1、考研数学一（高等数学）-试卷 61 及答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.平面 与 1 ：x 一 2yz 一 20 和 2 ：x 一 2yz 一 60 的距离之比为 1：3，则平面 的方程为( )（分数：2.00）A.x 一 2yz0B.x 一 2yz 一 30C.x 一 2yz0 或 x 一 2yz 一 30D.x 一 2yz403.设 （分数：2.00）A.L 1 L 3B.L 1 L 2C.L 2 L 3D.L 1 L 24.设 （分数：2.00）
2、A.连续但不可偏导B.可偏导但不连续C.可微D.一阶连续可偏导5.对二元函数 zf(x，y)，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.zf(x，y)可微的充分必要条件是 zf(x，y)有一阶连续的偏导数B.若 zf(x，y)可微，则 zf(x，y)的偏导数连续C.若 zf(x，y)偏导数连续，则 zf(x，y)一定可微D.若 zf(x，y)的偏导数不连续，则 zf(x，y)一定不可微6.设 f(x，y)在有界闭区域 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内恒有条件 （分数：2.00）A.f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 内B.f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 的边界上C.f(
3、x，y)的最小值点在 D 内，最大值点在 D 的边界上D.f(x，y)的最大值点在 D 内，最小值点在 D 的边界上二、填空题(总题数：8，分数：16.00)7.设直线 （分数：2.00）填空项 1:_8.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_9.设函数 zf(x，y)在点(0，1)的某邻域内可微，且 f(x，y1)12x3yo()，其中 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 zxf(xy)g(x y ，x 2 y 2 )，其中 f，g 分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(u，v)一阶连续可偏导，f(tx，ty)t 3 f(x，y)，且 f
4、x “(1，2)1，f y “(1，2)4，则f(1，2) 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 zf(x，y)二阶可偏导， （分数：2.00）填空项 1:_13.设(ay 一 Zxy 2 )dx(bx 2 y4x3)dy 为某个二元函数的全微分，则 a 1，b 2。（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_14.函数 ux 2 一 2yz 在点(1，一 2，2)处的方向导数最大值为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：42.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设曲面 （分数：4.00）(1).求曲面上与 平行的切平面方程；（分数
5、：2.00）_(2).求曲面与平面 的最短和最长距离（分数：2.00）_设直线 （分数：4.00）(1).求直线 L 在平面 上的投影直线 L 0 ；（分数：2.00）_(2).求 L 绕 y 轴旋转一周所成曲面的方程（分数：2.00）_设直线 （分数：4.00）(1).证明：直线 L 1 ，L 2 为异面直线；（分数：2.00）_(2).求平行于 L 1 ，L 2 且与它们等距离的平面（分数：2.00）_16.求过直线 （分数：2.00）_设直线 L： （分数：4.00）(1).求直线绕 z 轴旋转所得的旋转曲面；（分数：2.00）_(2).求该旋转曲面介于 z0 与 z1 之间的几何体的体
6、积（分数：2.00）_17.已知点 P(1，0，一 1)与点 Q(3，1，2)，在平面 x 一 2yz12 上求一点 M，使得PMMQ最小。（分数：2.00）_18.设 A(一 1，0，4)，：3x 一 4yz100，L： （分数：2.00）_19.设 uf(x，y，xyz)，函数 zz(x，y)由 e xyz 确定，其中 f 连续可偏导，h 连续，求 （分数：2.00）_20.设 证明：f(x，y)在点(0，0)处可微，但 （分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).f(x，y)在点(0，0)处是否连续?（分数：2.00）_(2).f(x，y)在点(0，0)处是否可微?（分数：2.00
7、）_21. （分数：2.00）_设 uu(x，y，z)连续可偏导，令 （分数：4.00）(1).若 （分数：2.00）_(2).若 （分数：2.00）_22.设函数 f(x，y，z)一阶连续可偏导且满足 f(tx，ty，tz)t k f(x，y，z)证明： （分数：2.00）_23. （分数：2.00）_24.设 uu(x，y)由方程组 uf(x，y，z，t)，g(y，z，t)0，h(z，t)0 确定，其中 f，g，h 连续可偏导且 ，求 （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 61 答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择
8、题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.平面 与 1 ：x 一 2yz 一 20 和 2 ：x 一 2yz 一 60 的距离之比为 1：3，则平面 的方程为( )（分数：2.00）A.x 一 2yz0B.x 一 2yz 一 30C.x 一 2yz0 或 x 一 2yz 一 30 D.x 一 2yz40解析：解析：设所求平面为 ：x 一 2yzD0，在平面 ：x 一 2yzD0 上取一点 3.设 （分数：2.00）A.L 1 L 3B.L 1 L 2C.L 2 L 3D.L 1 L 2 解析：解析：三条直线的方向向量为 s 1 一 2，一 5，3)，s
9、 2 3，3，7，s 3 1，3，一 12，1，一 1一 2，一 1，一 5， 因为 s 1 .s 2 0，所以 L 1 L 2 ，选(D)4.设 （分数：2.00）A.连续但不可偏导B.可偏导但不连续C.可微 D.一阶连续可偏导解析：解析：5.对二元函数 zf(x，y)，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.zf(x，y)可微的充分必要条件是 zf(x，y)有一阶连续的偏导数B.若 zf(x，y)可微，则 zf(x，y)的偏导数连续C.若 zf(x，y)偏导数连续，则 zf(x，y)一定可微 D.若 zf(x，y)的偏导数不连续，则 zf(x，y)一定不可微解析：解析：因为若函数 f(
10、x，y)一阶连续可偏导，则 f(x，y)一定可微，反之则不对，所以若函数f(x，y)偏导数不连续不一定不可微，选(C)6.设 f(x，y)在有界闭区域 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内恒有条件 （分数：2.00）A.f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 内B.f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 的边界上 C.f(x，y)的最小值点在 D 内，最大值点在 D 的边界上D.f(x，y)的最大值点在 D 内，最小值点在 D 的边界上解析：解析：若 f(x，y)的最大点在 D 内，不妨设其为 M 0 ，则有 ，因为 M 0 为最大值点，所以ACB 2 非负，而在 D 内有 二、填空题(
11、总题数：8，分数：16.00)7.设直线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.设函数 zf(x，y)在点(0，1)的某邻域内可微，且 f(x，y1)12x3yo()，其中 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2x3yz 一 20）解析：解析：由 f(x，y1)12x3yo()得 f(x，y)在点(0，1)处可微，且 而曲面：zf(x，y)在点(0，1，1)的法向量为 n10.设 zxf(xy)g(x y ，x 2 y 2 )，其中 f，g 分别二阶连续可
12、导和二阶连续可偏导，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f“xf“x y1 g 1 “yx y1 lnxg 1 “yx 2y1 lnxg 11 “2y 2 x y1 g 12 “2x y1 lnxg 21 “4xyg 22 “）解析：解析：由 zxf(xy)g(x y ，x 2 y 2 )，得 11.设 f(u，v)一阶连续可偏导，f(tx，ty)t 3 f(x，y)，且 f x “(1，2)1，f y “(1，2)4，则f(1，2) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：f(tx，ty)t 3 f(x，y)两边对 t 求导数得 xf
13、 x “(tx，ty)yf y “(tx，ty)3t 2 f(x，y)， 取 t1，x1，y2 得 f x “(1，2)2f y “(1，2)3f(1，2)，故 f(1，2)312.设 zf(x，y)二阶可偏导， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y 2 xy1）解析：解析：由 得 ，因为 f y “(x，0)x,所以 (x)x，即 13.设(ay 一 Zxy 2 )dx(bx 2 y4x3)dy 为某个二元函数的全微分，则 a 1，b 2。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a4）填空项 1:_ （正确答案：b一 2）解析：解析：令 P(x，y)ay
14、 一 2xy 2 ，Q(x，y)bx 2 y4x3，因为(ay 一 2xy 2 )dx(bx 2 y4x3)dy 为某个二元函数的全微分，所以 14.函数 ux 2 一 2yz 在点(1，一 2，2)处的方向导数最大值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：函数 ux 2 一 2yz 在点(1，一 2，2)处的方向导数的最大值即为函数 ux 2 一 2yz 在点(1，一 2，2)处的梯度的模，而 gradu (1，2，2) 2x，一 2z，一 Zy (2，2，2) 2，一 4，4，方向导数的最大值为 三、解答题(总题数：16，分数：42.00)15.解答题
15、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设曲面 （分数：4.00）(1).求曲面上与 平行的切平面方程；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设切点为 M 0 (x 0 ，y 0 ，z 0 )，令 F(x，y，z) 则切平面的法向量为 ， 因为切平面与平面 平行，所以 得 x 0 2t，y 0 t，z 0 2t，将其代入曲面方程，得 ，所以切点为 及 ，平行于平面 的切平面为 )解析：(2).求曲面与平面 的最短和最长距离（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设直线 （分数：4.00）(1).求直线 L 在平面 上的投影直线 L 0 ；（分数：2.00）_正确答案：(
16、正确答案：令 ，即 x1t，yt，z1 一 t，将 x1t，yt，z1 一 t 代入平面 x 一 y2z 一 10，解得 t1，从而直线 L 与平面 的交点为 M 1 (2，1，0) 过直线 L 且垂直于平面 的平面法向量为 s 1 1，1，一 11，一 1，21，一 3，一 2，平面方程为 1 ：1(x一 2)一 3(y 一 1)一 2z0，即 1 ：x 一 3y 一 2z10 从而直线 L 在平面 上的投影直线一般式方程为 )解析：(2).求 L 绕 y 轴旋转一周所成曲面的方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 M(x，Y，z)为所求旋转曲面上任意一点，过该点作垂直于 y 轴的
17、平面，该平面与相交于一个圆，且该平面与直线 L 及 y 轴的交点分别为 M 0 (x 0 ，y，z 0 )及 T(0，y，0)，由M 0 TMT，得 x 0 2 z 0 2 x 2 z 2 ，注意到 M 0 (x 0 ，y，z 0 )L，即 ，于是 )解析：设直线 （分数：4.00）(1).证明：直线 L 1 ，L 2 为异面直线；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：M 1 (1，0，一 1)L 1 ，M 2 (一 2，1，2)L 2 ， 一 3，1，3， s 1 一 1，2，1，s 2 0，1，一 2，s 1 s 2 一 5，一 2，一 1 因为(s 1 s 2 ) )解析：(2).求
18、平行于 L 1 ，L 2 且与它们等距离的平面（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：与 L 1 ，L 2 同时平行的平面的法向量为 ns 1 s 2 一 5，一 2，一 1，设与 L 1 ，L 2 等距离的平面方程为 ：5x2yzD0，则有 )解析：16.求过直线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：过直线 的平面束方程为 ：(3x 一 2y2)(x2yz6)0，或：(3)x 一 2(1)yz260，点(1，2，1)到平面 的距离为 )解析：设直线 L： （分数：4.00）(1).求直线绕 z 轴旋转所得的旋转曲面；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记直线 L 绕 z 轴旋转
19、所得的旋转曲面为，设 M(x，y，z)为曲面上的一点，过点 M 作与 z 轴垂直的平面，交直线 L 及 z 轴于点 M 0 (x 0 ，y 0 ，z)及 T(0，0，z)，由M 0 TMT得 x 2 y 2 x 0 2 y 0 2 ， 注意到 M 0 L，则 ，即 ，将 )解析：(2).求该旋转曲面介于 z0 与 z1 之间的几何体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意的 z0，1，截口面积为 A(z)(x 2 y 2 )(5z 2 8z5)，则 )解析：17.已知点 P(1，0，一 1)与点 Q(3，1，2)，在平面 x 一 2yz12 上求一点 M，使得PMMQ最小。（分数
20、：2.00）_正确答案：(正确答案：把点 P 及点 Q 的坐标代入 x 一 2y 十 z 一 12 得 11 一 12一 12 及 32212一 9，则点 P 及 Q 位于平面 的同侧。过点 P 且垂直于平面 的直线方程为 )解析：18.设 A(一 1，0，4)，：3x 一 4yz100，L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：过 A(一 1，0，4)且与平面 ：3x 一 4yz100 平行的平面方程为 1 ：3(x1)一 4y(z 一 4)0，即 1 ：3x 一 4yz 一 10 令 ，则 ，代入 1 ：3x一 4yz 一 10，得 t16， 则直线 L 与 1 的交点为 M 0 (
21、15，19，32)，所求直线的方向向量为s16，19，28，所求直线为 )解析：19.设 uf(x，y，xyz)，函数 zz(x，y)由 e xyz 确定，其中 f 连续可偏导，h 连续，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 证明：f(x，y)在点(0，0)处可微，但 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设 （分数：4.00）(1).f(x，y)在点(0，0)处是否连续?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 0f(x，y) ，所以 )解析：(2).f(x，y)在点(0，0)处是否可微?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21
22、. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设 uu(x，y，z)连续可偏导，令 （分数：4.00）(1).若 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 )解析：(2).若 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设函数 f(x，y，z)一阶连续可偏导且满足 f(tx，ty，tz)t k f(x，y，z)证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设 uu(x，y)由方程组 uf(x，y，z，t)，g(y，z，t)0，h(z，t)0 确定，其中 f，g，h 连续可偏导且 ，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组由五个变量三个方程构成，故确定了三个二元函数，其中 x，y 为自变量，由 uf(x，y，z，t)，g(y，z，t)0，h(z，t)0，得 )解析：
