1、考研数学三（一元函数微分学）-试卷 9 及答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：15，分数：30.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)的导数在 x=a 处连续，又 （分数：2.00）A.x=a 是 f(a)的极小值点B.x=a 是 f(x)的极大值点。C.(a，f(a)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=a 不是 f(x)的极值点，(a，f(a)也不是曲线 y=f(x)的拐点3.设函数 f(x)在闭区间a，b上有定义，在开区间(a，b)内可导，则（分数：2.00）A.当 f(a)f(b)0 时，存
2、在 (a，b)，使 f()=0B.对任何 (a，b)，有C.当 f(a)=f(b)时，存在 (a，b)，使 f“()=0D.存在 (a，b)，使 f(b)一 f(a)=f“()(b 一 a)4.设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且 f“(0)存在，则函数 （分数：2.00）A.在 x=0 处左极限不存在B.有跳跃间断点 x=0C.在 x=0 处右极限不存在D.有可去间断点 x=05.设 f(x)=x(1 一 x)，则（分数：2.00）A.x=0 是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点B.x=0 不是 f(x)的极值点，但(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点C.x=0 是
3、 f(x)的极值点，且(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点6.设 f“(x)在a，b上连续，且 f“(a)0，f“(b)0，则下列结论中错误的是（分数：2.00）A.至少存在一点 x 0 (a，b)，使得 f(x 0 )f(a)B.至少存在一点 x 0 (a，b)，使得 f(x 0 )f(b)C.至少存在一点 x 0 (a，b)，使得 f“(x 0 )=0D.至少存在一点 x 0 (a，b)，使得 f(x 0 )=07.当 a 取下列哪个值时，函数 f(x)=2x 3 一 9x 2 +12xa 恰有两个不同的零点（分数
4、：2.00）A.2B.4C.6D.88.设 f(x)=xsinx+cosx，下列命题中正确的是（分数：2.00）A.f(0)是极大值，B.f(0)是极小值，C.f(0)是极大值，D.f(0)是极小值，9.以下四个命题中，正确的是（分数：2.00）A.若 f“(x)在(0，1)内连续，则 f(x)在(0，1)内有界B.若 f(x)在(0，1)内连续，则 f(x)在(0，1)内有界C.若 f“(x)在(0，1)内有界，则 f(x)在(0，1)内有界D.若 f(x)在(0，1)内有界，则 f“(x)在(0，1)内有界10.设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f“(x)0，f“(x)0，x 为自变量
5、 x 在点 x 0 处的增量，y 与dy 分别为 f(x)在点 x 0 处对应的增量与微分，若x0，则（分数：2.00）A.0dyyB.0ydyC.ydy0D.dyy011.设函数 f(x)在 x=0 处连续且 （分数：2.00）A.f(0)=0 且 f - “(0)存在B.f(0)=1 且 f - “(0)存在C.f(0)=0 且 f + “(0)存在D.f(0)=1 且 f + “(0)存在12.设函数 f(x)在 x=0 处连续，下列命题错误的是（分数：2.00）A.若B.存在，则 f(0)=0C.若D.若13.曲线 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.314.设某商品的需求函数为
6、Q=1602p，其中 Q，p 分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于 1，则商品的价格是（分数：2.00）A.10B.20C.30D.4015.证明：若函数 f(x)在 x=0 处连续，在(0，)(0)内可导，且 （分数：2.00）A.f“(a)0B.f“(a)0C.f“(a)0D.f“(a)0二、填空题(总题数：7，分数：14.00)16.设 （分数：2.00）填空项 1:_17.已知曲线 y=x 3 一 3a 2 x+b 与 x 轴相切，则 b 2 可以通过 a 表示为 b 2 = 1（分数：2.00）填空项 1:_18.设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f“(
7、x)=e f(x) ，f(2)=1，则 f“(2)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_19.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_20.设某产品的需求函数为 Q=Q(p)，其对价格 P 的弹性 p =02，则当需求量为 10 000 件时，价格增加 1 元会使产品收益增加 1.（分数：2.00）填空项 1:_21.设某商品的收益函数为 R(p)，收益弹性为 1+P 3 ，其中 P 为价格，且 R(1)=1，则 R(p)= 1.（分数：2.00）填空项 1:_22.若曲线 y=x 3 +ax 2 +bx+1 有拐点(一 1，0)，则 b= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题
8、数：14，分数：30.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_24.求函数 （分数：2.00）_25.已知 f(x)在(一，+)上可导，且 求 c 的值 （分数：2.00）_26.设 试补充定义 f(1)使得 f(x)在 （分数：2.00）_27.设函数 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1试证必存在(0，3)使 f“()=0（分数：2.00）_28.求 （分数：2.00）_29.设某商品的需求函数为 Q=1005P，其中价格 P(0，20)，Q 为需求量 (I)求需求量对价格的弹性 E d (E d 0)； (II
9、)推导 （分数：2.00）_30.求 （分数：2.00）_31.证明：当 0ab 时，bsinb+2cosb+basina+2cosa+s（分数：2.00）_32.设函数 y=y(x)由方程 ylnyx+y=0 确定，试判断曲线 y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性（分数：2.00）_设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，又 f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：（分数：4.00）(1).存在 (a，b)，使得 f()=g()；（分数：2.00）_(2).存在 (a，b)，使得 f“()=g“()（分数：2.00）_33.证明拉格朗日
10、中值定理：若函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则存在 (a，b)，使得f(b)一 f(a)=f“()(b 一 a)（分数：2.00）_34.求极限 （分数：2.00）_设函数 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内存在二阶导数，且 （分数：4.00）(1).证明存在 (0，2)，使 f()=f(0)；（分数：2.00）_(2).证明存在 (0，3)，使 f“()=0（分数：2.00）_考研数学三（一元函数微分学）-试卷 9 答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：15，分数：30.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
11、（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)的导数在 x=a 处连续，又 （分数：2.00）A.x=a 是 f(a)的极小值点B.x=a 是 f(x)的极大值点。 C.(a，f(a)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=a 不是 f(x)的极值点，(a，f(a)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析：取3.设函数 f(x)在闭区间a，b上有定义，在开区间(a，b)内可导，则（分数：2.00）A.当 f(a)f(b)0 时，存在 (a，b)，使 f()=0B.对任何 (a，b)，有 C.当 f(a)=f(b)时，存在 (a，b)，使 f“()=0D.存在 (a，b)，使 f(b)一 f(a)=f“(
12、)(b 一 a)解析：解析：由于 f(x)在(a，b)内可导(a，b)，则 f(x)在 点可导，因而在 点连续，故4.设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且 f“(0)存在，则函数 （分数：2.00）A.在 x=0 处左极限不存在B.有跳跃间断点 x=0C.在 x=0 处右极限不存在D.有可去间断点 x=0 解析：解析：由于 f(x)为奇函数，则 f(0)=0，从而 又5.设 f(x)=x(1 一 x)，则（分数：2.00）A.x=0 是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点B.x=0 不是 f(x)的极值点，但(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点C.x=0 是 f(x)的
13、极值点，且(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析：由 f(x)=x(1 一 x)知，f(0)=0，而当 x0，或 0x1 时，f(x)0，由极值的定义知f(x)在 x=0 处取极小值又6.设 f“(x)在a，b上连续，且 f“(a)0，f“(b)0，则下列结论中错误的是（分数：2.00）A.至少存在一点 x 0 (a，b)，使得 f(x 0 )f(a)B.至少存在一点 x 0 (a，b)，使得 f(x 0 )f(b)C.至少存在一点 x 0 (a，b)，使得 f“(x 0 )=0D.至少存在一点 x 0 (a
14、，b)，使得 f(x 0 )=0 解析：解析：令 f(x)=一 x 2 +2，a=一 1，b=1，显然 f“(x)在一 1，1上连续，f“(一 1)0，f“(1)0，但在(一 1，1)上不存在 x 0 ，使 f(x 0 )=0，则 D 是错误的，故应选 D7.当 a 取下列哪个值时，函数 f(x)=2x 3 一 9x 2 +12xa 恰有两个不同的零点（分数：2.00）A.2B.4 C.6D.8解析：解析：f“(x)=6x 2 一 18x+12=6(x 2 一 3x+2)=6(x 一 1)(x 一 2)令 f“(x)=0，得 x 1 =1，x 2 =2；f(1)=5 一 a， f(2)=4 一
15、 a 当 a=4 时，f(1)一 10，f(2)=0即 x=2 为 f(x)的一个零点，由 f“(x)=6(x 一 1)(x 一 2)知当一x1 时，f“(x)0，f(x)严格单调增，而 f(1)=10， 8.设 f(x)=xsinx+cosx，下列命题中正确的是（分数：2.00）A.f(0)是极大值，B.f(0)是极小值， C.f(0)是极大值，D.f(0)是极小值，解析：解析：f“(x)=sinx+xcosxsinx=xcosx， f“(x)=cosxxsinx;f“(0)=0，f“(0)=10，则 f(0)是极小值9.以下四个命题中，正确的是（分数：2.00）A.若 f“(x)在(0，1
16、)内连续，则 f(x)在(0，1)内有界B.若 f(x)在(0，1)内连续，则 f(x)在(0，1)内有界C.若 f“(x)在(0，1)内有界，则 f(x)在(0，1)内有界 D.若 f(x)在(0，1)内有界，则 f“(x)在(0，1)内有界解析：解析：(直接法)由于 f“(x)在(0，1)内有界，则存在 M0，使对任意 x(0，1)，f“(x)M，对任意的 x(0，1)，由拉格朗日中值定理知 从而有10.设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f“(x)0，f“(x)0，x 为自变量 x 在点 x 0 处的增量，y 与dy 分别为 f(x)在点 x 0 处对应的增量与微分，若x0，则（分数：
17、2.00）A.0dyy B.0ydyC.ydy0D.dyy0解析：解析：直接法 由于 dy=f“(x 0 )x y=f(x 0 +x)一 f(x 0 )=f“()x(x 0 x 0 +x)由 f“(x)0，则 f“(x)单调增，又x0，且 f“(x)0，则 0dyy 故应选 A11.设函数 f(x)在 x=0 处连续且 （分数：2.00）A.f(0)=0 且 f - “(0)存在B.f(0)=1 且 f - “(0)存在C.f(0)=0 且 f + “(0)存在 D.f(0)=1 且 f + “(0)存在解析：解析：直接法12.设函数 f(x)在 x=0 处连续，下列命题错误的是（分数：2.0
18、0）A.若B.存在，则 f(0)=0C.若D.若 解析：解析：由 存在及 f(x)在 x=0 处的连续性知，f(0)=0，从而有 f“(0)，所以，命题 A 和 C是正确的；由 ，则 f(0)=0，所以，命题 B 也是正确的事实上，命题 D 是错误的例如，令 f(x)=x，显然13.曲线 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.3 解析：解析：由于 则 x=0 为原曲线的一条垂直渐近线而 ，则 y=0 为原曲线的一条水平渐近线14.设某商品的需求函数为 Q=1602p，其中 Q，p 分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于 1，则商品的价格是（分数：2.00）A.10B.20C.3
19、0D.40 解析：解析：由题设可知，该商品的需求弹性为 由15.证明：若函数 f(x)在 x=0 处连续，在(0，)(0)内可导，且 （分数：2.00）A.f“(a)0B.f“(a)0 C.f“(a)0D.f“(a)0解析：解析：令 (x)=fg(x)，则 “(x)=f“g(x)g“(x) “(x 0 )=f“g(x 0 )g“(x 0 )=0 “(x)=f“g(z)g “2 (x)+f“g(x)g“(x) “(x 0 )=fg(x)g“(x 0 )=f“(a)g“(x 0 ) 若 f“(a)0，则“(x 0 )0，故 (x)在 x 0 处取极大值二、填空题(总题数：7，分数：14.00)16
20、.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：当 x0 时, 当 x=0 时, 由上式可知，当 1 时，f“(0)存在，且 f“(0)=0。 又由上式可知，当 2 时，17.已知曲线 y=x 3 一 3a 2 x+b 与 x 轴相切，则 b 2 可以通过 a 表示为 b 2 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4a 6 ）解析：解析：曲线 y=x 3 一 3a 2 x+b 在 x=x 0 处与 x 轴相切，则 3x 0 2 3a 2 =0 且 x 0 3 3a 2 x 0 +b=0 即 x 0 2 =a 2 且 x 0 (x 0 2 一
21、 3a 2 )=一 b 从而可得 b 2 =4a 618.设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f“(x)=e f(x) ，f(2)=1，则 f“(2)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2e 3 ）解析：解析：由 f“(x)=e f(x) 及 f(2)=1 知，f“(2)=e f“(x)=e f(x) f“(f“(x)=zf“(x)f“(x)， 则f“(2)=2e 3 x)=f“(x) 2 ，从而有 f“(2)=e 219.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：20.设某产品的需求函数为 Q=Q(p)，其对价格
22、P 的弹性 p =02，则当需求量为 10 000 件时，价格增加 1 元会使产品收益增加 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：8000）解析：解析：由于收益 R=pQ(P)21.设某商品的收益函数为 R(p)，收益弹性为 1+P 3 ，其中 P 为价格，且 R(1)=1，则 R(p)= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：22.若曲线 y=x 3 +ax 2 +bx+1 有拐点(一 1，0)，则 b= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：曲线 y=x 3 +ax 2 +bx+1 过点(一 1
23、，0)，则 0=1+ab+1， a=b y=x 3 一 bx 2 +bx+1 y“=3x 2 一 2bx+b y“=6x 一 2b y“(一 1)=一 62b=0，则 b=3三、解答题(总题数：14，分数：30.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：24.求函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 令 y“=0，得驻点 x 1 =0，x 2 =一 1列表 由此可见，递增区间为(一，一 1)，(0，+)；递减区间为(一 1，0) )解析：25.已知 f(x)在(一，+)上可导，且 求 c 的值 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由拉格朗日定理知 f(
24、x)一 f(x 一 1)=f“().1 其中 介于 x 一 1 与 x 之间，那么 于是，e 2c =e，故 )解析：26.设 试补充定义 f(1)使得 f(x)在 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 1 一 x=y，则 )解析：27.设函数 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1试证必存在(0，3)使 f“()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 f(x)在0，3上连续，则 f(x)在0，2上连续，且在0，2上必有最大值 M和最小值 m，于是 由介值定理知，至少存在一点 c0，2，使 )解析：28.求 （分数：2
25、.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.设某商品的需求函数为 Q=1005P，其中价格 P(0，20)，Q 为需求量 (I)求需求量对价格的弹性 E d (E d 0)； (II)推导 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I) (II)由 R=PQ，得 )解析：30.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.证明：当 0ab 时，bsinb+2cosb+basina+2cosa+s（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x)=xsinx+2cosx+x，x0， 则 f“(x)=sinx+xcosx 一2sinx+=xcosx 一 sinx+ f“(
26、x)=cosxxsinxcosx=一 xsinx0，x(0，)故 f“(x)在0，上单调减少，从而 f“(x)f“()=0，x(0，)因此 f(x)在0，上单调增加，当 0ab 时 f(b)f(a)即 bsinb+2cosb+nbasina+2cosa+a)解析：32.设函数 y=y(x)由方程 ylnyx+y=0 确定，试判断曲线 y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：等式 ylnyx+y=0 两边对 x 求导得 )解析：设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，又 f(a)=g(a)，f(b)=g(b)
27、，证明：（分数：4.00）(1).存在 (a，b)，使得 f()=g()；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=f(x)一 g(x)，以下分两种情况讨论： 若 f(x)和 g(x)在(a，b)内的同一点处 c(a，b)取到其最大值，则 (c)=f(c)一 g(d)=0，又 (a)=(b)=0，由罗尔定理知 对“(x)在 1 ， 2 上用罗尔定理得 )解析：(2).存在 (a，b)，使得 f“()=g“()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 f(x)和 g(x)在(a，b)内不在同一点处取到其最大值，不妨设 f(x)和 g(x)分别在 x 1 和 x 2 (x 1 x
28、2 )取到其在(a，b)内的最大值，则 P(x 1 )=f(x 1 )一 g(x 1 )0， (x 2 )=f(x 2 )一 g(x 2 )0 由连续函数的介值定理知， )解析：33.证明拉格朗日中值定理：若函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则存在 (a，b)，使得f(b)一 f(a)=f“()(b 一 a)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取 由题意知 F(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 根据罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ，即 f(b)一 f(a)一 f“()(b 一 a) 对于任意的 t(0，)，函数 f(x)在0，t上连续，在(0，t)内可导，由右导数定义及拉格朗日中值定理 )解析：34.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设函数 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内存在二阶导数，且 （分数：4.00）(1).证明存在 (0，2)，使 f()=f(0)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).证明存在 (0，3)，使 f“()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
