【考研类试卷】考研数学三(常微分方程与差分方程)-试卷8及答案解析.doc
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1、考研数学三(常微分方程与差分方程)-试卷 8 及答案解析(总分:58.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:6,分数:12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 f(x)连续,且满足 f(x)= 0 2x (分数:2.00)A.e x ln2B.e 2x ln2C.e x +ln2D.e 2x +ln23.设 f(x),f(x)为已知的连续函数,则方程 y+f(x)y=f(x)f(x)的通解是 ( )(分数:2.00)A.y=f(x)+Ce f(x)B.y=f(x)+1+Ce f(x)C.y=f(x)C+Ce f(x)D.y=
2、f(x)1+Ce f(x)4.方程 y (4) 23y=e 3x 2e x +x 的特解形式(其中 a,b,c,d 为常数)是 ( )(分数:2.00)A.axe 3x +bxe x +cx 3B.ae 3x +bxe x +cx+dC.ae 3x +bxe x +cx 3 +dx 2D.axe 3x +be x +cx 3 +dx5.已知 y 1 =xe x +e 2x 和 y 2 =xe x +e x 是二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解,则此方程为 ( )(分数:2.00)A.y2y+y=e 2xB.yy2y=xe xC.yy2y=e x 2xe xD.yy=e 2x6.微分方程 yy
3、=e x +1 的一个特解应具有形式(式中 a,b 为常数) ( )(分数:2.00)A.ae x +bB.axe x +bC.ae x +bxD.axe x +bx二、填空题(总题数:9,分数:18.00)7.微分方程(1x 2 )yxy=0 满足初值条件 y(1)=1 的特解是 1(分数:2.00)填空项 1:_8.微分方程 y= (分数:2.00)填空项 1:_9.微分方程 y2y=x 2 +e 2x +1 由待定系数法确定的特解形式(不必求出系数)是 1(分数:2.00)填空项 1:_10.特征根为 r 1 =0,r 2,3 = (分数:2.00)填空项 1:_11.满足 f(x)+x
4、f(x)=x 的函数 f(x)= 1(分数:2.00)填空项 1:_12.已知 0 1 f(tx)dt= (分数:2.00)填空项 1:_13.微分方程 xdyydx=ydy 的通解是 1(分数:2.00)填空项 1:_14.微分方程 (分数:2.00)填空项 1:_15.以 y=7e 3x +2x 为一个特解的三阶常系数齐次线性微分方程是 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:14,分数:28.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_17.设函数 f(u)有连续的一阶导数,f(2)=1,且函数 z= 满足 (分数:2.00)_18.设 z
5、=z(u,v)具有二阶连续偏导数,且 z=z(x2y,z+3y)满足 (分数:2.00)_19.利用变换 y=f(e x )求微分方程 y(2e x +1)y+e 2x y=e 3x 的通解(分数:2.00)_20.求二阶常系数线性微分方程 y+y=2x+1 的通解,其中 为常数(分数:2.00)_21.(1)用 x=e t 化简微分方程 (2)求解 (分数:2.00)_22.设 L 是一条平面曲线,其上任意一点 P(x,y)(x0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在 y 轴上的截距,且 L 经过点( (分数:2.00)_23.设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y(x)0,y(0)=1过曲
6、线 y=y(x)上任意一点 P(x,y)作该曲线的切线及到 x 轴的垂线,上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ,区间0,x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ,并设 2S 1 S 2 恒为 1,求此曲线 y=y(x)的方程(分数:2.00)_24.已知某商品的需求量 x 对价格 p 的弹性 =3p 3 ,而市场对该商品的最大需求量为 1 万件,求需求函数(分数:2.00)_25.已知某商品的需求量 D 和供给量 S 都是价格 p 的函数;D=D(p)= ,S=S(p)=bp,其中 a0 和b0 为常数;价格 p 是时间 t 的函数且满足方程 =kD(p)S(p
7、)(k 为正的常数)假设当 t=0 时价格为 1,试求 (1)需求量等于供给量时的均衡价格 p e ;(2)价格函数 p(t);(3) (分数:2.00)_26.求差分方程 y t+1 +3y t =3 t+1 (2t+1)的通解(分数:2.00)_27.求差分方程 y t+1 ay t =2t+1 的通解(分数:2.00)_28.某商品市场价格 p=p(t)随时间变化,p(0)=p 0 而需求函数 Q A =bap(a,b0)供给函数 Q B =d+cp(c,d0),且 p 随时间变化率与超额需求(Q A Q B )成正比求价格函数 p=p(t)(分数:2.00)_29.设 Y t ,C t
8、 ,I t 分别是 t 期的国民收入、消费和投资三者之间有如下关系 (分数:2.00)_考研数学三(常微分方程与差分方程)-试卷 8 答案解析(总分:58.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:6,分数:12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 f(x)连续,且满足 f(x)= 0 2x (分数:2.00)A.e x ln2B.e 2x ln2 C.e x +ln2D.e 2x +ln2解析:解析:原方程求导得 f(x)=2f(x),即 3.设 f(x),f(x)为已知的连续函数,则方程 y+f(x)y=f(x)f(x
9、)的通解是 ( )(分数:2.00)A.y=f(x)+Ce f(x)B.y=f(x)+1+Ce f(x)C.y=f(x)C+Ce f(x)D.y=f(x)1+Ce f(x) 解析:解析:由一阶线性方程的通解公式得4.方程 y (4) 23y=e 3x 2e x +x 的特解形式(其中 a,b,c,d 为常数)是 ( )(分数:2.00)A.axe 3x +bxe x +cx 3B.ae 3x +bxe x +cx+dC.ae 3x +bxe x +cx 3 +dx 2 D.axe 3x +be x +cx 3 +dx解析:解析:特征方程 r 2 (r 2 2r3)=0,特征根为 r 1 =3,
10、r 2 =1,r 3 =r 4 =0,对 f 1 =e 3x ; 1 =3 非特征根,y 1 * =ae 3x ;对 f 2 =2e x , 2 =1 是特征根,y 2 * =bxe x ;对 f 3 =x, 3 =0 是二重特征根,y 3 * =x 2 (cx+d),所以特解 y * =y 1 * +y 2 * +y 3 * =ae 3x +bxe x +cx 3 +dx 2 5.已知 y 1 =xe x +e 2x 和 y 2 =xe x +e x 是二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解,则此方程为 ( )(分数:2.00)A.y2y+y=e 2xB.yy2y=xe xC.yy2y=e x
11、 2xe x D.yy=e 2x解析:解析:非齐次线性方程两解之差必为对应齐次方程之解,由 y 1 y 2 =e 2x e x 及解的结构定理知对应齐次方程通解为 y=C 1 e 2x +C 2 e x ,故特征根 r 1 =2,r 2 =1对应齐次线性方程为 yy2y=0 再由特解 y * =xe x 知非齐次项 f(x)=y * y * 2y * =e x 2xe x , 于是所求方程为 yy2y=e x 2xe x 6.微分方程 yy=e x +1 的一个特解应具有形式(式中 a,b 为常数) ( )(分数:2.00)A.ae x +bB.axe x +b C.ae x +bxD.axe
12、 x +bx解析:解析:根据非齐次方程 yy=e x +1 可得出对应的齐次方程 yy=0,特征根为 1 =1, 2 =1,非齐次部分分成两部分 f 1 (x)=e x ,f 2 (x)=1,可知 yy=e x +1 的特解可设为axe x +b二、填空题(总题数:9,分数:18.00)7.微分方程(1x 2 )yxy=0 满足初值条件 y(1)=1 的特解是 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y=*)解析:解析:原方程化为 积分得通解 lny=lnCx x 2 ,即 y=Cx 由初值 y(1)=1 解出 C= 8.微分方程 y= (分数:2.00)填空项 1:_ (正
13、确答案:正确答案:y=xln(x+ )解析:解析:由 y= 积分一次得 y=ln(x+ )+C 1 ,再积分得 9.微分方程 y2y=x 2 +e 2x +1 由待定系数法确定的特解形式(不必求出系数)是 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y * =x(Ax 2 +Bx+C)+Dxe 2x)解析:解析:特征方程为 r 2 2r=0,特征根 r 1 =0,r 2 =2 对 f 1 =x 2 +1, 1 =0 是特征根,所以 y 1 * =x(Ax 2 +Bx+C) 对 f 2 =e 2x , 2 =2 也是特征根,故有 y 2 * =Dxe 2x 从而 y * 如上10.
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