1、考研数学一-一元函数微分学及答案解析(总分：146.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：60，分数：60.00)1.下列结论正确的是（分数：1.00）A.B.C.D.2.若极限 （分数：1.00）A.B.C.D.3.若极限 （分数：1.00）A.B.C.D.4.下列命题若 f(x)，g(x)在 x=x0同时可导，且 f(x0)=g(x0)，则 f(x0)=g(x0)若 x(x 0-，x 0+，xx 0时 f(x)=g(x)，则 f(x)与 g(x)在 x=x0有相同的可导性若 邻域(x 0-，x 0+)，当 x(x 0-，x 0+)时 f(x)=g(x)，则 f(x)与 g(x)在
2、 x=x0有相同的可导性若可导，则 f(x0)=g(x0)设函数 f(x)在x 0，x 0+上连续，在(x 0，x 0+ 内可导(0)，且 存在，则有（分数：1.00）A.B.C.D.5.下列命题f(x)在 x0的微分是一个雨数设 f(x)在(a，b)可微，则 f(x)的微分随 x 及x 的变化而变化du 与u 一定相等函数 y=f(x)的微分 dy=f(x)x 中的x 一定要绝对值很小中正确的是(A) 、 (B) 、 (C) 、 (D) 、（分数：1.00）A.B.C.D.6.设 u=(x)在(a，b)可微，则 (x)=C 1x+C2 (c1，c 2为 （分数：1.00）A.B.C.D.7.
3、下列命题正确的是(A) 若导函数有不连续点，则只可能是第二类间断点(B) 若函数 f(x)在(a，+)内可导， 存在，则 存在反之亦然(C) 设函数 f(x)有界，且 存在，则 （分数：1.00）A.B.C.D.8.下列命题正确的是(A) 若函数 f(x)在(-，+)内处处可微，则其导函数 f(x)必处处连续(B) 若函数 f(x)在点 x0可微，则当x0 时，y 与 dy 是同阶无穷小(C) 设函数 y=f(u)二阶可导，则由 dy=f(u)du 知d2y=df(u)du=f(u)dudu=f“(u)(du)2(D) 若函数 f(x)在点 x0可导，则 f(x)在点 x0可微分（分数：1.0
4、0）A.B.C.D.9.设 k 为常数，函数 y=f(x)在点 x=x0处的增量满足 （分数：1.00）A.B.C.D.10.若函数 f(x)在其可导点 x 处自变量有增量x=0.2 时，对应的函数值增量的线性主部等于 0.8，则f(x)等于(A) 0.4 (B) 0.16 (C) 4 (D) 1.6（分数：1.00）A.B.C.D.11.若函数 y=f(x)在 x0处的导数不为 0.1，则当x0 时，该函数在 x=x0处的微分 dy 是(A) 与x 等价的无穷小 (B) 与x 同阶但非等价的无穷小(C) 比x 低阶的无穷小 (D) 比x 高阶的无穷小（分数：1.00）A.B.C.D.12.设
5、 f(x)，g(x)定义在(-1，1)上，且都在 x=0 处连续，若 （分数：1.00）A.B.C.D.13.设 （分数：1.00）A.B.C.D.14.设函数 （分数：1.00）A.B.C.D.15.设函数 f(x)在 x=0 处连续可导，则 f(|x|)在 x=0 处(A) 连续且可导 (B) 连续但不一定可导(C) 一定不可导 (D) 不一定连续（分数：1.00）A.B.C.D.16.设 f(x)在 x=0 的一个邻域内有定义，f(0)=0，且当 x0 时，f(x)是 x2的同阶无穷小，则 f(x)在 x=0处(A) 不连续 (B) 连续但不可导(C) 可导且 f(0)=0 (D) 可导
6、且 f(0)0（分数：1.00）A.B.C.D.17.设函数 f(x)在区间(a-，a+)内连续，其中常数 0，又 f(a)=0，则函数 g(x)=|z-a|f(x)在 x=a处(A) 不连续 (B) 连续但不可导(C) 可导但 g(a)0 (D) 连续且 g(a)=0（分数：1.00）A.B.C.D.18.设 f(x)在 x0处存在左、右导数，则 f(x)在点 x0处(A) 可导 (B) 连续 (C) 不可导 (D) 不一定连续（分数：1.00）A.B.C.D.19.设 ，则下列结论正确的是(A) 未必存在(B) f(x)在 x=x0处必连续，但未必可导(C) （分数：1.00）A.B.C.
7、D.20.函数 f(x)=(x2-1)|x3-x|不可导点的个数是(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0（分数：1.00）A.B.C.D.21.设函数 （分数：1.00）A.B.C.D.22.设 f(x)在 x=x0的某个邻域内有定义，则“ （分数：1.00）A.B.C.D.23.设 f(x)在 x=0 的一个邻域内有定义，且 f(0)=0，则 f(x)在 x=0 可导等价于（分数：1.00）A.B.C.D.24.设 F(x)=g(x)(x)，(x)在 x=a 连续，但不可导，又 g(a)存在，则 g(a)=0 是 F(x)在 x=a 处可导的(A) 充要条件 (B) 充分非必要条件(
8、C) 必要非充分条件 (D) 既非充分又非必要条件（分数：1.00）A.B.C.D.25.设 f(x)在 x0处可导，g(x)在 x0处不连续，则 f(x)g(x)在 x0处(A) 必不连续 (B) 可能连续必不可导(C) 可能可导但导数必不连续 (D) 可能存在任意阶导数（分数：1.00）A.B.C.D.26.下列说法正确的是(A) 设 u=(x)在 x=x0处可导，而 y=f(u)在 u0=(x 0)处不可导，则复合函数 f(x)在 x=x0处一定不可导(B) 设 u=(x)在 x=x0处不可导，而 y=f(u)在 u0=(x 0)处可导，则复合函数 f(x)在 x=x0处一定不可导(C)
9、 设 u=(x)在 x=x0处不可导，而 y=f(u)在 u0=(x 0)处也不可导，则复合函数 f(x)x=x 0处一定不可导(D) 函数 u=(x)在 x=x0处或函数 y=f(u)在 u0=(x 0)处不可导时，复合函数 f(x)在 x=x0处未必不可导（分数：1.00）A.B.C.D.27.设 （分数：1.00）A.B.C.D.28.设 为实数， （分数：1.00）A.B.C.D.29.设函数 f(x)处处有定义，在 x=0 处可导，且 f(0)=1，并对任何实数 x 和 h，恒有 f(x+h)=f(x)+f(h)+2hx，则 f(x)等于(A) 2x+1 (B) x+1 (C) x
10、(D) e x（分数：1.00）A.B.C.D.30.设 f(x)连续，令 （分数：1.00）A.B.C.D.31.设 f(x)连续，若 （分数：1.00）A.B.C.D.32.下列命题设函数 f(x)在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)，则至少有一点 (a，b)，使 f()=0设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且有一点 (a，b)，使 f()=O，则必存在x1，(a，b)，使得 f(x1)=f-(x2)设函数 f(x)在(a，b)内可导， ，则至少有一点 (a，b)，使 f()=0设函数 f(x)在a，+)上连续，在(a，+)内可导，且 （分数：1.00）A.B.C.
11、D.33.下列结论正确的是(A) 若函数 f(x)在(a，b)内可导，则至少有一点 (a，b)，使 (B) 若函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则对任意的 (a，b)，必存在不同的x1，x 2(a，b)，使 f(x2)-f(x1)=f()(x 2-x1)成立(C) 设不恒为常数的函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)，则在(a，b)内至少存在一点 ，使 f()0(D) 在拉格朗日中值定理 （分数：1.00）A.B.C.D.34.下列结论正确的是(A) 若 f(x0)0，则在 x0的某一邻域内，函数 f(x)必为单调增加函数(B) 若函数 f(x
12、)为(a，b)内的严格单调增加函数，且 f(x)在(a，b)内可导，则必有 f(x)0(C) 若 f(x0)0，则函数 f(x)在 x0的某一邻域内必有 f(x)0 成立(D) 若函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(x)在(a，b)内只有有限个点的值为零，其余为正，则 f(x)在a，b上一定是严格单调增加的（分数：1.00）A.B.C.D.35.设 y=f(x)二阶可导，f(x 0)=0，f“(x)0，并设y=f(x 1+x)=f(x 1)，dy=f(x 1)dx，x 1x 0，x=dx0，则(A) dyy0 (B) dyy0 (C) ydy0 (D) ydy0（分数：1
13、.00）A.B.C.D.36.设 f(x)在 x0可导且 f(x0)0，则存在 0，使得(A) f(x)在(x 0-，x 0+)内单调上升(B) f(x)f(x 0)，x(x 0-，x 0+)，xx 0(C) d(x)f(x 0)，x(x 0，x 0+)(D) f(x)f(x 0)，x(x 0，x 0+)（分数：1.00）A.B.C.D.37.设 f(0)=0，f(x)在0，+)上为单调减函数，则函数 （分数：1.00）A.B.C.D.38.下列结论正确的是(A) 若 x0是函数 f(x)的极小值点，则在 x0的某一邻域内，f(x)在 x0的左侧单调减少，而在右侧单调增加(B) 若 x0为函数
14、 f(x)的极值点，则必有 f(x0)=0(C) 若偶函数 f(x)具有连续的二阶导数，且 f“(0)0，则点 x=0 一定是 f(x)的极小值点(D) 若 f(x0)=0，但 f“(x0)不存在，则点 x=x0不可能为函数 f(x)的极值点（分数：1.00）A.B.C.D.39.下列结论不正确的是(A) 设 f(x)在a，b可导，f +(a)0，f -(b)0，f(b)f(b)，则 f(x)在(a，b)至少有两个零点(B) 设 f(x)在区间(a，b)二阶可导，且 f“(x)0(0)，又 x0(a，b)，使得 f(x0)=0，则 f(x0)是 f(x)在(a，b)上的最小(大)值(C) 设
15、f(x)在(a，b)连续，又 f(x)在(a，b)有唯一的极值点 x=x0若 x=x0是极小值(极大值)点，则 f(x0)是f(x)在(a，b)的最小值(最大值)(D) 设函数 f(x)在a，b上连续，且 f(a)=f(b)，但 f(x)C(常数)，则 f(x)在(a，b)既有最大值又有最小值（分数：1.00）A.B.C.D.40.若 f(x)在点 x0处取得极小值，则下列结论正确的是(A) 存在小正数 ，f(x)在(x 0-，x 0)内单调减少，在(x 0，x 0+)内单调增加(B) 存在小正数 ，在(x 0-，x 0)内 f(x)0，在(x 0，x 0+)内 f(x)0(C) f(x0)=
16、0，且 f“(x0)0(D) 存在小正数 ，对任意的 x(x 0-，x 0)(x 0，x 0+)，恒有 f(x)f(x 0)（分数：1.00）A.B.C.D.41.下列命题中正确的是(A) 设 x0(a，b)，函数 f(x)满足 f(x)0(axx 0)和 f(x)0(x 0xb 0)，则 f(x)在点 x=x0处取得它在(a，b)上的最大值(B) 设 f(x)在点 x=x0处取得极大值，则存在正数 0，使函数在(x 0-，x 0)中单调增加，在(x 0，x 0+)中单调减少(C) 设 f(x)在区间(-a，a)内为偶函数(其中 a 为大于零的常数)，则 x=0 必是 f(x)的一个极值点(D
17、) 设 f(x)在区间(-a，a)内可导且为偶函数(其中 a 为大于零的常数)，则 f(0)=0（分数：1.00）A.B.C.D.42.设 f(x)在 x=0 的某邻域内有二阶连续导数，且 f(0)=0， （分数：1.00）A.B.C.D.43.下列命题不正确的是(A) 设(x 0，f(x 0)是曲线 y=f(x)的拐点，又 f“(x0)存在，则 f“(x0)=0(B) 设 f“(x0)=0， （分数：1.00）A.B.C.D.44.设函数 f(x)，g(x)在 x=0 的某个邻域内连续，且 （分数：1.00）A.B.C.D.45.设 f(x)是连续的奇函数，且 （分数：1.00）A.B.C.
18、D.46.设 （分数：1.00）A.B.C.D.47.设偶函数 f(x)具有二阶连续导数，且 f“(0)0，则 x=0(A) 不是 f(x)的极值点(B) 一定是 f(x)的极值点(C) 不是 f(x)的驻点(D) 是否为 f(x)的极值点由题没的条件还不能确定（分数：1.00）A.B.C.D.48.设 f(x)在 x=0 处 3 阶可导，且 f(0)=f“(0)=0， （分数：1.00）A.B.C.D.49.设 ab0，且 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内除 x=0 外 f(x)存在，又 （分数：1.00）A.B.C.D.50.设函数 f(x)=(x-x0)n(x)(nN)，其中 (x
19、)在点 x0处连续，且 (x 0)0，则(A) f(x)在 x0处必取极值(B) f(x)在 x0处必无极值(C) 当 n 为偶数时，f(x)在 x0处必取极小值(D) 当 n 为奇数时，f(x)在 x0处必取极大值（分数：1.00）A.B.C.D.51.设 f(x)在a，b有连续导数，x 0(a，b)是 f(x)在(a，b)的唯一驻点，又 f(a)0，f(b)0，则点x=x0是(A) f(x)的极小值点 (B) f(x)在a，b的最小值点(C) f(x)在a，b的最大值点 (D) f(x)的极大值点，但不是 f(x)在a，b的最大值点（分数：1.00）A.B.C.D.52.设-f(x 0)=
20、0，f“(x 0)0，则必定存在一个正数 ，使得(A) 曲线 y=f(x)在区间(x 0-，x 0+)内是凹的(B) 曲线 y=f(x)在区间(x 0-，x 0+)内是凸的(C) 曲线 y=f(x)在(x 0-，x 0上单调减少，在x 0，x 0+)上单调增加(D) 曲线 y=f(x)在(x 0-，x 0上单调增加，在x 0，x 0+)上单调减少（分数：1.00）A.B.C.D.53.下列命题正确的是(A) 如果 f(x)在 x0处可微，则存在 0，f(x)在 x0的 邻域内连续(B) 如果 f(x)在 x0处连续，则存在 0，f(x)在 x0的 邻域内可导(C) 如果 x0是 f(x)的极值
21、点，则 f(x0)=0(D) 如果 f“(x0)0，则存在 0，曲线 y=f(x)在 x0的 邻域内是凹的（分数：1.00）A.B.C.D.54.下列命题正确的是(A) 如果 f(x)在 x0点不可微，则 f(x)在 x0处不连续(B) 如果 f(x)在 x0点有 f“(x0)0，则 x0是 f(x)的极值点(C) 如果 f“(x0)0，则在 x0点的附近曲线 y=f(x)是凹的(D) 如果 f(x)在 x0点可微，且 f(x0)0，则 x0不是 f(x)的极值点（分数：1.00）A.B.C.D.55.设 y=f(x)是过原点的一条曲线，且 f(0)，f“(0)存在，又知有一条抛物线 y=g(
22、x)与曲线 y=f(x)在原点相交，在该点处有相同的切线和曲率，且在该点邻近此二曲线有相同的凹向，则必有（分数：1.00）A.B.C.D.56.设 f(x)有连续的二阶导数，其导函数 y=f(x)的图像如右图所示，令函数 y=f(x)的驻点的个数为 p，极值点的个数为 q，曲线 y=f(x)拐点的个数为 r，则（分数：1.00）A.B.C.D.57.方程 3xex+1=0 在(-，+)上实根的个数为(A) 0 (B) 1(C) 2 (D) 不少于 3（分数：1.00）A.B.C.D.58.方程 （分数：1.00）A.B.C.D.59.设 f(x)在(-，+)内可导，且 f(x)+f(x)0，则
23、下列命题正确的是(A) f(x)=0 必有实根 (B) f(x)=0 必无实根(C) f(x)=0 若有实根必唯一 (D) f(x)=0 若有实根，则不止一个（分数：1.00）A.B.C.D.60.设 f(x)一阶可导，则下述结论正确的是(A) 若 f(x)只有一个零点，则 f(x)必定没有零点(B) 若 f(x)至少有一个零点，则至少 f(x)有两个零点(C) 若 f(x)没有零点，则 f(x)至多有一个零点(D) 若 f(x)没有零点，则 f(x)至多有一个零点（分数：1.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：19，分数：19.00)61.设函数 f(x)在 x=0 处连续，若 ，当
24、0|x| 时，总有 （分数：1.00）填空项 1:_62.函数 y=f(x)和 y=g(x)的图形如 2-1 图所示，则复合函数 fg(x)在 z=1 处的导数等于_（分数：1.00）填空项 1:_63.已知 （分数：1.00）填空项 1:_64.设 f(x)在 x=1 处连续，且 （分数：1.00）填空项 1:_65.设函数 （分数：1.00）填空项 1:_66.试说明下列事实的几何意义：(1) 看函数 f(x)，g(x)在 x0可导且 f(x0)=g(x0)，f(x 0)=g(x0)，则其几何意义是_；(2) 若函数 f(x)在 x0存在 f+(x0)，f -(x0)，但 f+(x0)f
25、-(x0)，则其几何意义是_；(3) 若函数 f(x)在 x=x0连续，又 （分数：1.00）填空项 1:_67.设函数 f(x)在 x=2 处连续，且 （分数：1.00）填空项 1:_68.若函数)y=y(x)南方程(sinx) y=(cosy)x确定，则 （分数：1.00）填空项 1:_69.设函数 f(x)有反函数 g(x)，且 f(a)=3，f(a)=1，f“(a)=2，则 g“(3)=_（分数：1.00）填空项 1:_70.设 （分数：1.00）填空项 1:_71.若函数 （分数：1.00）填空项 1:_72.设 y=arctanx，则 y(99)(0)=_（分数：1.00）填空项
26、1:_73.溶液白深 18cm，顶直径 12cm 的正网锥形漏斗中漏入一直径为 10cm 的圆柱形筒中，开始时漏斗中盛满了溶液，已知当溶液在漏斗中深为 12cm 时，其表面下降的速率为 1cm/min，则此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为_（分数：1.00）填空项 1:_74.函数 （分数：1.00）填空项 1:_75.函数 （分数：1.00）填空项 1:_76.函数 （分数：1.00）填空项 1:_77.如果曲线 y=ax6+bx4+cx2在拐点(1，1)处有水平切线，则 a=_，b=_，c=_（分数：1.00）填空项 1:_78.曲线 （分数：1.00）填空项 1:_79.心形线 r=a(
27、1+cos)(a0)在点 （分数：1.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：67，分数：67.00)80.设对任意 x 恒有 f(x+1)=f2(x)，且 f(0)=f(0)=1，求 f(1)（分数：1.00）_81.设 f(x)连续， （分数：1.00）_82.设 f(x) （分数：1.00）_83.设 f(x)在 x=1 处连续， （分数：1.00）_84.设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶可导，且 （分数：1.00）_85.设 f(x)在(-，+)内有定义，且对任意 x，y 满足f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)，其中 g(x)=esinx-xcosx，又 （分数
28、：1.00）_86.已知函数 f(x)在 x=0 的某个邻域内有连续导数，且 （分数：1.00）_87.设 f(x)=minsinx，cosx(-x+)，求 （分数：1.00）_88.设 （分数：1.00）_89.设函数 f(x)具有二阶导数，且 f0，求由方程 x2ey=ef(y)确定的隐函数 y=y(x)的一阶、二阶导数（分数：1.00）_90.求下列函数的 n 阶导数(n1)：() y=ln(6x 2+7x-3)； () y=xcos4x（分数：1.00）_91.设 （分数：1.00）_92.设函数 ，其中 a，b 为常数问 a，b 为何值时，f(x)连续且可导，并求出 f(x)=f-(
29、1)=2，所以 f(1)=2（分数：1.00）_93.设 f(x)=arcsinx，() 写出 f(x)在区间0，b(0b1)上的拉格朗日中值公式；() 证明公式中的 由 b 唯一确定；() 求 （分数：1.00）_94.设函数 f(x)在(-，+)内可导，且满足 （分数：1.00）_95.设 f(x)与 g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)，求证：存在 (a，b)，使得f()+g()f()=0（分数：1.00）_96.设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内可导，且（分数：1.00）_97.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f
30、(a)f(b)0， （分数：1.00）_98.设 0ab，f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，证明：在(a，b)内至少存在一点 ，使得（分数：1.00）_99.已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(1)=0，证明：存在 (0，1)，使得（分数：1.00）_100.设 f(x)在0，1可导，f(0)=0，f(1)=0，求证：存在 (0，1)，使得 f()=f()（分数：1.00）_101.设 f(x)在0，1上有二阶导数，且 f(1)=f(0)=f(1)=f(0)=0，证明：存在 (0，1)，使得 f“()=f()（分数：1.00）_102.设 f(x)在a，b上
31、可微，且 f(a)f(b)，证明：对任一适合f(a)cf(b)的 c，存在(a，b)，使 f()=c（分数：1.00）_103.设 a0，f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，又 f(a)=0，证明：存在 (a，b)，使得（分数：1.00）_104.设函数 f(x)在闭区间0，1上可微，且满足 为常数，证明：在(0，1)内至少存在一点 ，使（分数：1.00）_105.设 f(x)在0，1上可导，且 ，试证：() 在(0，1)内至少有一点 ，使 （分数：1.00）_106.设 g(x)在区间a，b上连续，且 ，证明：() f(x)在点 a 处右连续，在点 b 处左连续；() 在(a，b)内
32、至少有一点 ，使得 （分数：1.00）_107.设 f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=1，证明：在(a，b)内存在两点 ，使得(e 2a+ea+b+e2b)f()+f()=3e 3- （分数：1.00）_108.设函数 f(x)在区间0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)，证明：对任何 0C1，存在， 满足 01，使得 cf()+(1-c)f()=0（分数：1.00）_109.设函数 f(x)在0，上连续，且 （分数：1.00）_110.设函数 f(x)在a，b上可微，f(a)0，f(b)0，求证：在区间(a，b)内必有一点 ，使
33、得f()=0（分数：1.00）_111.若函数 f(x)在0，+)上连续，在(0，+)内可导，且 （分数：1.00）_112.设 f(x)在a，b上一阶可导，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)，f(a)f(b)0，证明：至少存在一点 (a，b)，使 f“()=0（分数：1.00）_113.设 acb，f(x)，g(x)都在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，f(C)=g(C)，证明：存在 (a，b)，使得 f“()=g“()（分数：1.00）_114.设 f(x)在a，b上有二阶导数，且 f(a)=f(b)，证明：至少存在一点 (a，b)，使得
34、（分数：1.00）_115.若 f(x)二阶可导，且 （分数：1.00）_116.已知函数 g(x)在a，b上连续，函数 f(x)在a，b上满足_f“(x)+g(x)f(x)-f(x)=0，又 f(a)=f(b)=0，证明：f(x)在a，b上恒为常数（分数：1.00）_117.确定常数 a 与 b 的值，使得 （分数：1.00）_118.确定常数 A 与 B 的值，使得 f(x)=x-(A+Bcosx)sinz 当 x0 时是 x 的五阶无穷小量，并求 （分数：1.00）_119.设 f(-x)=xf(x)-1且 f(0)=0，求 f(x)的极值（分数：1.00）_120.设函数 f(x)=x+acosx(a1)在区间(0，2)内有极小值，且极小值为 0，求函数在区间(0，2)内的极大值（分数：1.00）_121.设 （分数：1.00）_
