【考研类试卷】考研数学二(一元函数微分学及应用)-试卷2及答案解析.doc
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1、考研数学二(一元函数微分学及应用)-试卷 2 及答案解析(总分:60.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:5,分数:10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 f(x)二阶可导,且 f“(x)0,f“(x)0,又y=f(x+x)-f(x),则当x0 时有( )(分数:2.00)A.ydy0B.ydy0C.dyy0D.dyy03.设 f(x)在(-,+)上连续,F(x)= (分数:2.00)A.若 f(x)为偶函数,则 F(x)为奇函数B.若 f(x)为奇函数,则 F(x)为偶函数C.若 f(x)为以 T 为周期的偶函数,则
2、F(x)为以 T 为周期的奇函数D.若 f(x)为以 T 为周期的奇函数,则 F(x)为以 T 为周期的偶函数4.设 f(x)为连续的奇函数,且 (分数:2.00)A.x=0 为 f(x)的极小点B.x=0 为 f(x)的极大点C.曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线平行于 x 轴D.曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线不平行于 z 轴5.设偶函数 f(x)有连续的二阶导数,并且 f“(0)0,则 x=0( )(分数:2.00)A.不是函数的驻点B.一定是函数的极值点C.一定不是函数的极值点D.不能确定是否是函数的极值点二、填空题(总题数:2,分数:4.00)6.设函数 y=y(x)由 e
3、 2x+y -cosxy=e-1 确定,则曲线 y=y(x)在 x=0 对应点处的法线方程为 1(分数:2.00)填空项 1:_7.椭圆 2x 2 +y 2 =3 在点(1,-1)处的切线方程为 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:23,分数:46.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_9.设 f(x)在 上二阶连续可导,且 f“(0)=0,证明:存在 , (分数:2.00)_10.若函数 f(x)在0,1上二阶可微,且 f(0)=f(1),f“(x)1,证明:f“(x) (分数:2.00)_11.设 f(x)在0,1上连续,且 f(x)1,证明: (分数
4、:2.00)_12.证明:方程 x a =Inx(a0)在(0,+)内有且仅有一个根(分数:2.00)_13.设 f n (x)= ,证明:对任意自然数 n,方程 f n (x)= (分数:2.00)_14.设 f(x)在0,1上连续、单调减少且 f(x)0,证明:存在 c(0,1),使得 (分数:2.00)_15.求在 x=1 时有极大值 6,在 x=3 时有极小值 2 的三次多项式(分数:2.00)_16.求函数 f(x)= (分数:2.00)_17.设 f(x)为-2,2上连续的偶函数,且 f(x)0,F(x)= (分数:2.00)_18.求函数 f(x)= (分数:2.00)_19.f
5、(x,y)=x 3 +y 3 -3xy 的极小值(分数:2.00)_设 y=f(x)= (分数:4.00)(1).讨论 f(x)在 x=0 处的连续性;(分数:2.00)_(2).f(x)在何处取得极值?(分数:2.00)_20.设 f(x)= (分数:2.00)_21.设 g(x)在 Ea,b上连续,且 f(x)在a,b上满足 f“(x)+g(x)f“(x)f(x)=0,又 f(a)=f(b)=0,证明:f(x)在a,b上恒为零(分数:2.00)_22.求函数 y= (分数:2.00)_23.设 y=y(x)由 x 2 y 2 +y=1(y0)确定,求函数 y=y(x)的极值(分数:2.00
6、)_24.求 f(x)= (分数:2.00)_25.当 x0 时,证明: (分数:2.00)_26.当 x0 时,证明: (分数:2.00)_27.证明:当 0x1 时, (分数:2.00)_28.设 0ab (分数:2.00)_29.求 y= (分数:2.00)_考研数学二(一元函数微分学及应用)-试卷 2 答案解析(总分:60.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:5,分数:10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 f(x)二阶可导,且 f“(x)0,f“(x)0,又y=f(x+x)-f(x),则当x0 时有( )
7、(分数:2.00)A.ydy0 B.ydy0C.dyy0D.dyy0解析:解析:y=f(x+x)-f(x)=f“(c)x(xcx+x), 由 f“(x)0,f“(x)0 得 f“(c)xf“(x)x0,即ydy0,应选(A)3.设 f(x)在(-,+)上连续,F(x)= (分数:2.00)A.若 f(x)为偶函数,则 F(x)为奇函数B.若 f(x)为奇函数,则 F(x)为偶函数C.若 f(x)为以 T 为周期的偶函数,则 F(x)为以 T 为周期的奇函数 D.若 f(x)为以 T 为周期的奇函数,则 F(x)为以 T 为周期的偶函数解析:解析:取 f(x)=1-cosx,f(x)是以 2 为
8、周期的偶函数,而 F(x)=4.设 f(x)为连续的奇函数,且 (分数:2.00)A.x=0 为 f(x)的极小点B.x=0 为 f(x)的极大点C.曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线平行于 x 轴 D.曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线不平行于 z 轴解析:解析:由5.设偶函数 f(x)有连续的二阶导数,并且 f“(0)0,则 x=0( )(分数:2.00)A.不是函数的驻点B.一定是函数的极值点 C.一定不是函数的极值点D.不能确定是否是函数的极值点解析:解析:因为 f(x)为偶函数,所以 f“(x)为奇函数,从而 f“(0)=0 因为 f“(0)=0,而 f“(0)0,所以 x=
9、0 一定是 f(x)的极值点,应选(B)二、填空题(总题数:2,分数:4.00)6.设函数 y=y(x)由 e 2x+y -cosxy=e-1 确定,则曲线 y=y(x)在 x=0 对应点处的法线方程为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:当 x=0 时,y=1, e 2x+y -cosxy=e-1 两边对 x 求导得 将 x=0,y=1 代入得 =-2 故所求法线方程为 y-1= 7.椭圆 2x 2 +y 2 =3 在点(1,-1)处的切线方程为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y=2x-3)解析:解析:2x 2 +y 2 =3
10、 两边对 x 求导得 4x+2yy“=0,即 三、解答题(总题数:23,分数:46.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析:9.设 f(x)在 上二阶连续可导,且 f“(0)=0,证明:存在 , (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 F(x)=-cos2x,F“(x)=2sin2x0(0x ), 由柯西中值定理,存在(0, ),使得 由拉格朗日中值定理,存在 (0, ),使得 再由拉格朗日中值定理,存在 (0, ),使得 f“()=f“()-f“(0)=f“(), 故 )解析:10.若函数 f(x)在0,1上二阶可微,且 f(0)=f(1),f“(x)1,证明:
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