1、考研数学三（一元函数微分学）-试卷 10 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.函数 f(x)=x 2 3x+k 只有一个零点，则 k 的范围为( )（分数：2.00）A.|k|1B.|k|1C.|k|2D.k23.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）A.f(x)在 x=0 处不可导B.f(x)在 x=0 处可导且 f“(0)0C.f(x)在 x=0 处取极小值D.f(x)在 x=0 处取极大值4.设 f“(x)连续，f“(0)=0， （分数：2.0
2、0）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点D.f(0)非极值，(0，f(0)也非 y=f(x)的拐点5.若 f(一 x)=一 f(x)，且在(0，+)内 f“(x)0，f(x)0，则在(一，0)内( )（分数：2.00）A.f“(x)0，f“(x)0B.f“(x)0，f(x)0C.f“(x)0，f(x)0D.f“(x)0，f(x)06.设 f(x)在(一，+)上有定义，x 0 0 为函数 f(x)的极大值点，则( )（分数：2.00）A.x 0 为 f(x)的驻点B.一 x 0 为一 f(一 x)的极小值点C.一 x 0 为一
3、f(x)的极小值点D.对一切的 x 有 f(x)f(x 0 )7.当 x0，1时，f“(x)0，则 f“(0)，f“(1)，f(1)一 f(0)的大小次序为( )（分数：2.00）A.f“(0)f(1)一 f(0)f“(1)B.f“(0)f“(1)f(1)一 f(0)C.f“(o)f“(1)f(1)一 f(0)D.f“(0)f(1)一 f(0)f“(1)二、填空题(总题数：5，分数：10.00)8.则 y“= 1 （分数：2.00）填空项 1:_9.设函数 y=y(x)由 e 2x+y 一 cosxy=e 一 1 确定，则曲线 y=y(x)在 x=0 处的法线方程为 1（分数：2.00）填空项
4、 1:_10.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_11.设 f(u)可导，y=f(x 2 )在 x 0 =一 1 处取得增量x=005 时，函数增量y 的线性部分为 015，则f“(1)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_12.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：36.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_14.设 f(x)=x(x 一 1)(x+2)(x 一 3)(x+100)，求 f“(0)（分数：2.00）_15.设 y=y(x)由 ln(x 2 +y)=x 3 y+sinx 确定，求
5、（分数：2.00）_16.设(x)= （分数：2.00）_17.设 f(x)在 x=a 处二阶可导，证明： （分数：2.00）_设 f(x)在a，b上有定义，M0 且对任意的 x，ya，b，有|f(x)一 f(y)|M|x 一 y| k （分数：4.00）(1).证明：当 k0 时，f(x)在a，b上连续；（分数：2.00）_(2).证明：当 k1 时，f(x)=常数（分数：2.00）_18.设 f(x)= （分数：2.00）_19.设 f(x)= （分数：2.00）_20.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_21.设 f(
6、x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)证明：存在 ，(a，b)，使得 （分数：2.00）_22.设 f(x)在0，1上二阶连续可导且 f(o)=f(1)，又|f“(x)|M，证明：|f“(x)| （分数：2.00）_23.设 PQ 为抛物线 y= （分数：2.00）_24.求 f(x)= 0 1 |x 一 t|dt 在0，1上的最大值、最小值（分数：2.00）_25.证明：当 x1 时， （分数：2.00）_26.求曲线 y= （分数：2.00）_27.设 f(x)在0，上连续，在(0，)内可导，证明：至少存在一点 (0，)，使得 f“()=一f()cot（分数：2.00）_设 f(x
7、)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f(x)0(1x2)，又 （分数：4.00）(1).存在 (1，2)，使得 （分数：2.00）_(2).存在 (1，2)，使得 1 2 (t)dt=( 一 1)f“()ln2（分数：2.00）_考研数学三（一元函数微分学）-试卷 10 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.函数 f(x)=x 2 3x+k 只有一个零点，则 k 的范围为( )（分数：2.00）A.|k|1B.|k|1C.|k|2 D.k2解析
8、：3.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）A.f(x)在 x=0 处不可导B.f(x)在 x=0 处可导且 f“(0)0C.f(x)在 x=0 处取极小值D.f(x)在 x=0 处取极大值 解析：4.设 f“(x)连续，f“(0)=0， （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值 C.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点D.f(0)非极值，(0，f(0)也非 y=f(x)的拐点解析：解析：由 =1 及 f“(x)的连续性，得 f“(0)=0，由极限的保号性，存在 0，当 0|x|时，5.若 f(一 x)=一 f(x)，且在(0，+)内 f“(x)0，
9、f(x)0，则在(一，0)内( )（分数：2.00）A.f“(x)0，f“(x)0B.f“(x)0，f(x)0C.f“(x)0，f(x)0 D.f“(x)0，f(x)0解析：解析：因为 f(x)为奇函数，所以 f“(x)为偶函数，故在(一，0)内有 f“(x)0因为 f“(x)为奇函数，所以在(一，0)内 f(x)0，选(C)6.设 f(x)在(一，+)上有定义，x 0 0 为函数 f(x)的极大值点，则( )（分数：2.00）A.x 0 为 f(x)的驻点B.一 x 0 为一 f(一 x)的极小值点 C.一 x 0 为一 f(x)的极小值点D.对一切的 x 有 f(x)f(x 0 )解析：解
10、析：因为 y=f(一 x)的图像与 y=f(x)的图像关于 y 轴对称，所以一 x 0 ，为 f(一 x)的极大值点，从而一 x 0 为一 f(一 x)的极小值点，选(B)7.当 x0，1时，f“(x)0，则 f“(0)，f“(1)，f(1)一 f(0)的大小次序为( )（分数：2.00）A.f“(0)f(1)一 f(0)f“(1)B.f“(0)f“(1)f(1)一 f(0)C.f“(o)f“(1)f(1)一 f(0)D.f“(0)f(1)一 f(0)f“(1) 解析：解析：由拉格朗日中值定理得 f(1)一 f(0)=f“(c)(0c1)，因为 f“(x)0，所以 f“(x)单调增加，故 f“
11、(0)f“(c)f“(1)，即 f“(0)f(1)一 f(0)f“(1)，应选(D)二、填空题(总题数：5，分数：10.00)8.则 y“= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：cotxsec 2 x 一 ）解析：解析：y=1ntanx 一 ln(x 2 +1)y“=cotxsec 2 x 一 9.设函数 y=y(x)由 e 2x+y 一 cosxy=e 一 1 确定，则曲线 y=y(x)在 x=0 处的法线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*x+1）解析：解析：当 x=0 时，y=1 对 e 2x+y cosxy=e 一 1 两边关于
12、x 求导得 e 2x+y (2+ )+sin(xy)(y+ )=0， 将 x=0，y=1 代入得 =一 2 故所求法线方程为 y 一 1= (x 一 0)，即 y= 10.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）填空项 1:_ （正确答案：一 2）解析：解析：f(1 一 0)=f(1)=a+b，f(1+0)=1，因为 f(x)在 x=1 处连续，所以 a+b=1又因为11.设 f(u)可导，y=f(x 2 )在 x 0 =一 1 处取得增量x=005 时，函数增量y 的线性部分为 015，则f“(1)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确
13、答案：*）解析：解析：由 dy=2xf“(x 2 )x 得 dy| x=1 =一 2f“(l)005=一 01f“(1)，因为y 的线性部分为dy，由一 01f“(1)=015 得 f“(1)= 12.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f(x)）解析：解析： 0 x tf(x 一 t)dt 0 x (x 一 u)f(u)(一 du)= 0 x (x 一 u)f(u)du =x 0 x f(u)du 一 0 x uf(u)du， 于是 tf(x 一 t)dt= 0 x f(u)du，故 三、解答题(总题数：17，分数：36.00)13.解答题解答应写出
14、文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：14.设 f(x)=x(x 一 1)(x+2)(x 一 3)(x+100)，求 f“(0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f“(0)= )解析：15.设 y=y(x)由 ln(x 2 +y)=x 3 y+sinx 确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x=0 代入 ln(x 2 +y)=x 3 y+sinx 得 y=1， 对 ln(x 2 +y)=x 3 y+sinx 两边关于 x求导，得 =3x 2 y+x 3 y“+cosx，将 x=0，y=1 代入得 )解析：16.设(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 由
15、A(2x+1)+B(x 一 2)=4x 一 3 得 ，解得 A=1，B=2， )解析：17.设 f(x)在 x=a 处二阶可导，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设 f(x)在a，b上有定义，M0 且对任意的 x，ya，b，有|f(x)一 f(y)|M|x 一 y| k （分数：4.00）(1).证明：当 k0 时，f(x)在a，b上连续；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意的 x 0 a，b，由已知条件得 0|f(x)一 f(x 0 )|M|x 一 x 0 | k ， )解析：(2).证明：当 k1 时，f(x)=常数（分数：2.00）_正确答案：(正确
16、答案：对任意的 x 0 a，b，因为 k1，所以 0 )解析：18.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，f“(x)= 当 x0 时，f“(x)=cosx，由 f“ 一 (0)= =1，f“ + (0)= =1，得 f“(0)=1，则 容易验证 )解析：19.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当|x|1 时，f“(x)= 当 x一 1 时，f“(x)=一 1；当 x1 时，f“(x)=1； 又 =0，则 f(x)在 x=一 1 处不连续，故也不可导， 由 f(1+0)=f(10)=f(1)=0 得 f(x)在 x=1 处连续 因为 所以
17、 f(x)在 x=1 处也不可导， 故 )解析：20.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 一 f“(x)lnx+f“(x)lna=0，或 f(b)lnx 一 f(x)lnr+f(x)lna“=0，辅助函数为 (x)=f(b)lnx 一 f(x)lnr+f(x)lna 令 (x)=f(b)lnx 一 f(x)lnx+f(x)lna，(a)=(b)=f(b)lna， 由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 “()=0 而 “(x)= 一 f“(x)Inx+f“(x)lna， 所以 f(b)一 f()一 f“
18、()(ln 一 lna)=0，即 )解析：21.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)证明：存在 ，(a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=x 2 ，F“(x)=2x0(axb)，由柯西中值定理，存在 (a，b)，使得 再由微分中值定理，存在 (a，b)，使得 )解析：22.设 f(x)在0，1上二阶连续可导且 f(o)=f(1)，又|f“(x)|M，证明：|f“(x)| （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 f(0)=f(x)+f“(x)0 一 x)+ (0 一 x) 2 ，(0，x)， f(1)=f(x)+f(x)(1 一
19、 x)+ (1 一 x) 2 ，(x，1)， 两式相减得 f“(x)= f“()x 2 一 f“()(1 一 x) 2 ， 取绝对值得 |f“(x)| c 2 +(1 一 x) 2 ， 因为 x 2 x，(1 一 x) 2 1 一 x，所以 x 2 +(1 一 x) 2 1，故|f“(x)| )解析：23.设 PQ 为抛物线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 因为 y= 关于 y 轴对称，不妨设 a0 y“(a)= 过 P 点的法线方程为 设 因为 Q 在法线上，所以 PQ 的长度的平方为 L(a)=(b 一 a) 2 + (b 2 一 a 2 )=4a 2 (1+ ) 3
20、， 由 L“(a)= 为唯一驻点，从而为最小点，故 PQ 的最小距离为 )解析：24.求 f(x)= 0 1 |x 一 t|dt 在0，1上的最大值、最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)= 0 1 |x 一 t|dt= 0 1 (x 一 t)dt+ 0 1 (t 一 x)dt=x 2 一 一x(1 一 x)=x 2 一 x+ 由 f“(x)=2x 一 1=0 得 x= 因为 f(0)= 所以 f(x)在0，1上的最大值为 ，最小值为 )解析：25.证明：当 x1 时， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x1 时， 等价于(1+x)ln(1+x)一 xlnx0 令
21、 f(x)=(1+x)ln(l+x)一xlnx，f(1)=2ln20， 因为 f“(x)=1n(1+x)+1 一 lnx 一 1=1n(1+ )0(x1)， 所以 f(x)在1，+)上单调增加， 再由 f(1)=2ln20 得当 x1 时，f(x)0，即 )解析：26.求曲线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由有 y“0 得(x 一 3) 2 10，解得 2x4，故曲线 y= )解析：27.设 f(x)在0，上连续，在(0，)内可导，证明：至少存在一点 (0，)，使得 f“()=一f()cot（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=f(x)sinx，则 (0)=
22、()=0， 由罗尔定理，存在 (0，)，使得 “()=0， 而 “(x)=f“(x)sinx+f(x)cosx， 于是 f“()sin+f()cos=0，故 f“()=一 f()cot)解析：设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f(x)0(1x2)，又 （分数：4.00）(1).存在 (1，2)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 h(x)=1nx，F(x)= 1 x f(t)dt，且 F“(x)=f(x)0， 由柯西中值定理，存在(1，2)，使得 )解析：(2).存在 (1，2)，使得 1 2 (t)dt=( 一 1)f“()ln2（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：
