1、考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 2及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.(1987年)设 f()在 a 处可导，则 （分数：2.00）A.f(a)B.2f(a)C.0D.f(2a)3.(1988年)f() （分数：2.00）A.(B.(1，0)C.(D.(1，0)4.(1988年)若函数 yf()，有 f( 0 ) （分数：2.00）A.与 等价无穷小B.与 同阶无穷小C.比 低阶的无穷小D.比 高阶的无穷小5.(1988年)设函数 yf
2、()是微分方程 y2y4y0 的一个解，且 f( 0 )0，f( 0 )0，则 f()在 0 处 【 】（分数：2.00）A.有极大值B.有极小值C.某邻域内单调增加D.某邻域内单调减少6.(1989年)当 0 时，曲线 ysin （分数：2.00）A.有且仅有水平渐近线B.有且仅有铅直渐近线C.既有水平渐近线，也有铅直渐近线D.既无水平渐近线，也无铅直渐近线7.(1989年)若 3a 2 5b0，则方程 5 2a 3 3b4c0 【 】（分数：2.00）A.无实根B.有唯一实根C.有三个不同实根D.有五个不同实根8.(1989年)设两函数 f()和 g()都在 a 处取得极大值，则函数 F(
3、)f()g()在 a 处 【 】（分数：2.00）A.必取极大值B.必取极小值C.不可能取极值D.是否取极值不能确定9.(1989年)设 f()在 a 的某个邻域内有定义，则 f()在 a 处可导的一个充分条件是 【 】（分数：2.00）A.B.C.D.10.(1990年)已知函数 f()具有任意阶导数，且 f()f() 2 ，则当 n为大于 2的正整数时，f()的 n阶导数 f (n) ()是 【 】（分数：2.00）A.n!f() n+1B.nf() n+1C.f() 2nD.n!f() 2n11.(1990年)设 F() （分数：2.00）A.连续点B.第一类间断点C.第二类间断点D.连
4、续点或间断点不能由此确定12.(1991年)若曲线 y 2 ab 和 2y1y 3 在点(1，1)处相切，其中 a，b 是常数则 【 】（分数：2.00）A.a0，b2B.a1，b3C.a3，b1D.a1，b113.(1991年)设函数 f()在(，)内有定义， 0 0 是函数 f()的极大点，则 【 】（分数：2.00）A. 0 必是 f()的驻点B. 0 必是f()的极小点C. 0 必是f()的极小点D.对一切 都有 f()f( 0 )二、填空题(总题数：10，分数：20.00)14.(1987年)设 yIn(1a)，则 y 1，y 2（分数：2.00）填空项 1:_15.(1987年)曲
5、线 yarctan 在横坐标为 1的点处的切线方程是 1；法线方程是 2（分数：2.00）填空项 1:_16.(1988年)设 f(t) （分数：2.00）填空项 1:_17.(1988年) （分数：2.00）填空项 1:_18.(1989年)设 f()(1)(2)(n)，则 f(0) 1（分数：2.00）填空项 1:_19.(1989年)设 tanyy，则 dy 1（分数：2.00）填空项 1:_20.(1990年)曲线 上对应于 t （分数：2.00）填空项 1:_21.(1990年)设 y （分数：2.00）填空项 1:_22.(1991年)设 yln(13 - )，则 dy 1（分数：
6、2.00）填空项 1:_23.(1991年)曲线 y （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_25.(1987年)设 （分数：2.00）_26.(1987年)求 （分数：2.00）_27.(1987年)(1)设 f()在a，b内可导，且 f()0，则 f()在(a，b)内单调增加 (2)设 g()在 c 处二阶可导，且 g(c)0，g(c)0，则 g(c)为 g()的一个极大值（分数：2.00）_28.(1988年)设 y1e y ，求 （分数：2.00）_29.(1988年)将长为 a的
7、一段铁丝截成两段，用一段围成正方形，另一段围成圆，为使正方形与圆的面积之和最小，问两段铁丝长各为多少?（分数：2.00）_30.(1988年)求函数 y （分数：2.00）_31.(1989年)已知 y （分数：2.00）_32.(1989年)已知 （分数：2.00）_考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 2答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.(1987年)设 f()在 a 处可导，则 （分数：2.00）A.f(a)B.2f(a) C.0
8、D.f(2a)解析：解析：3.(1988年)f() （分数：2.00）A.( B.(1，0)C.(D.(1，0)解析：解析：f() 2 6，f(0)6，(0，1)点切线方程为 y16，令 y0 得 即此切线与 轴的交点坐标为( 4.(1988年)若函数 yf()，有 f( 0 ) （分数：2.00）A.与 等价无穷小B.与 同阶无穷小 C.比 低阶的无穷小D.比 高阶的无穷小解析：解析：dyf( 0 ) ， 5.(1988年)设函数 yf()是微分方程 y2y4y0 的一个解，且 f( 0 )0，f( 0 )0，则 f()在 0 处 【 】（分数：2.00）A.有极大值 B.有极小值C.某邻域
9、内单调增加D.某邻域内单调减少解析：解析：由题设知 f()2f()4f()0，令 0 得 f( 0 )一 2f( 0 )4f( 0 )0，即 f( 0 )4f( 0 )0 又 f( 0 )0，则 f( 0 )0故 f()在 0 处取得极大值6.(1989年)当 0 时，曲线 ysin （分数：2.00）A.有且仅有水平渐近线 B.有且仅有铅直渐近线C.既有水平渐近线，也有铅直渐近线D.既无水平渐近线，也无铅直渐近线解析：解析：由于 又7.(1989年)若 3a 2 5b0，则方程 5 2a 3 3b4c0 【 】（分数：2.00）A.无实根B.有唯一实根 C.有三个不同实根D.有五个不同实根解
10、析：解析：由于 5 2a 3 3b4c0 为 5次方程，则该方程至少有一个实根(奇次方程至少有一实根) 令 f() 5 2a 3 3b4c，f()5 4 6a 2 3b 而(6a) 2 60b12(3a 2 5b)0，则 f()0 因此，原方程最多一个实根，故原方程有唯一实根8.(1989年)设两函数 f()和 g()都在 a 处取得极大值，则函数 F()f()g()在 a 处 【 】（分数：2.00）A.必取极大值B.必取极小值C.不可能取极值D.是否取极值不能确定 解析：解析：本题的关键在于由题设可知在 a 的某邻域内有 f(a)f()，g(a)g()，由此能否得到 g(a).f(a)g(
11、)f()或 g(a)f(a)g()f()，这在一般情况下是得不到此结论的 若取 f()(a) 2 ，g()(a) 2 ，显然 f()和 g()在 a 处取极大值 0，但 f()g()(a) 4 在 a 处取极小值则 A、C 都不正确：若取 f()1(a) 2 ，g()1(a) 2 ，则 f()和 g()都有极大值 1，而 f()g()1(a) 2 2 在 a 仍有极大值 1，则 B也不正确，从而只有 D对9.(1989年)设 f()在 a 的某个邻域内有定义，则 f()在 a 处可导的一个充分条件是 【 】（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由于 h时 0 + ，则 存在只能得出
12、f()在 a点的右导数存在，不能得出a点导数存在，B、C 明显不对，因为 f()在 a点如果没定义，B、C 中的两个极限都可能存在，但函数若在 a点无定义，则在该点肯定不可导 又 10.(1990年)已知函数 f()具有任意阶导数，且 f()f() 2 ，则当 n为大于 2的正整数时，f()的 n阶导数 f (n) ()是 【 】（分数：2.00）A.n!f() n+1 B.nf() n+1C.f() 2nD.n!f() 2n解析：解析：等式 f()f() 2 两边对 求导得 f()2f()f()2f() 3 f()23f() 2 f()23f() 4 f (n) ()f() n+1 n!11
13、.(1990年)设 F() （分数：2.00）A.连续点B.第一类间断点 C.第二类间断点D.连续点或间断点不能由此确定解析：解析：由于 f(0)0，f()在 0 处可导，则 而 F(0)f(0)0，则极限12.(1991年)若曲线 y 2 ab 和 2y1y 3 在点(1，1)处相切，其中 a，b 是常数则 【 】（分数：2.00）A.a0，b2B.a1，b3C.a3，b1D.a1，b1 解析：解析：由于曲线 y 2 ab 和 2y1y 3 在点(1，1)处相切，则在点(1，1)处两曲线切线斜率相等，且两曲线同时过点(1，1) y2a y 1 2a 2yy 3 3y 2 y，y 1 1 则
14、2a1，a1 又11ab11bb，b1 所以应选 D13.(1991年)设函数 f()在(，)内有定义， 0 0 是函数 f()的极大点，则 【 】（分数：2.00）A. 0 必是 f()的驻点B. 0 必是f()的极小点 C. 0 必是f()的极小点D.对一切 都有 f()f( 0 )解析：解析：排除法f() 0 ，显然 f()在 0 取极大值，但 f( 0 )不存在，则 0 不是 f()的驻点，从而 A项不对又f() 0 ，显然f()只有唯一极小值点 0 ，又 0 0 则 0 0 ，从而 0 不是f()的极小值，则 C项也不对D 项是明显不对，由于极值是一个局部性质，不能保证对一切 有 f
15、()f( 0 )，而只能保证在 0 某邻域内有 f()f( 0 )，所以应选 B二、填空题(总题数：10，分数：20.00)14.(1987年)设 yIn(1a)，则 y 1，y 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由 yln(1a)知，y15.(1987年)曲线 yarctan 在横坐标为 1的点处的切线方程是 1；法线方程是 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析： ，则 1 处切线方程为 y (1)，法线方程为 y16.(1988年)设 f(t) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(12t)e
16、2t ）解析：解析：f(t) 17.(1988年) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：18.(1989年)设 f()(1)(2)(n)，则 f(0) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：n!）解析：解析：f()(1)(2)(n)(2)(3)(n)(1)(2)(n1) f(0)n!19.(1989年)设 tanyy，则 dy 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：等式 tanyy 两边求微分得 sec 2 ydyddy 则 dy 20.(1990年)曲线 上对应于 t （分数：2.00）填空项 1:_
17、 （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 则 t 处法线方程为21.(1990年)设 y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由复合函数求导法知 y22.(1991年)设 yln(13 - )，则 dy 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：23.(1991年)曲线 y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 令 y0 得 ，且当 时，y0，则曲线 y三、解答题(总题数：9，分数：18.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：25.(1987年)
18、设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.(1987年)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.(1987年)(1)设 f()在a，b内可导，且 f()0，则 f()在(a，b)内单调增加 (2)设 g()在 c 处二阶可导，且 g(c)0，g(c)0，则 g(c)为 g()的一个极大值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 a 1 2 b，由拉格朗日中值定理知：f( 2 )f( 1 )f()( 2 1 )，由 f()0 知 f( 2 )f( 1 )，则 f()在(a，b)上单调增 (2)由于 g(c) 0，根据极限的保号性知，存在 c的某
19、个去心邻域，使 )解析：28.(1988年)设 y1e y ，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：ye y e y (yy) 令 0，由 y1e y 知 y1，将0，y1 代入上式得 y 0 1， 将 e y y1 代入 ye y e y (yy) 得ye y (y1)(yy) 此式两边对 求导得 ye y (yy)y(yy)(y1)(2yy) 将 0，y1，y(0)1 代入上式得 y(0)2)解析：29.(1988年)将长为 a的一段铁丝截成两段，用一段围成正方形，另一段围成圆，为使正方形与圆的面积之和最小，问两段铁丝长各为多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设围成圆的铁丝长为 ，则围成正方形的一段铁丝长为 a，圆与正方形面积之和为 y 令 y0，得 ，又 y 0，则 y在 )解析：30.(1988年)求函数 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 令 y0 得 1，令 y0，得 0，2 函数在(，1)上单调增，在(1，)上单调减在 1 取极大值 2，其图形(见图 25)在(，0)(2，)上是凹的，在(0，2)上是凸的，(0， )和(2， )为曲线拐点 0，则该曲线有水平渐近线 y0)解析：31.(1989年)已知 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.(1989年)已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
