1、考研数学二（一元函数微分学及应用）-试卷 2 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)二阶可导，且 f“(x)0，f“(x)0，又y=f(x+x)-f(x)，则当x0 时有( )（分数：2.00）A.ydy0B.ydy0C.dyy0D.dyy03.设 f(x)在(-，+)上连续，F(x)= （分数：2.00）A.若 f(x)为偶函数，则 F(x)为奇函数B.若 f(x)为奇函数，则 F(x)为偶函数C.若 f(x)为以 T 为周期的偶函数，则
2、F(x)为以 T 为周期的奇函数D.若 f(x)为以 T 为周期的奇函数，则 F(x)为以 T 为周期的偶函数4.设 f(x)为连续的奇函数，且 （分数：2.00）A.x=0 为 f(x)的极小点B.x=0 为 f(x)的极大点C.曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线平行于 x 轴D.曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线不平行于 z 轴5.设偶函数 f(x)有连续的二阶导数，并且 f“(0)0，则 x=0( )（分数：2.00）A.不是函数的驻点B.一定是函数的极值点C.一定不是函数的极值点D.不能确定是否是函数的极值点二、填空题(总题数：2，分数：4.00)6.设函数 y=y(x)由 e
3、 2x+y -cosxy=e-1 确定，则曲线 y=y(x)在 x=0 对应点处的法线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_7.椭圆 2x 2 +y 2 =3 在点(1，-1)处的切线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：23，分数：46.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_9.设 f(x)在 上二阶连续可导，且 f“(0)=0，证明：存在 ， （分数：2.00）_10.若函数 f(x)在0，1上二阶可微，且 f(0)=f(1)，f“(x)1，证明：f“(x) （分数：2.00）_11.设 f(x)在0，1上连续，且 f(x)1，证明： （分数
4、：2.00）_12.证明：方程 x a =Inx(a0)在(0，+)内有且仅有一个根（分数：2.00）_13.设 f n (x)= ，证明：对任意自然数 n，方程 f n (x)= （分数：2.00）_14.设 f(x)在0，1上连续、单调减少且 f(x)0，证明：存在 c(0，1)，使得 （分数：2.00）_15.求在 x=1 时有极大值 6，在 x=3 时有极小值 2 的三次多项式（分数：2.00）_16.求函数 f(x)= （分数：2.00）_17.设 f(x)为-2，2上连续的偶函数，且 f(x)0，F(x)= （分数：2.00）_18.求函数 f(x)= （分数：2.00）_19.f
5、(x，y)=x 3 +y 3 -3xy 的极小值（分数：2.00）_设 y=f(x)= （分数：4.00）(1).讨论 f(x)在 x=0 处的连续性；（分数：2.00）_(2).f(x)在何处取得极值?（分数：2.00）_20.设 f(x)= （分数：2.00）_21.设 g(x)在 Ea，b上连续，且 f(x)在a，b上满足 f“(x)+g(x)f“(x)f(x)=0，又 f(a)=f(b)=0，证明：f(x)在a，b上恒为零（分数：2.00）_22.求函数 y= （分数：2.00）_23.设 y=y(x)由 x 2 y 2 +y=1(y0)确定，求函数 y=y(x)的极值（分数：2.00
6、）_24.求 f(x)= （分数：2.00）_25.当 x0 时，证明： （分数：2.00）_26.当 x0 时，证明： （分数：2.00）_27.证明：当 0x1 时， （分数：2.00）_28.设 0ab （分数：2.00）_29.求 y= （分数：2.00）_考研数学二（一元函数微分学及应用）-试卷 2 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)二阶可导，且 f“(x)0，f“(x)0，又y=f(x+x)-f(x)，则当x0 时有( )
7、（分数：2.00）A.ydy0 B.ydy0C.dyy0D.dyy0解析：解析：y=f(x+x)-f(x)=f“(c)x(xcx+x)， 由 f“(x)0，f“(x)0 得 f“(c)xf“(x)x0，即ydy0，应选(A)3.设 f(x)在(-，+)上连续，F(x)= （分数：2.00）A.若 f(x)为偶函数，则 F(x)为奇函数B.若 f(x)为奇函数，则 F(x)为偶函数C.若 f(x)为以 T 为周期的偶函数，则 F(x)为以 T 为周期的奇函数 D.若 f(x)为以 T 为周期的奇函数，则 F(x)为以 T 为周期的偶函数解析：解析：取 f(x)=1-cosx，f(x)是以 2 为
8、周期的偶函数，而 F(x)=4.设 f(x)为连续的奇函数，且 （分数：2.00）A.x=0 为 f(x)的极小点B.x=0 为 f(x)的极大点C.曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线平行于 x 轴 D.曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线不平行于 z 轴解析：解析：由5.设偶函数 f(x)有连续的二阶导数，并且 f“(0)0，则 x=0( )（分数：2.00）A.不是函数的驻点B.一定是函数的极值点 C.一定不是函数的极值点D.不能确定是否是函数的极值点解析：解析：因为 f(x)为偶函数，所以 f“(x)为奇函数，从而 f“(0)=0 因为 f“(0)=0，而 f“(0)0，所以 x=
9、0 一定是 f(x)的极值点，应选(B)二、填空题(总题数：2，分数：4.00)6.设函数 y=y(x)由 e 2x+y -cosxy=e-1 确定，则曲线 y=y(x)在 x=0 对应点处的法线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：当 x=0 时，y=1， e 2x+y -cosxy=e-1 两边对 x 求导得 将 x=0，y=1 代入得 =-2 故所求法线方程为 y-1= 7.椭圆 2x 2 +y 2 =3 在点(1，-1)处的切线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=2x-3）解析：解析：2x 2 +y 2 =3
10、 两边对 x 求导得 4x+2yy“=0，即 三、解答题(总题数：23，分数：46.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：9.设 f(x)在 上二阶连续可导，且 f“(0)=0，证明：存在 ， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=-cos2x，F“(x)=2sin2x0(0x )， 由柯西中值定理，存在(0， )，使得 由拉格朗日中值定理，存在 (0， )，使得 再由拉格朗日中值定理，存在 (0， )，使得 f“()=f“()-f“(0)=f“()， 故 )解析：10.若函数 f(x)在0，1上二阶可微，且 f(0)=f(1)，f“(x)1，证明：
11、f“(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 f(0)=f(x)+f“(x)(0-x)+ (0-x) 2 ，其中 介于 0 与 x 之间；f(1)=f(x)+f“(x)(1-x)+ (1-x) 2 ，其中 介于 1 与 x 之间， 两式相减得 f“(x)= 从而 )解析：11.设 f(x)在0，1上连续，且 f(x)1，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=2x- (0)=-1，(1)= 由 f(x)1 得 由零点定理，存在 c(0，1)，使得 (C)=0，即方程 至少有一个实根 因为 “(x)=2-f(x)0，所以 (x)在0，1上严格递增，故
12、)解析：12.证明：方程 x a =Inx(a0)在(0，+)内有且仅有一个根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=x 4 -lnx，f(x)在(0，+)连续， 因为 f(1)=10， =-，所以f(x)在(0，+)内至少有一个零点，即方程 x a =lnx 在(0，+)内至少有一个根 因为 f“(x)=ax a-1 - )解析：13.设 f n (x)= ，证明：对任意自然数 n，方程 f n (x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f n (x)= 得 f n (x)=1-(1-cosx) n ， 令 g(x)=f n (x)- 由零点定理，存在 c(0，
13、 )，使得 g(c)=0， 即方程 f n (x)= 内至少要有一个根 因为 g“(x)=-n(1-cosx) n-1 .sinx0(0x )， 所以 g(x)在(0， )内有唯一的零点，从而方程 f n (x)= )解析：14.设 f(x)在0，1上连续、单调减少且 f(x)0，证明：存在 c(0，1)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=(x-1) 因为 (0)=(1)=0，所以存在 c(0，1)，使得 “(c)=0， 而 “(x)= f(t)dt+(x-1)f(x)， 于是 )解析：15.求在 x=1 时有极大值 6，在 x=3 时有极小值 2 的三次多项式（分数
14、：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=ax+bx 2 +cx+d， 由 f(1)=6，f“(1)=0，f(3)=2，f“(3)=0 得 )解析：16.求函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 f(x)为偶函数，只研究 f(x)在0，+)上的最小值和最大值 令 f“(x)=2x(2-x 2 ) 当 0x 时，f“(x)0；当 x 时，f“(x)0， x= 为最大点，最大值 M= f(0)=0， =2-1=10， 故 f(x)的最小值为 m=0，最大值 M= )解析：17.设 f(x)为-2，2上连续的偶函数，且 f(x)0，F(x)= （分数：2.00）_正
15、确答案：(正确答案： )解析：18.求函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 故 f(x)在0，2上最大值为 0，最小值为 )解析：19.f(x，y)=x 3 +y 3 -3xy 的极小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：设 y=f(x)= （分数：4.00）(1).讨论 f(x)在 x=0 处的连续性；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(0+0)= )解析：(2).f(x)在何处取得极值?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，由 f“(x)=2x 2x (1+lnx)=0 得 x= ；当 x0 时，f“(x)=10 当
16、x0 时，f“(x)0；当 0x 时，f“(x)0；当 x 时，f“(x)0， 则 x=0 为极大点，极大值为 f(0)=1；x= 为极小点，极小值为 )解析：20.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 f“ - (0)f“ + (0)，所以 f(x)在 x=0 处不可导 于是 f“(x)= 令 f“(x)=0 得 x=-1，x= 当 x-1 时，f“(x)0；当-1x0 时，f“(x)0；当 0x 时，f“(x)0； 当 x 时，f“(x)0， 故 x=-1 为极小点，极小值为 f(-1)=1- ；x=0为极大点，极大值为 f(0)=1；x= 为极小点，极小值为
17、)解析：21.设 g(x)在 Ea，b上连续，且 f(x)在a，b上满足 f“(x)+g(x)f“(x)f(x)=0，又 f(a)=f(b)=0，证明：f(x)在a，b上恒为零（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x)在区间a，b上不恒为零，不妨设存在 x 0 (a，b)，使得 f(x 0 )0，则 f(x)在(a，b)内取到最大值，即存在 c(a，b)，使得 f(c)=M0，且 f“(c)=0，代入得 f“(c)=f(c)=M0，则 x=c 为极小点，矛盾，即 f(x)0，同理可证明 f(x)0，故 f(x)0(axb)解析：22.求函数 y= （分数：2.00）_正确答案：(正
18、确答案：由 得 x=-1，x=0 当 x-1 时，y“0；当-1x0 时，y“0；当 x0时，y“0， y=(x-1) 的单调增区间为(-，-1(0，+)，单调减区间为-1，0， x=-1 为极大值点，极大值为 y(-1)= ；x=0 的极小值点，极小值为 y(0)= 因为 =，所以曲线没有水平渐近线； 又因为 y= 为连续函数，所以 y= 没有铅直渐近线； 由 得 y=x-2为曲线的斜渐近线； 再由 )解析：23.设 y=y(x)由 x 2 y 2 +y=1(y0)确定，求函数 y=y(x)的极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x 2 y 2 +y=1 两边关于 x 求导得 2xy
19、 2 +2x 2 yy“+y“=0，解得 y“= 由 )解析：24.求 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由 f“(x)=2x-x1=0 得 x= 因为 f(0)= 所以 f(x)在0，1上的最大值为 )解析：25.当 x0 时，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 方法二 令 f(t)=lnt，f“(t)= ，由拉格朗日中值定理得 )解析：26.当 x0 时，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)= 令 f“(x)=(x-x 2 )sin 2n x=0 得 x=1，x=k(k=1，2，)， 因为当 0x1 时，f“(x)0；当
20、 x1 时，f“(x)0， 所以 x=1 时，f(x)取最大值， M=f(1)= )解析：27.证明：当 0x1 时， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 等价于-2xln(1-x)-ln(1+x)， 令 f(x)=ln(1+x)-In(1-x)-2x，f(0)=0，)解析：28.设 0ab （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)= 因为 sinxx(0x )且 cosx1，所以 f“(x)0(0x)，即 f(x)在(0， )内单调递增， 从而当 0ab 时，f(a)f(b)，即 )解析：29.求 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得 x=-1 与 x=1 为 y= 的铅直渐近线； 由 没有水平渐近线； 由 )解析：
