1、考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 1及答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.(2010年试题，3)曲线 y=x 2 与曲线 y=alnx(a0)相切，则 a=( )（分数：2.00）A.4eB.3eC.2eD.e3.(2005年试题，二)设函数 y=y(x)由参数方程 （分数：2.00）A.B.C.一 8ln2+3D.81n2+34.(2006年试题，二)设函数 g(x)可微，h(x)=e 1+g(x) ，h “ (1)=1，g “ (1)=
2、2，则 g(1)等于( )（分数：2.00）A.ln31B.一 ln31C.一 ln21D.ln215.(1999年试题，二)设 （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导D.可导6.(2006年试题，二)设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f “ (x)0,f “ (x)0，x 为自变量 x在点 x o 处的增量，y 与 dy分别为 f(x)在点 x o 处对应的增量与微分，若x0，则( )（分数：2.00）A.00，则存在 0，使得( )（分数：2.00）A.f(x)在(0，)内单调增加B.f(x)在(一 ，0)内单调减少C.对任意的 x(0，)有 f(x)
3、f(0)D.对任意的 x(一 ，0)有 f(x)f(0)9.(2003年试题，二)设函数 f(x)在(一，+)内连续，其导函数的图形如右图 123所示，则 f(x)有( ) （分数：2.00）A.一个极小值点和两个极大值点B.两个极小值点和一个极大值点C.两个极小值点和两个极大值点D.三个极小值点和一个极大值点10.(2001年试题，二)已知函数 y=f(x)在其定义域内可导，它的图形如图 124所示，则其导函数 y=f “ (x)的图形如图 1一 25所示：( ) （分数：2.00）A.B.C.D.11.(2000年试题，二)设函数 f(x)，g(x)是大于零的可导函数，且 f “ (x)g
4、(x)一 f(x)g “ (x)（分数：2.00）A.f(x)g(b)f(b)g(x)B.f(x)g(a)f(a)g(x)C.f(x)g(x)f(b)g(b)D.f(x)g(x)f(a)g(a)12.(1998年试题，二)设函数 f(x)在 x=a的某个领域内连续，且 f(x)为其极大值，则存在 0，当x(a 一 ，a+)时，必有( )（分数：2.00）A.(x一 a)f(x)-f(a)0B.(x一 a)f(x)一 f(a)0C.D.13.(1997年试题，二)已知函数 y=f(x)对一切 x满足 xf “ (x)+3xf “ (x) 2 =1一 e -x ，若 f “ (x 0 )=0(x
5、0 0)，则( )（分数：2.00）A.f(x 0 )是 f(x)的极大值B.f(x 0 )是 f(x)的极小值C.(x 0 ,f(x 2 )是曲线 y=f(x)的拐点D.f(x 0 )不是 f(x)的极值，(x 0 ,f(x 0 )也不是曲线 y=f(x)的拐点二、填空题(总题数：16，分数：32.00)14.(2012年试题，二)曲线 y=x 2 +x(x （分数：2.00）填空项 1:_15.(2010年试题，13)已知一个长方形的长 l以 2cms 的速率增加，宽 W以 3cms 的速率增加，则当l=12cm，w=5cm 时，它的对角线增加速率为 1（分数：2.00）填空项 1:_16
6、.(2009年试题，二)曲线 （分数：2.00）填空项 1:_17.(2008年试题，二)曲线 sin(xy)+ln(y一 x)=x在点(0，1)处的切线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_18.(2007年试题，二)曲线 （分数：2.00）填空项 1:_19.(2003年试题，一)设函数 y=f(x)由方程 xy+21nx=y 4 所确定，则曲线 y=f(x)在点(1，1)处的切线方程是 1.（分数：2.00）填空项 1:_20.(2001年试题，一)设函数 y=f(x)由方程 e 2x+y cos(xy)=e1所确定，则曲线)，=f(x)在点(0，1)处的法线方程为 1（分数：2.0
7、0）填空项 1:_21.(1999年试题，一)曲线 （分数：2.00）填空项 1:_22.(2010年试题，11)函数 y=ln(12x)在 x=0处的 n阶导数 y (n) (0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_23.(2009年试题，二)设 y=y(x)是由方程 xy+e y =x+1确定的隐函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_24.(2007年试题，二)设函数 （分数：2.00）填空项 1:_25.(2006年试题，一)设函数 Y=y(x)由方程 Y=1一 xe y 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_26.(1997年试题，三(2)设 y=y(x)由*所确定，求*（分
8、数：2.00）填空项 1:_27.(1997年试题，一)设 （分数：2.00）填空项 1:_28.(2005年试题，一)设 y=(1+sinx) x ，则 dy x= = 1（分数：2.00）填空项 1:_29.(2000年试题，一)设函数 y=y(x)由方程 2 xy =x+y所确定，则 dy x=0 1.（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)30.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_31.(2006年试题，21)已知曲线 l的方程为 （分数：2.00）_32.(2002年试题，三)已知曲线的极坐标方程是 r=1cos，求该曲
9、线上对应于 （分数：2.00）_33.(2000年试题，九)已知 f(x)是周期为 5的连续函数，它在 x=0的某个邻域内满足关系式 f(1+sinx)一3f(1一 sinx)=8x+a(x)，其中 a(x)是当 x0 时比 x高阶的无穷小，且 F(x)在 x=1处可导，求曲线 y=f(x)在点(6，f(6)处的切线方程（分数：2.00）_34.(2008年试题，三)设函数 y=y(x)由参数方程 确定，其中 x(t)是初值问题 的解，求（分数：2.00）_35.(2000年试题，五)求函数 f(x)=x 2 ln(1+x)在 x=0处的 n阶导数 f n (0)(n3)（分数：2.00）_3
10、6.(1999年试题，一)设函数 y=y(x)由方程 ln(x 2 +y)=x 3 y+sinx确定，则 （分数：2.00）_37.(2012年试题，三)求函数 （分数：2.00）_38.(2010年试题，15)求函数 （分数：2.00）_考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 1答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.(2010年试题，3)曲线 y=x 2 与曲线 y=alnx(a0)相切，则 a=( )（分数：2.00）A.4eB.3eC.
11、2e D.e解析：解析：设曲线 y=x 2 与曲线 y=alnx相切的切点为(x o ，y o )，则有 2x o =a. 3.(2005年试题，二)设函数 y=y(x)由参数方程 （分数：2.00）A. B.C.一 8ln2+3D.81n2+3解析：解析：由题意可知，当 x=3时，t=1，t=一 3(不合题意，舍)， 有 求得 y=y(x)在 x=3处的法线方程为 y=ln28(x一 3)令 y=0， 得法线与 x轴交点的横坐标为4.(2006年试题，二)设函数 g(x)可微，h(x)=e 1+g(x) ，h “ (1)=1，g “ (1)=2，则 g(1)等于( )（分数：2.00）A.l
12、n31B.一 ln31C.一 ln21 D.ln21解析：解析：由已知条件有 h “ (x)=e 1+g(x) g “ (x)令 x=1，得 h “ (1)=e 1+g(1) g “ (1)，即 1=e 1+g(1) .2，所以 5.(1999年试题，二)设 （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导D.可导 解析：解析：题设所给函数 f(x)是分段函数，且 f(0)=0，应分别求左、右极限及左、右导数来讨论 x=0点的连续性与可导性，由 知 f(x)在 x=0处连续；又由 6.(2006年试题，二)设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f “ (x)0,f “
13、(x)0，x 为自变量 x在点 x o 处的增量，y 与 dy分别为 f(x)在点 x o 处对应的增量与微分，若x0，则( )（分数：2.00）A.0f(x o )+f “ (x o )x(x0)，从而 f(x o +x)一 f(x o )f “ (x o )x0(x0)，所以Aydy0(Ax0)故选 A7.(2002年试题，二)设函数 f(u)可导，y=f(x 2 )当自变量 x在 x=-1处取得增量x=-01 时，相应的函数增量)，的线性主部为 01，则 f “ (1)=( )（分数：2.00）A.一 1B.01C.1D.0.5 解析：解析：由于增量的线性主部等于函数的微分，因此由题设y
14、=f(x 2 )=2xf “ (x 2 )x+o(x)，将 x=一 1，x=一 01 代入y x=-1 =一 2f “ (1)x+o(x)=02f “ (1)+0(x)=01+o(x)，所以 02f “ (1)=01f “ (1)= 8.(2004年试题，二)设函数 f(x)连续，且 f “ (0)0，则存在 0，使得( )（分数：2.00）A.f(x)在(0，)内单调增加B.f(x)在(一 ，0)内单调减少C.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0) D.对任意的 x(一 ，0)有 f(x)f(0)解析：解析：由题设 f(x)连续且 f “ (0)0，则由函数在一点可导的定义知， 由此知存在
15、 0，使得当 x(一 ，)时 9.(2003年试题，二)设函数 f(x)在(一，+)内连续，其导函数的图形如右图 123所示，则 f(x)有( ) （分数：2.00）A.一个极小值点和两个极大值点B.两个极小值点和一个极大值点C.两个极小值点和两个极大值点 D.三个极小值点和一个极大值点解析：解析：函数的极值点可能出现在驻点，即 f “ (x)的零点，或者出现在不可导点，即 f “ (x)不存在的点，因此应考查所给图形中的 f “ (x)的 3个零点，依次记为 x 1 ，x 2 ，x 3 ，及不可导点 x=0，通过分析这 4个点两侧导数的符号变化情况来确定它们是否为极值点对于 x=x 1 点，
16、当 x 1时 f“(x)0，当 xx1时 f“(x)0，所以 x2点是极小值点；对 x=0点，当 x0，当 x0时 f“(x)2点，当 x3时 f“(x)x3时 f“(x)0，所以 x=x3点是极小值点，综上，f(x)有两个极大值点和两个极小值点，选 C评注熟练应用极值的第一充分条件和第二充分条件10.(2001年试题，二)已知函数 y=f(x)在其定义域内可导，它的图形如图 124所示，则其导函数 y=f “ (x)的图形如图 1一 25所示：( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由题设所给 f(x)的图形知：x “ (x)0，因而可立即排除 A，C，当 x0时 f(x)先
17、严格单调递增然后递减，最后递增，因此其导数符号的相应变化应该是先正，再负最后再变为正，显然，只有 D符合此种情况，选 D评注熟练应用导数的几何意义11.(2000年试题，二)设函数 f(x)，g(x)是大于零的可导函数，且 f “ (x)g(x)一 f(x)g “ (x)（分数：2.00）A.f(x)g(b)f(b)g(x) B.f(x)g(a)f(a)g(x)C.f(x)g(x)f(b)g(b)D.f(x)g(x)f(a)g(a)解析：解析：根据题设，f “ (x)g(x)一 g(x)g “ (x) 因此 xa，b时 严格单调递减， 于是 又由已知 f(x)0，g(x)0，从而有 f(a)g
18、(x)f(x)g(a)及 f(x)g(b)f(b)g(x)成立，所以选 A 评注利用证明不等式的证明方法，及 12.(1998年试题，二)设函数 f(x)在 x=a的某个领域内连续，且 f(x)为其极大值，则存在 0，当x(a 一 ，a+)时，必有( )（分数：2.00）A.(x一 a)f(x)-f(a)0B.(x一 a)f(x)一 f(a)0C. D.解析：解析：由于 f(a)题函数 f(x)极大值，则当 x(a 一 ，a+)时 f(a)f(x)，即(a)一 f(x)0,又f(x)在 x=a连续则13.(1997年试题，二)已知函数 y=f(x)对一切 x满足 xf “ (x)+3xf “
19、(x) 2 =1一 e -x ，若 f “ (x 0 )=0(x 0 0)，则( )（分数：2.00）A.f(x 0 )是 f(x)的极大值B.f(x 0 )是 f(x)的极小值 C.(x 0 ,f(x 2 )是曲线 y=f(x)的拐点D.f(x 0 )不是 f(x)的极值，(x 0 ,f(x 0 )也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析：由题设 f (x 0 )=0，则 x 0 为 f(x)的驻点，将 x=x 0 代入原方程，由于 x o 0，所以 二、填空题(总题数：16，分数：32.00)14.(2012年试题，二)曲线 y=x 2 +x(x （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答
20、案：正确答案：由于 y “ =2x+1，y “ =2，曲率 ）解析：15.(2010年试题，13)已知一个长方形的长 l以 2cms 的速率增加，宽 W以 3cms 的速率增加，则当l=12cm，w=5cm 时，它的对角线增加速率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：设长方形的长 l=x(t)，宽 w=y(t)，则对角线s=s(t)= 根据题意知，在 t=t 0 时刻，x(t 0 )=12，y(t 0 )=5，且有 x “ (t 0 )=2，y “ (t 0 )=3 则 ）解析：16.(2009年试题，二)曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由
21、曲线的参数方程可得 在点(0，0)处，t=1， ）解析：17.(2008年试题，二)曲线 sin(xy)+ln(y一 x)=x在点(0，1)处的切线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：先求曲线在点(0，1)处切线的斜率，即隐函数求导，对曲线方程两边求导数得 ）解析：18.(2007年试题，二)曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：因*故斜率为*）解析：19.(2003年试题，一)设函数 y=f(x)由方程 xy+21nx=y 4 所确定，则曲线 y=f(x)在点(1，1)处的切线方程是 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确
22、答案：由题设所给方程 xy+21nx=y 4 ，两边对 x求导得 将 x=1，y=1 代入上式得 ）解析：解析：把 x=x o 代入方程求得相应的 y=y o ，然后根据隐函数的求导法则即可求出 y “ x=xo 即为切线的斜率20.(2001年试题，一)设函数 y=f(x)由方程 e 2x+y cos(xy)=e1所确定，则曲线)，=f(x)在点(0，1)处的法线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由题设，将 e 2x+y cos(xy)=e一 1两边对 x求导， 得 e 2x+y .(2+y “ +sin(xy).(y+xy “ )=0(1) 将 x=0代入原
23、方程得 y=1，再将 x=0，y=1 代入式(1)，得 y “ x=0 =一 2， 因此所求法线方程为 ）解析：21.(1999年试题，一)曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由题设，先求曲线在点(0，1)处的切线的斜率，由已知 x=0，y=1 时，t=0，由 ，知 因此 ）解析：22.(2010年试题，11)函数 y=ln(12x)在 x=0处的 n阶导数 y (n) (0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：令 y=f(x)=ln(12x)，则由麦克劳林展开式得 ）解析：23.(2009年试题，二)设 y=y(x)是由方程 xy+e y
24、=x+1确定的隐函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：对方程 xy+e y =x+1两边关于 x求导得 y+xy “ +y “ e y =1，则 对 y+xy “ +y “ e y =1再求导可得 2y “ +xy “ +(y “ ) 2 e y +y n e y =0，则 当 x=0时，由方程 xy+e y =x+1可解得 y=0所以 ）解析：24.(2007年试题，二)设函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：函数*则*观察规律得*）解析：25.(2006年试题，一)设函数 Y=y(x)由方程 Y=1一 xe y 确定，则 （分数：2.00
25、）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：令方程 y=1一 xe y 中 x=0，得 y(0)=1将方程两边对 x求导，且令 x=0，得 y “ =-e y -xe y y y ,y “ (0)=-e y(0) =-e即 ）解析：26.(1997年试题，三(2)设 y=y(x)由*所确定，求*（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由题设， 其中 而求 需将方程 2y一 ty 2 +e “ =5两边对 t求导，得 从而 所以， ）解析：27.(1997年试题，一)设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由题设， 则 ）解析：28.(2005年试题，一)设 y=
26、(1+sinx) x ，则 dy x= = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：根据题意有 ）解析：29.(2000年试题，一)设函数 y=y(x)由方程 2 xy =x+y所确定，则 dy x=0 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由已知方程 2 xy =x+y两边对 x求导得，2 xy .ln2.y+xy “ =1+y “ (1)在原方程中令 x=0，则 y=1将 x=0，y=l 代入(1)式，则 ln2=1+y “ ，即 y “ x=0 =ln2一 1，所以 dy x=0 =(1n21)dx评注先将 x=x o 代入原方程，求得相应的 y=
27、y o 对隐函数进行求导后将 x=x o ，y=y o 代入即可求得 y “ x=x o ）解析：三、解答题(总题数：9，分数：18.00)30.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：31.(2006年试题，21)已知曲线 l的方程为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)先求 由已知 x=t 2 +1 代入 y得 y= ，于是 所以曲线L是凸的()设 L上切点(x o ，y o )处的切线方程是 令 x=一 1，y=0，则有 再令 t o = 得 即 t o 2 +t o 一 2=0解得 t o =1，t o =一 2(不合题意)所以切点是(2，3
28、)，相应的切线方程是 y=3+(x一 2)，即 y=x+1()切点为(x o ，y o )的切线与 L及 x轴所围成的平面图形如图 122所示，则所求平面图形的面积为 )解析：解析：将参数方程转化为直角坐标方程求解32.(2002年试题，三)已知曲线的极坐标方程是 r=1cos，求该曲线上对应于 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，曲线极坐标方程为 r=1一 cos，则曲线的直角坐标参数方程为 当时， 该点切线斜率为 因此，该点切线方程为 化简得 该点法线方程为 化简得 )解析：解析：极坐标与直角坐标的转化公式为33.(2000年试题，九)已知 f(x)是周期为 5的连续函数，它
29、在 x=0的某个邻域内满足关系式 f(1+sinx)一3f(1一 sinx)=8x+a(x)，其中 a(x)是当 x0 时比 x高阶的无穷小，且 F(x)在 x=1处可导，求曲线 y=f(x)在点(6，f(6)处的切线方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：题设要求的是切线方程，因此只需知道切点坐标及该点处切线斜率即可，由已知f(x)是周期为 5的连续函数，因而求 f “ (6)及 f(6)就等价于求 f “ (1)及 f(1)，由关系式 再根据导数的定义，有 其中 f(1)可由下述步骤确定：在原关系式中令 x0 并结合 f(x)的连续性可得 f(1)一3f(1)=0，即 f(1)=0，
30、则由 )解析：34.(2008年试题，三)设函数 y=y(x)由参数方程 确定，其中 x(t)是初值问题 的解，求（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 x=x(t)满足 可得 e x dx=2tdt等式两边积分得 e x =t 2 +C，即x=ln(t 2 +C)又 x x=0 =0，则 C=1，x=In(t 2 +1)所以 则 又 则 )解析：35.(2000年试题，五)求函数 f(x)=x 2 ln(1+x)在 x=0处的 n阶导数 f n (0)(n3)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：求函数的高阶导数在 0点的值，可利用麦克劳林展开式 即只需将 f(x)展开成麦克劳林级
31、数，就可得到相应的高阶导数在 0点的值，由题设 f(x)=x 2 In(1+x)，则 由此知 ，所以 )解析：解析：本题还可直接由莱布尼兹公式（uv） (n) =u (n) v (0) +C n 1 v +C n 2 u (n-2) v n +u (0) v (n) 及 而求，在莱布尼兹公式中，令 u=In(1+x)，v=x 2 ，则 因此 36.(1999年试题，一)设函数 y=y(x)由方程 ln(x 2 +y)=x 3 y+sinx确定，则 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 x=0代入题设方程可得 y=1，然后由隐函数求导法则，将原方程两边对 x求导，得 )解析：37.(2012年试题，三)求函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 f x “ (x，y)=(1 一 x 2 ) 令 f x “ =0,f y “ =0，得函数 f(x，y)的驻点为(1，0)，(一 1，0) 将(1，0)代入上面的 A，B，C，中，得 所以(1，0)是函数的极大值点，极大值为 将(一 1，0)代入 ，B 2 一 AC=一 2e -1 )解析：38.(2010年试题，15)求函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 )解析：
