析： ( )设等比数列 an的首项为 a1，公比为
14、q，由于 a3+2 是 a2、 a4的等差中项，可得2(a3+2)=a2+a4.代入 a2+a3+a4=28，得 a3.再利用等比数列的通项公式即可得出 . ( )由 ( )知， bn=anlog2an=n 2n.再利用“错位相减法”与等比数列的前 n项和公式即可得出 . 答案： ( )设等比数列 an的首项为 a1，公比为 q， a3+2是 a2、 a4的等差中项， 2(a3+2)=a2+a4. 代入 a2+a3+a4=28，得 a3=8. 21211 2 08a q qaq， 解之得： 1 22aq或 1 3212aq， 又 an单调递增， 1 22aq， an=2n. ( )由 ( )知
15、， bn=anlog2an=n 2n. Sn=2+2 22+3 23+ +n 2n， 2Sn=22+2 23+3 24+ +(n-1) 2n+n 2n+1， -Sn=2+22+ +2n-n 2n+1= 2 2 121n -n 2n+1=(1-n) 2n+1-2， Sn=(n-1) 2n+1+2. 18. 正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 l，点 F、 H分别为 A1D、 A1C的中点 . ( )证明： A1B平面 AFC； ( )证明： B1H平面 AFC. 解析： ( )连 BD交 AC于点 E，连 EF，可得 EF是 A1BD的中位线，得 EF A1B，利用线面平行的判定定理即可
16、证出 A1B平面 AFC； ( )连结 B1C，根据正方体的对角面 A1B1CD 为矩形，得 A1C 的中点 H 也是 B1D 的中点，因此问题转化为证明 B1D平面 AFC.利用正方体的性质，结合线面垂直的判定与性质证出 AF B1D且 AE B1D，最后根据 AF、 AE是平面 AFC内的相交直线，可得 B1D平面 AFC，由此得到 B1H平面 AFC. 答案： ( )连结 BD交 AC于点 E，则 E为 BD的中点，连结 EF EF是 A1BD的中位线， EF A1B EF 平面 AFC， A1B 平面 AFC， A1B平面 AFC； ( )连结 B1C，在正方体 ABCD-A1B1C1
17、D1中，四边形 A1B1CD是矩形 矩形 A1B1CD 中， H为 A1C的中点， H也是 B1D的中点 因此，要证明 B1H平面 AFC，即证明 B1D平面 AFC 正方体 ABCD-A1B1C1D1中， A1B1平面 AA1C1C， AF 平面 AA1D1D， AF A1B1 又正方形 AA1D1D中， AF A1D， A1B1 A1D=A1， AF平面 A1B1CD，结合 B1D 平面 A1B1CD，得 AF B1D 同理可证： AE B1D， AF、 AE是平面 AFC内的相交直线， B1D平面 AFC，即 B1H平面 AFC 19. 某网站针对“ 2015 年春节放假安排”开展网上问
18、卷调查，提出了 A、 B 两种放假方案，调查结果如表 (单位：万人 )： 已知从所有参与调查的人种任选 1人是“老年人”的概率为 35. ( )求 n的值； ( )从参与调查的“老年人”中，用分层抽样的方法抽取 6人，在这 6人中任意选取 2 人，求恰好有 1人“支持 B 方案”的概率 . 解析： ( )根据分层抽样时，各层的抽样比相等，结合已知构造关于 n的方程，解方程可得n值 . ( )支持 A 方案的有 4(人 )，分别记为 1， 2， 3， 4，支持 B 方案”的有 2 人，记为 a， b，列举出所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，代入古典概率概率计算公式，可得答案 . 答案 ：
19、 ( )利用层抽样的方法抽取 n个人时，从“支持 A方案”的人中抽取了 6人， 35= 8002 0 0 8 0 0 1 0 0 1 0 0 4 0 0nn ， 解得 n=400， ( )支持 A方案的有 8001200 6=4(人 )，分别记为 1， 2， 3， 4 支持 B方案”的有 4001200 6=2人，记为 a， b 所有的基本事件有： (1， 2)， (1， 3)， (1， 4)， (1， a)， (1， b)， (2， 3)， (2， 4)， (2， a)， (2， b) (3， 4)， (3， a)， (3， b) (4， a)， (4， b)， (a， b)共 15 种，
20、恰好有 1 人“支持 B 方案”事件有： (1， a)， (1， b)， (2， a)， (2， b)， (3， a)， (3， b)，(4， a)， (4， b)，共 8 种 . 故恰恰好有 1人“支持 B方案”的概率 P=815. 20. 已知椭圆 M： 22143xy，点 F1， C 分别是椭圆 M 的左焦点、左顶点，过点 F1的直线l(不与 x轴重合 )交 M 于 A， B两点 . ( )求 M的离心率及短轴长； ( )是否存在直线 l，使得点 B 在以线段 AC 为直径的圆上，若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由 . 解析： ( )通过椭圆 M 方程： 22143xy，直
21、接计算即可； ( )通过设 B(x0， y0)(-2 x0 2)，利用1BF BC 0可得 B (0，2)，进而可得结论 . 答案： ( )由 22143xy，得： a 2， b 3 ， 椭圆 M的短轴长为 2 3 ， c 22ab 1， e ca 12，即 M的离心率为 12； ( )结论：不存在直线 l，使得点 B在以 AC为直径的圆上 . 理由如下： 由题意知： C(-2， 0)， F1(-1， 0)， 设 B(x0， y0)(-2 x0 2)，则 2200143xy. 1BF BC (-1-x0， -y0) (-2-x0， -y0) =2+3x0+x02 +y02 =14x02+3x0
22、+5 0， cos F1BC 0， F1BC为锐角，即 B (0，2)， 点 B不在以 AC 为直径的圆上，即：不存在直线 l，使得点 B在以 AC为直径的圆上 . 21. 设函数 f(x)=x(ex-1)+ax2 ( )当 a=-12时，求 f(x)的单调区间； ( )若当 x 0时， f(x) 0恒成立，求 a的取值范围 . 解析： (1)当 a -12时， f(x) x(ex-1)- 212x，由此利用导数性质能求出 f(x)的单调区间 . (2)f(x)=x(ex-1)+ax2=x(ex-1+ax)，令 g(x)=(ex-1+ax)， x 0， + )，由此利用导数性质能求出 a的取值
23、范围 . 答案： (1)当 a -12时， f(x) x(ex-1)- 212x， f(x)=(ex-1)+xex-x=(x+1)(ex-1) 令 f(x) 0，得 x -1或 x 0； 令 f(x) 0，得 -1 x 0 所以 f(x)的单增区间为 (-， -1)， (0， + )；单减区间为 (-1， 0). (2)f(x)=x(ex-1)+ax2=x(ex-1+ax)， 令 g(x)=(ex-1+ax)， x 0， + )， g(x)=ex+a， g(0)=0 当 a -1时， g(x)=ex+a 0， g(x)在 0， + )上为增函数， 而 g(0)=0，从而当 x 0时， f(x)
24、 0恒成立 . 当 a -1时，令 g(x)=ex+a=0，得 x=ln(-a). 当 x (0， ln(-a)时， g(x) 0， g(x)在 (0， ln(-a)上是减函数， 而 g(0)=0，从而当 x (0， ln(-a)时， g(x) 0，即 f(x) 0 综上， a的取值范围是 -1， + ) 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。选修 4-1 几何证明选讲 22. 如图， A， B， C为 O上的三个点， AD是 BAC的平分线，交 O于点 D，过 B作 O的切线交 Ad的延长线于点 E. ( )证明： BD平分 E
25、BC； ( )证明： AE DC=AB BE. 解析： ( )由 BE是 O的切线，可得 EBD= BAD，又 CBD= CAD， BAD= CAD，从而可求 EBD= CBD，即可得解 . ( )先证明 BDE ABE，可得 BE BDAE AB，又可求 BCD= DBC， BD=CD，从而可得B E B D C DA E A B A B ，即可得解 . 答案： ( )因为 BE是 O的切线，所以 EBD= BAD 又因为 CBD= CAD， BAD= CAD 所以 EBD= CBD，即 BD平分 EBC. ( )由 ( )可知 EBD= BAD，且 BED= BED，有 BDE ABE，所
26、以 BE BDAE AB， 又因为 BCD= BAE= DBE= DBC，所以 BCD= DBC， BD=CD 所以 B E B D C DA E A B A B ， 所以 AE DC=AB BE 选修 4-4：极坐标与参数方程选讲 23. 已知曲线 C的极坐标方程是 =2sin，直线 l的参数方程是3 2545xtyt (t为参数 ) ( )将曲线 C的极坐标方程化为直角坐标方程； ( )设直线 l与 x轴的交点是 M， N是曲线 C上一动点，求 MN的最大值 . 解析： ( )曲线 C的极坐标方程可化为 2=2 sin，由此能求出曲线 C的直角坐标方程 . ( )将直线 l 的参数方程化为
27、直角坐标方程，求出 M 点的坐标，从而得到 |MC|，再由 |MN| |MC|+r，能求出 MN 的最大值 . 答案： ( )曲线 C的极坐标方程可化为 2=2 sin， 又 x2+y2= 2， x= cos， y= sin， 曲线 C的直角坐标方程为 x2+y2-2y=0. ( )将直线 l的参数方程化为直角坐标方程，得 y=-43(x-2). 令 y=0，得 x=2，即 M 点的坐标为 (2， 0). 又曲线 C为圆，圆 C的圆心坐标为 C(0， 1)，半径 r=1， 直线 l与 x轴的交点是 M， M(2， 0)， |MC|= 41 = 5 ， N是曲线 C上一动点， |MN| |MC|
28、+r= 5 +1. 故 MN的最大值为 5 +1. 选修 4-5：不等式选讲 24. 已知函数 f(x)=2 x + 5 x ( )求证： f(x) 5，并说明等号成立的条件； ( )若关于 x的不等式 f(x) |m-2|恒成立，求实数 m的取值范围 . 解析： ( )由柯西不等式可得 (2 x + 5 x )2 (22+12)( x )2+( 5 x )2=25，即可得证； ( )关于 x的不等式 f(x) |m-2|恒成立，等价于 |m-2| 5，即可求出实数 m的取值范围 . 答案： ( )证明：由柯西不等式可得 (2 x + 5 x )2 (22+12)( x )2+( 5 x )2=25 f(x)=2 x + 5 x 5，当且仅当2x 51 x，即 x=4时等号成立； ( )解：关于 x的不等式 f(x) |m-2|恒成立，等价于 |m-2| 5， m 7或 m -3.
