1、考研数学三（常微分方程与差分方程）-试卷 8 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)连续，且满足 f(x)= 0 2x （分数：2.00）A.e x ln2B.e 2x ln2C.e x +ln2D.e 2x +ln23.设 f(x)，f(x)为已知的连续函数，则方程 y+f(x)y=f(x)f(x)的通解是 ( )（分数：2.00）A.y=f(x)+Ce f(x)B.y=f(x)+1+Ce f(x)C.y=f(x)C+Ce f(x)D.y=
2、f(x)1+Ce f(x)4.方程 y (4) 23y=e 3x 2e x +x 的特解形式(其中 a，b，c，d 为常数)是 ( )（分数：2.00）A.axe 3x +bxe x +cx 3B.ae 3x +bxe x +cx+dC.ae 3x +bxe x +cx 3 +dx 2D.axe 3x +be x +cx 3 +dx5.已知 y 1 =xe x +e 2x 和 y 2 =xe x +e x 是二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解，则此方程为 ( )（分数：2.00）A.y2y+y=e 2xB.yy2y=xe xC.yy2y=e x 2xe xD.yy=e 2x6.微分方程 yy
3、=e x +1 的一个特解应具有形式(式中 a，b 为常数) ( )（分数：2.00）A.ae x +bB.axe x +bC.ae x +bxD.axe x +bx二、填空题(总题数：9，分数：18.00)7.微分方程(1x 2 )yxy=0 满足初值条件 y(1)=1 的特解是 1（分数：2.00）填空项 1:_8.微分方程 y= （分数：2.00）填空项 1:_9.微分方程 y2y=x 2 +e 2x +1 由待定系数法确定的特解形式(不必求出系数)是 1（分数：2.00）填空项 1:_10.特征根为 r 1 =0，r 2,3 = （分数：2.00）填空项 1:_11.满足 f(x)+x
4、f(x)=x 的函数 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.已知 0 1 f(tx)dt= （分数：2.00）填空项 1:_13.微分方程 xdyydx=ydy 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_14.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_15.以 y=7e 3x +2x 为一个特解的三阶常系数齐次线性微分方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：28.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设函数 f(u)有连续的一阶导数，f(2)=1，且函数 z= 满足 （分数：2.00）_18.设 z
5、=z(u，v)具有二阶连续偏导数，且 z=z(x2y，z+3y)满足 （分数：2.00）_19.利用变换 y=f(e x )求微分方程 y(2e x +1)y+e 2x y=e 3x 的通解（分数：2.00）_20.求二阶常系数线性微分方程 y+y=2x+1 的通解，其中 为常数（分数：2.00）_21.(1)用 x=e t 化简微分方程 (2)求解 （分数：2.00）_22.设 L 是一条平面曲线，其上任意一点 P(x，y)(x0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在 y 轴上的截距，且 L 经过点( （分数：2.00）_23.设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y(x)0，y(0)=1过曲
6、线 y=y(x)上任意一点 P(x，y)作该曲线的切线及到 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ，区间0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ，并设 2S 1 S 2 恒为 1，求此曲线 y=y(x)的方程（分数：2.00）_24.已知某商品的需求量 x 对价格 p 的弹性 =3p 3 ，而市场对该商品的最大需求量为 1 万件，求需求函数（分数：2.00）_25.已知某商品的需求量 D 和供给量 S 都是价格 p 的函数；D=D(p)= ，S=S(p)=bp，其中 a0 和b0 为常数；价格 p 是时间 t 的函数且满足方程 =kD(p)S(p
7、)(k 为正的常数)假设当 t=0 时价格为 1，试求 (1)需求量等于供给量时的均衡价格 p e ；(2)价格函数 p(t)；(3) （分数：2.00）_26.求差分方程 y t+1 +3y t =3 t+1 (2t+1)的通解（分数：2.00）_27.求差分方程 y t+1 ay t =2t+1 的通解（分数：2.00）_28.某商品市场价格 p=p(t)随时间变化，p(0)=p 0 而需求函数 Q A =bap(a，b0)供给函数 Q B =d+cp(c，d0)，且 p 随时间变化率与超额需求(Q A Q B )成正比求价格函数 p=p(t)（分数：2.00）_29.设 Y t ，C t
8、 ，I t 分别是 t 期的国民收入、消费和投资三者之间有如下关系 （分数：2.00）_考研数学三（常微分方程与差分方程）-试卷 8 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)连续，且满足 f(x)= 0 2x （分数：2.00）A.e x ln2B.e 2x ln2 C.e x +ln2D.e 2x +ln2解析：解析：原方程求导得 f(x)=2f(x)，即 3.设 f(x)，f(x)为已知的连续函数，则方程 y+f(x)y=f(x)f(x
9、)的通解是 ( )（分数：2.00）A.y=f(x)+Ce f(x)B.y=f(x)+1+Ce f(x)C.y=f(x)C+Ce f(x)D.y=f(x)1+Ce f(x) 解析：解析：由一阶线性方程的通解公式得4.方程 y (4) 23y=e 3x 2e x +x 的特解形式(其中 a，b，c，d 为常数)是 ( )（分数：2.00）A.axe 3x +bxe x +cx 3B.ae 3x +bxe x +cx+dC.ae 3x +bxe x +cx 3 +dx 2 D.axe 3x +be x +cx 3 +dx解析：解析：特征方程 r 2 (r 2 2r3)=0，特征根为 r 1 =3，
10、r 2 =1，r 3 =r 4 =0，对 f 1 =e 3x ； 1 =3 非特征根，y 1 * =ae 3x ；对 f 2 =2e x ， 2 =1 是特征根，y 2 * =bxe x ；对 f 3 =x， 3 =0 是二重特征根，y 3 * =x 2 (cx+d)，所以特解 y * =y 1 * +y 2 * +y 3 * =ae 3x +bxe x +cx 3 +dx 2 5.已知 y 1 =xe x +e 2x 和 y 2 =xe x +e x 是二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解，则此方程为 ( )（分数：2.00）A.y2y+y=e 2xB.yy2y=xe xC.yy2y=e x
11、 2xe x D.yy=e 2x解析：解析：非齐次线性方程两解之差必为对应齐次方程之解，由 y 1 y 2 =e 2x e x 及解的结构定理知对应齐次方程通解为 y=C 1 e 2x +C 2 e x ，故特征根 r 1 =2，r 2 =1对应齐次线性方程为 yy2y=0 再由特解 y * =xe x 知非齐次项 f(x)=y * y * 2y * =e x 2xe x ， 于是所求方程为 yy2y=e x 2xe x 6.微分方程 yy=e x +1 的一个特解应具有形式(式中 a，b 为常数) ( )（分数：2.00）A.ae x +bB.axe x +b C.ae x +bxD.axe
12、 x +bx解析：解析：根据非齐次方程 yy=e x +1 可得出对应的齐次方程 yy=0，特征根为 1 =1， 2 =1，非齐次部分分成两部分 f 1 (x)=e x ，f 2 (x)=1，可知 yy=e x +1 的特解可设为axe x +b二、填空题(总题数：9，分数：18.00)7.微分方程(1x 2 )yxy=0 满足初值条件 y(1)=1 的特解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=*）解析：解析：原方程化为 积分得通解 lny=lnCx x 2 ，即 y=Cx 由初值 y(1)=1 解出 C= 8.微分方程 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正
13、确答案：正确答案：y=xln(x+ ）解析：解析：由 y= 积分一次得 y=ln(x+ )+C 1 ，再积分得 9.微分方程 y2y=x 2 +e 2x +1 由待定系数法确定的特解形式(不必求出系数)是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y * =x(Ax 2 +Bx+C)+Dxe 2x）解析：解析：特征方程为 r 2 2r=0，特征根 r 1 =0，r 2 =2 对 f 1 =x 2 +1， 1 =0 是特征根，所以 y 1 * =x(Ax 2 +Bx+C) 对 f 2 =e 2x ， 2 =2 也是特征根，故有 y 2 * =Dxe 2x 从而 y * 如上10.
14、特征根为 r 1 =0，r 2,3 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：yy+*y=0）解析：解析：特征方程为 即 r 3 r 2 + 11.满足 f(x)+xf(x)=x 的函数 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：在原方程中以(x)代替 x 得 f(x)xf(x)=x与原方程联立消去 f(x)项得 f(x)+x 2 f(x)=x+x 2 ，所以 f(x)= 积分得 f(x)= 12.已知 0 1 f(tx)dt= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：Cx+2，其中 C 为任意常数）解析：解析：将所
15、给方程两边同乘以 x，得 0 1 f(tx)d(tx)= xf(x)+x 令 u=tx,则上式变为 0 x f(u)du= xf(x)+x两边对 x 求导得 f(x)= xf(x)+1，即 f(x) 13.微分方程 xdyydx=ydy 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： =C，其中 C 为任意常数 原方程化为(1dx，是齐次型 令 y=xu，则 dy=xdu+udx，方程再化为 ，积分得 lnu=1nxlnC 或 xu=C 代入 y=xu 即得通解 ）解析：14.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 x 5 +C 2
16、x 3 +C 3 x 2 +C 4 x+C 5 ，C 1 ，C 2 ，C 3 ，C 4 ，C 5 为任意常数）解析：解析：令 U= ，则方程降阶为 u 的一阶方程 =0其通解为 u=Cx，从而15.以 y=7e 3x +2x 为一个特解的三阶常系数齐次线性微分方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y3=0）解析：解析：由特解 y=7e 3x +2x 知特征根为 r 1 =3，r 2 =r 3 =0(二重根)特征方程为 r 3 3r 2 =0，相应齐次线性方程即 y3=0三、解答题(总题数：14，分数：28.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（
17、分数：2.00）_解析：17.设函数 f(u)有连续的一阶导数，f(2)=1，且函数 z= 满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 z= 代入式，注意到 f 中的变元实际是一元 u= ，所以最终有可能化为含有关于 f(u)的常微分方程 代入式，得 f(u)(1u 2 )+2f(u)=uu 3 ， 其中u= 且 u0由式有 f(u)+ f(u)=u，当 u1 初值条件是 u=2 时 f=1微分方程的解应该是 u 的连续函数，由于初值条件给在 u=2 处，所以 f 的连续区间应是包含 u=2 在内的一个开区间 解式得通解 再以 f(2)=1 代入，得 C=3，从而得 )解析：18.设
18、z=z(u，v)具有二阶连续偏导数，且 z=z(x2y，z+3y)满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：以 z=z(u，v)，u=x2y，v=x+3y 代入式，得到 z(u，v)应该满足的微分方程，也许这个方程能用常微分方程的办法解之 代入式，化为 它可以看成一个常微分方程(其中视 v 为常数)，解得 w=(v) ， 其中 (v)为具有连续导数的 v 的任意函数再由 所以 z=(x)dv+(u)， 或写成 z=(v) )解析：19.利用变换 y=f(e x )求微分方程 y(2e x +1)y+e 2x y=e 3x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 t=e x ，
19、y=f(t) =y=f(t).e x =tf(t)， y=tf(t) x =e x f(t)+tf(t).e x =tf(t)+t 2 f(t)， 代入方程得 t 2 f(t)+tf(t)(2t+1)tf(t)+t 2 f(t)=t 3 ，即 f(t)2f(t)+f(t)=t 解得 f(t)=(C 1 +C 2 t)e t +t+2，所以 y(2e x +1)y+e 2x y=e 3x 的通解为 y=(C 1 +C 2 e x ) )解析：20.求二阶常系数线性微分方程 y+y=2x+1 的通解，其中 为常数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对应齐次方程 y+y=0 的特征方程 r 2
20、 +r=0 的特征根为 r=0 或 r= (1)当 0 时，y+y=0 的通解为 y=C 1 +C 2 e x 设原方程的特解形式为 y * =x(Ax+B)，代入原方程，比较同次幂项的系数，解得 A= ，B= ，故原方程的通解为 y=C 1 +C 2 e x +x( )，其中 C 1 ，C 2 为任意常数 (2)当 =0 时，y=2x+1，积分两次得方程的通解为 y= )解析：21.(1)用 x=e t 化简微分方程 (2)求解 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题考查在已有提示下化简微分方程、二阶常系数线性微分方程的求解，是一道具有一定计算量的综合题 )解析：22.设 L 是一条
21、平面曲线，其上任意一点 P(x，y)(x0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在 y 轴上的截距，且 L 经过点( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设曲线 L 过点 P(x，y)的切线方程为 Yy=y(Xx)令 X=0，则得该切线在y 轴上的截距为 yxy 由题设知 ，则此方程可化为 ，解之得 y+ =C 由 L 经过点 于是 L 方程为 y+ (2)设第一象限内曲线 y= x 2 在点 P(x，y)处的切线方程为 Y( x 2 )=2x(Xx)， 即 Y=2xX+x 2 + 它与 x 轴及 y 轴的交点分别为 ， 所求面积为 S(x)= )解析：23.设函数 y(x)(x0)
22、二阶可导且 y(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点 P(x，y)作该曲线的切线及到 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ，区间0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ，并设 2S 1 S 2 恒为 1，求此曲线 y=y(x)的方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 y=y(x)上点 P(x，y)处的切线方程为 Yy=y(x)(Xx)，它与 x 轴的交点为 N(x ，0)由于 y(x)0，y(0)=1，从而 y(x)0，于是 又 S 2 = 0 x y(t)dt，由条件 2S 1 S 2 =1，知 0 x y(t)dt
23、=1 两边对 x 求导得 y=0，即 yy=(y) 2 令 p=y，则上述方程可化为 解得 p=C 1 y，且 =C 1 y于是 y= )解析：24.已知某商品的需求量 x 对价格 p 的弹性 =3p 3 ，而市场对该商品的最大需求量为 1 万件，求需求函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据弹性的定义，有 = =3p 2 dp由此得 x=c ，C 为待定常数由题设知 p=0 时，x=1，从而 C=1于是，所求的需求函数为 x= )解析：25.已知某商品的需求量 D 和供给量 S 都是价格 p 的函数；D=D(p)= ，S=S(p)=bp，其中 a0 和b0 为常数；价格 p 是时间
24、 t 的函数且满足方程 =kD(p)S(p)(k 为正的常数)假设当 t=0 时价格为 1，试求 (1)需求量等于供给量时的均衡价格 p e ；(2)价格函数 p(t)；(3) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)当需求量等于供给量时，有 ，因此均衡价格为 p e = (2)由条件知 因此有 =kbdt在该式两边同时积分，得 p 3 =p e 3 +Ce 3kbt 由条件 p(0)=1，可得 C=1p e 3 于是价格函数为 p(t)= (3) )解析：26.求差分方程 y t+1 +3y t =3 t+1 (2t+1)的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对应齐次方程的
25、通解为 Y=C(3) t ， 由于这里 p(t)=3 t (6t+3)，=3，b=3， 所以可设 y * =3 t (ut+v)代入原方程，解得 u=1，v=0，即 y * =t3 t 故原方程通解为 y t =Y+y * =C(3) t +t3 t ，其中 C 为任意常数)解析：27.求差分方程 y t+1 ay t =2t+1 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：题设方程对应的齐次差分方程 y t+1 ay t =0 的特征根 =a，故其通解为 Y t =Ca t ，其中 C 为任意常数，下面就 a 的不同取值求原非齐次方程的特解与通解 (1)当 a1，即 1 不是特征根时，令
26、原非齐次方程的特解为 =At+B，代入原方程有 故此特解 因此原非齐次方程的通解为 y t =Ca t + ，其中 C 为任意常数 (2)当 a=1，即 1 是特征根时，令原非齐次方程的特解为 =t(At+B)，并把它代入原方程有 A=1，B=0 故此特解为 )解析：28.某商品市场价格 p=p(t)随时间变化，p(0)=p 0 而需求函数 Q A =bap(a，b0)供给函数 Q B =d+cp(c，d0)，且 p 随时间变化率与超额需求(Q A Q B )成正比求价格函数 p=p(t)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设 =k(Q A Q B )，即 =k(a+c)p+k(b+d) +k(a+c)p=k(b+d)，p(0)=p 0 ， 故 p=e k(a+c)dt k(b+d)e k(a+c)dt +C= )解析：29.设 Y t ，C t ，I t 分别是 t 期的国民收入、消费和投资三者之间有如下关系 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由前面两个式子解出 I t ，代入第三式有 Y t+1 1+(1)Y t = 特征方程为 =1+(1)，设特解为 Y t * =A=A= 故 Y t 的通解为 Y t = )解析：
