【考研类试卷】考研数学三(线性代数)模拟试卷101及答案解析.doc
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1、考研数学三(线性代数)模拟试卷 101 及答案解析(总分:64.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:11,分数:22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a,则 D=( )(分数:2.00)A.0B.a 2C.a 2D.na 23.设 A,B 均为 n 阶矩阵,且 AB=A+B,则若 A 可逆,则 B 可逆;若 B 可逆,则 A+B 可逆;若 A+B 可逆,则 AB 可逆;A 一 E 恒可逆。上述命题中,正确的个数为( )(分数:2.00)A.1B.2C.3D.44.设 (
2、分数:2.00)A.AP 1 P 2 =BB.AP 2 P 1 =BC.P 1 P 2 A=BD.P 2 P 1 A=B5.现有四个向量组 (1,2,3) T ,(3,一 1,5) T ,(0,4,一 2) T ,(1,3,0) T ; (a,1,b,0,0) T ,(c,0,d,2,0) T ,(e,0,f,0,3) T ; (a,1,2,3) T ,(b,1,2,3) T ,(c,3,4,5) T ,(d,0,0,0) T ; (1,0,3,1) T ,(一1,3,0,一 2) T ,(2,1,7,2) T ,(4,2,14,5) T 。 则下列结论正确的是( )(分数:2.00)A.线性
3、相关的向量组为;线性无关的向量组为B.线性相关的向量组为;线性无关的向量组为C.线性相关的向量组为;线性无关的向量组为D.线性相关的向量组为;线性无关的向量组为6.设向量组 1 , 2 , 3 线性无关,向量 1 可由 1 , 2 , 3 线性表示,向量 2 不能由 1 , 2 , 3 线性表示,则必有( )(分数:2.00)A. 1 , 2 , 1 线性无关B. 1 , 2 , 2 线性无关C. 2 , 3 , 1 , 2 线性相关D. 1 , 2 , 3 , 1 + 2 线性相关7.设 A 是 mn 矩阵,Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax=b 所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是(
4、 )(分数:2.00)A.若 Ax=0 仅有零解,则 Ax=b 有唯一解B.若 Ax=0 有非零解,则 Ax=b 有无穷多个解C.若 Ax=b 有无穷多个解,则 Ax=0 仅有零解D.若 Ax=b 有无穷多个解,则 Ax=0 有非零解8.设 A 是秩为 n 一 1 的 n 阶矩阵, 1 , 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量,则 Ax=0 的通解必定是( )(分数:2.00)A. 1 + 2B.k 1C.k( 1 + 2 )D.k( 1 一 2 )9.设三阶矩阵 A 的特征值是 0,1,一 1,则下列选项中不正确的是( )(分数:2.00)A.矩阵 AE 是不可逆矩阵B.矩阵 A+E
5、和对角矩阵相似C.矩阵 A 属于 1 与一 1 的特征向量相互正交D.方程组 AX=0 的基础解系由一个向量构成10.n 阶矩阵 A 和 B 具有相同的特征值是 A 和 B 相似的( )(分数:2.00)A.充分必要条件B.必要而非充分条件C.充分而非必要条件D.既非充分也非必要条件11.设 A 是 n 阶实对称矩阵,将 A 的第 i 列和第 j 列对换得到 B,再将 B 的第 i 行和第 j 行对换得到 C,则A 与 C( )(分数:2.00)A.等价但不相似B.合同但不相似C.相似但不合同D.等价,合同且相似二、填空题(总题数:10,分数:20.00)12.行列式 (分数:2.00)填空项
6、 1:_13.已知 2CA 一 2AB=CB,其中 A= (分数:2.00)填空项 1:_14.已知 (分数:2.00)填空项 1:_15.设 (分数:2.00)填空项 1:_16.任意一个三维向量都可以由 1 =(1,0,1) T , 2 =(1,一 2,3) T , 3 =(a,1,2) T 线性表示,则 a 的取值为 1。(分数:2.00)填空项 1:_17.已知方程组 (分数:2.00)填空项 1:_18.若 (分数:2.00)填空项 1:_19.设 (分数:2.00)填空项 1:_20.设 =(1,一 1,a) T ,=(1,a,2) T ,A=E+ T ,且 =3 是矩阵 A 的特
7、征值,则矩阵 A属于特征值 =3 的特征向量是 1。(分数:2.00)填空项 1:_21.设 f(x 1 ,x 2 )= (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:11,分数:22.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_23.证明: (分数:2.00)_24.已知矩阵 A 的伴随矩阵 A * =diag(1,1,1,8),且 ABA 1 =BA 1 +3E,求 B。(分数:2.00)_25.设 1 , 2 , n 是一组 n 维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是任一 n 维向量都可由它们线性表示。(分数:2.00)_26.设有齐次线性方程组
8、 (分数:2.00)_27.设方程组 (分数:2.00)_28.设矩阵 (分数:2.00)_29.已知矩阵 A 与 B 相似,其中 (分数:2.00)_30.设 且存在正交矩阵 Q 使得 Q T AQ 为对角矩阵。若 Q 的第一列为 (分数:2.00)_31.已知二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=(1 一 a)x 1 2 +(1a)x 2 2 +2x 3 2 +2(1+a)x 1 x 2 的秩为 2。 ()求 a 的值; ()求正交变换 x=Qy,把 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )化为标准形; ()求方程 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=0 的解。(分数:2.00)_32.设
9、 A 为 m 阶实对称矩阵且正定,B 为 mn 实矩阵,B T 为 B 的转置矩阵,试证:B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是 r(B)=n。(分数:2.00)_考研数学三(线性代数)模拟试卷 101 答案解析(总分:64.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:11,分数:22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a,则 D=( )(分数:2.00)A.0 B.a 2C.a 2D.na 2解析:解析:按这一列展开,D=a 1j A 1j +a 2j A 2j +a
10、2nj A 2nj =a 1j A 2j +aA 2nj 并注意到这一列元素的代数余子式中有 n 个为 a,n 个为一 a,从而行列式的值为零。所以应选 A。3.设 A,B 均为 n 阶矩阵,且 AB=A+B,则若 A 可逆,则 B 可逆;若 B 可逆,则 A+B 可逆;若 A+B 可逆,则 AB 可逆;A 一 E 恒可逆。上述命题中,正确的个数为( )(分数:2.00)A.1B.2C.3D.4 解析:解析:由 AB=A+B,有(AE)B=A。若 A 可逆,则 |(AE)B|=|AE|B|=|A|0, 所以|B|0,即矩阵 B 可逆,从而命题正确。 同命题类似,由 B 可逆可得出 A 可逆,从
11、而 AB 可逆,那么A+B=AB 也可逆,故命题正确。 因为 AB=A+B,若 A+B 可逆,则有 AB 可逆,即命题正确。 对于命题,用分组因式分解,即 ABAB+E=E,则有(AE)(B 一 E)=E, 所以得 AE 恒可逆,命题正确。所以应选 D。4.设 (分数:2.00)A.AP 1 P 2 =BB.AP 2 P 1 =BC.P 1 P 2 A=B D.P 2 P 1 A=B解析:解析:由于对矩阵 A mn 施行一次初等行变换相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵;对 A mn 作一次初等列变换,相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵,而经过观察 A、B 的关系可以看出
12、,矩阵 B 是矩阵 A 先把第一行加到第三行上,再把所得的矩阵的第一、二两行互换得到的,这两次初等变换所对应的初等矩阵分别为题中条件的 P 2 与 P 1 ,因此选项 C 正确。5.现有四个向量组 (1,2,3) T ,(3,一 1,5) T ,(0,4,一 2) T ,(1,3,0) T ; (a,1,b,0,0) T ,(c,0,d,2,0) T ,(e,0,f,0,3) T ; (a,1,2,3) T ,(b,1,2,3) T ,(c,3,4,5) T ,(d,0,0,0) T ; (1,0,3,1) T ,(一1,3,0,一 2) T ,(2,1,7,2) T ,(4,2,14,5)
13、T 。 则下列结论正确的是( )(分数:2.00)A.线性相关的向量组为;线性无关的向量组为B.线性相关的向量组为;线性无关的向量组为C.线性相关的向量组为;线性无关的向量组为D.线性相关的向量组为;线性无关的向量组为 解析:解析:向量组是四个三维向量,从而线性相关,可排除 B。 由于(1,0,0) T ,(0,2,0) T ,(0,0,3) T 线性无关,添上两个分量就可得向量组,故向量组线性无关。所以应排除 C。 向量组中前两个向量之差与最后一个向量对应分量成比例,于是 1 , 2 , 4 线性相关,那么添加 3 后,向量组必线性相关。应排除 A。由排除法,所以应选 D。6.设向量组 1
14、, 2 , 3 线性无关,向量 1 可由 1 , 2 , 3 线性表示,向量 2 不能由 1 , 2 , 3 线性表示,则必有( )(分数:2.00)A. 1 , 2 , 1 线性无关B. 1 , 2 , 2 线性无关 C. 2 , 3 , 1 , 2 线性相关D. 1 , 2 , 3 , 1 + 2 线性相关解析:解析:由 1 , 2 , 3 线性无关,且 2 不能由 1 , 2 , 3 线性表示知, 1 , 2 , 3 , 2 线性无关,从而部分组 1 , 2 , 2 线性无关,故 B 为正确答案。下面证明其他选项的不正确性。 取 1 =(1,0,0,0) T , 2 =(0,1,0,0)
15、 T , 3 =(0,0,1,0) T , 2 =(0,0,0,1) T , 1 = 1 ,知选项 A 与 C 错误。 对于选项 D,由于 1 , 2 , 3 线性无关,若 1 , 2 , 3 , 1 + 2 线性相关,则 1 + 2 可由 1 , 2 , 3 线性表示,而 1 可由 1 , 2 , 3 线性表示,从而 2 可由 1 , 2 , 3 线性表示,与假设矛盾,从而 D 错误。7.设 A 是 mn 矩阵,Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax=b 所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是( )(分数:2.00)A.若 Ax=0 仅有零解,则 Ax=b 有唯一解B.若 Ax=0 有非零解
16、,则 Ax=b 有无穷多个解C.若 Ax=b 有无穷多个解,则 Ax=0 仅有零解D.若 Ax=b 有无穷多个解,则 Ax=0 有非零解 解析:解析:因为不论齐次线性方程组 Ax=0 的解的情况如何,即 r(A)=n 或 r(A)n,以此均不能推得 r(A)=r(A|b),所以选项 A、B 均不正确。而由 Ax=b 有无穷多个解可知,r(A)=r(A|b)n。根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件可知,此时 Ax=0 必有非零解。所以应选 D。8.设 A 是秩为 n 一 1 的 n 阶矩阵, 1 , 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量,则 Ax=0 的通解必定是( )(分数:2.00
17、)A. 1 + 2B.k 1C.k( 1 + 2 )D.k( 1 一 2 ) 解析:解析:因为 A 是秩为 n 一 1 的 n 阶矩阵,所以 Ax=0 的基础解系只含一个非零向量。又因为 1 , 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量,所以 1 一 2 必为方程组 Ax=0 的一个非零解,即 1 一 2 是 Ax=0 的一个基础解系,所以 Ax=0 的通解必定是 k( 1 一 2 )。选 D。此题中其他选项不一定正确。因为通解中必有任意常数,所以选项 A 不正确;若 1 =0,则选项 B 不正确;若 1 =一 2 0,则 1 + 2 =0,此时选项 C 不正确。9.设三阶矩阵 A 的特征值
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