1、考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 5及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.(1996年)设当 0 时，e (a 2 b1)是比 2 高阶的无穷小，则 【 】（分数：2.00）A.aB.a1，b1C.aD.a1，b13.(1996年)设函数 f()在区间(，)内有定义，若当 (，)时，恒有f() 2 ，则 0 必是 f()的 【 】（分数：2.00）A.间断点B.连续而不可导的点C.可导的点，且 f(0)0D.可导的点，且 f(0)04.(1
2、996年)设 f()处处可导，则 【 】（分数：2.00）A.B.C.D.5.(1996年)在区间(，)内，方程 （分数：2.00）A.无实根B.有且仅有一个实根C.有且仅有两个实根D.有无穷多个实根6.(1997年)已知 yf()对一切的 满足 f()3f() 2 1e - ，若 f( 0 )0( 0 0)，则 【 】（分数：2.00）A.f( 0 )是 f()的极大值B.f( 0 )是 f()的极小值C.( 0 ，f( 0 )是曲线 yf()的拐点D.f( 0 )不是 f()的极值，( 0 ，f( 0 )也不是曲线 yf()的拐点7.(1998年)函数 f()( 2 2) 3 的不可导点的
3、个数为 【 】（分数：2.00）A.0B.1C.2D.38.(1998年)设函数 f()在 a 的某个邻域内连续，且 f(a)为其极大值，则存在 0，当(a，a)时，必有 【 】（分数：2.00）A.(a)f()f(a)0B.(a)f()f(a)0C.D.9.(1999年)设 f() （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导D.可导10.(2000年)设函数 f()满足关系式 f()f() 2 ，且 f(0)0，则 【 】（分数：2.00）A.f(0)是 f()的极大值B.f(0)是 f()的极小值C.点(0，f(0)是曲线 yf()的拐点D.f(0)不是 f(
4、)的极值，点(0，f(0)也不是曲线 yf()的拐点11.(2000年)设函数 f()，g()是大于零的可导函数，且 f()g()f()g()0，则当ab 时有 【 】（分数：2.00）A.f()g(b)f(b)g()B.f()g(a)f(a)g()C.f()g()g(b)f(b)D.f()g()f(a)g(a)二、填空题(总题数：8，分数：16.00)12.(1998年) （分数：2.00）填空项 1:_13.(1998年)曲线 yln(e （分数：2.00）填空项 1:_14.(1999年)曲线 （分数：2.00）填空项 1:_15.(1999年)设函数 yy()由方程 ln( 2 y)
5、3 ysin 眦确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_16.(2000年) （分数：2.00）填空项 1:_17.(2000年)设函数 yy()由方程 2 y y 所确定，则 dy 0 1（分数：2.00）填空项 1:_18.(2000年)曲线 y(21) （分数：2.00）填空项 1:_19.(2001年)设函数 yf()由方程 e 2y cos(y)e1 所确定，则曲线 yf()在点(0，1)处的法线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_21.(1991年)如图 21
6、 所示，A 和 D分别是曲线 ye 和 ye 2 上的点，AB 和 DC均垂直于 轴，且AB：DC2：1，AB1求点 B和 C的横坐标，使梯形 ABCD的面积最大 （分数：2.00）_22.(1992年) （分数：2.00）_23.(1992年)设函数 yy()由方程 ye y 1 所确定，求 （分数：2.00）_24.(1992年)已知 f()0，f(0)0，试证：对任意的两正数 1 和 2 ，恒有 f( 1 2 )f( 1 )f( 2 )成立（分数：2.00）_25.(1993年)设 ysinf( 2 )，其中 f具有二阶导数，求 （分数：2.00）_26.(1993年)作半径为 r的球的
7、外切正圆锥，问此圆锥的高 h为何值时，其体积 V最小，并求出该最小值（分数：2.00）_27.(1993年)设 0，常数 ae，证明：(a) a a a （分数：2.00）_28.(1994年)设 yf(y)，其中 f具有二阶导数，且其一阶导数不等于 1，求 （分数：2.00）_29.(1994年)设当 0 时，方程 k （分数：2.00）_30.(1994年)设 y （分数：2.00）_31.(1995年)设函数 yy()由方程 e f(y) e y 确定，其中 f具有二阶导数，且 f1，求 （分数：2.00）_32.(1995年)设 f() （分数：2.00）_考研数学二（一元函数微分学）
8、历年真题试卷汇编 5答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.(1996年)设当 0 时，e (a 2 b1)是比 2 高阶的无穷小，则 【 】（分数：2.00）A.a B.a1，b1C.aD.a1，b1解析：解析：3.(1996年)设函数 f()在区间(，)内有定义，若当 (，)时，恒有f() 2 ，则 0 必是 f()的 【 】（分数：2.00）A.间断点B.连续而不可导的点C.可导的点，且 f(0)0 D.可导的点，且 f(0)0解析：解析：由f
9、() 2 知，f(0)0 4.(1996年)设 f()处处可导，则 【 】（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：令 f()，则 f()， f()，但 f()1，可见 A、C 都不正确 令 f()e ，则 ，但 5.(1996年)在区间(，)内，方程 （分数：2.00）A.无实根B.有且仅有一个实根C.有且仅有两个实根 D.有无穷多个实根解析：解析：令 f() cos，显然，f()是偶函数所以，只要考虑 f()0 在(0，)上的实根情况，当 0 时 则 f()在(0， )上严格单调增，因此 f()0 在(0， )上有唯一实根，而当 6.(1997年)已知 yf()对一切的 满足 f()
10、3f() 2 1e - ，若 f( 0 )0( 0 0)，则 【 】（分数：2.00）A.f( 0 )是 f()的极大值B.f( 0 )是 f()的极小值 C.( 0 ，f( 0 )是曲线 yf()的拐点D.f( 0 )不是 f()的极值，( 0 ，f( 0 )也不是曲线 yf()的拐点解析：解析：由 f( 0 )0 知 0 为 f()的驻点将 0 代入 f()33f() 2 1e 得 7.(1998年)函数 f()( 2 2) 3 的不可导点的个数为 【 】（分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析：由导数定义知在 0 不可导，而 在 0 可导，而 f()( 2 2) 3 (2)
11、(1)11，则 f()在 0 和 1 不可导，则应选 C8.(1998年)设函数 f()在 a 的某个邻域内连续，且 f(a)为其极大值，则存在 0，当(a，a)时，必有 【 】（分数：2.00）A.(a)f()f(a)0B.(a)f()f(a)0C. D.解析：解析：由于 f()在 a 取得极大值，则存在 0，使得当 (a，a)时 f()f(a) 即 f()(a)0 从而有 0 (a) 又因为 f()在 a 连续，则9.(1999年)设 f() （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导D.可导 解析：解析：10.(2000年)设函数 f()满足关系式 f()f
12、() 2 ，且 f(0)0，则 【 】（分数：2.00）A.f(0)是 f()的极大值B.f(0)是 f()的极小值C.点(0，f(0)是曲线 yf()的拐点 D.f(0)不是 f()的极值，点(0，f(0)也不是曲线 yf()的拐点解析：解析：原式两端对 求导得 f()2f()f()1 令 0 得 f(0)10，又f(0)0 则，点(0，f(0)是曲线 yf()的拐点11.(2000年)设函数 f()，g()是大于零的可导函数，且 f()g()f()g()0，则当ab 时有 【 】（分数：2.00）A.f()g(b)f(b)g() B.f()g(a)f(a)g()C.f()g()g(b)f(
13、b)D.f()g()f(a)g(a)解析：解析：由 f()g()f()g()0，ab 可知 ，ab 则 在(a，b)内单调减，从而应有二、填空题(总题数：8，分数：16.00)12.(1998年) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由洛必达法则知13.(1998年)曲线 yln(e （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y*）解析：解析：14.(1999年)曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y210）解析：解析： 当 0 时，t0，故15.(1999年)设函数 yy()由方程 ln( 2 y) 3 ysin 眦
14、确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：原方程两边对 求导得 16.(2000年) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：17.(2000年)设函数 yy()由方程 2 y y 所确定，则 dy 0 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(ln21)d）解析：解析：等式 2 y y 两端求微分得 2 y ln2(yddy)ddy 由原式可知当 0 时，y1，将 0，y1 代入上式得 dy 0 (ln21)d18.(2000年)曲线 y(21) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：
15、y21）解析：解析：19.(2001年)设函数 yf()由方程 e 2y cos(y)e1 所确定，则曲线 yf()在点(0，1)处的法线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2105 2y20）解析：解析：方程 e 2y cos(y)e1 两边对 求导得 (2y)e 2y sin(y)(yy)0 将 0，y1 代入上式得 y2 则 yf()在(0，1)处的法线方程为 y1 三、解答题(总题数：13，分数：26.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：21.(1991年)如图 21 所示，A 和 D分别是曲线 ye 和 y
16、e 2 上的点，AB 和 DC均垂直于 轴，且AB：DC2：1，AB1求点 B和 C的横坐标，使梯形 ABCD的面积最大 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 B和 C的横坐标分别为 1 和 ，则 得 1 ln22 BC 1 3ln2 (0) 梯形 ABCD的面积 S (3ln2)e -2 S (362ln2)e -2 令 S0，得 ln2 且当 ln2时，S0；当 ln2时，S0，所以 S在 ln2取极大值，又驻点唯一，故 ln2是最大值点，当 ln2， 1 )解析：22.(1992年) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原式 )解析：23.(1992年)设函数 yy()由方
17、程 ye y 1 所确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程 ye y 1 两边对 求导得 ye y e y y0，由原式知 0时，y1，将 0，y1 代入得 y 0 e，等式 ye y e y y0 两边对 求导得 ye y ye y y(e y y)0 将 0，y1，y(0)e 代入上式得 y(0)2e 2 )解析：24.(1992年)已知 f()0，f(0)0，试证：对任意的两正数 1 和 2 ，恒有 f( 1 2 )f( 1 )f( 2 )成立（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不妨设 1 2 ，由拉格朗日中值定理可知 f( 1 )f(0)f(c 1 ) 1 (0
18、c 1 1 ) f( 1 2 )f( 2 )f(c 2 ) 1 ( 2 c 2 1 2 ) 又 f()0，则 f()单调减少，故 f(c 2 )f(c 1 )，而 1 0 则 f( 1 2 )f( 2 )f( 1 )f(0) 又 f(0)0，则 f( 1 2 )f( 1 )f( 2 )解析：25.(1993年)设 ysinf( 2 )，其中 f具有二阶导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.(1993年)作半径为 r的球的外切正圆锥，问此圆锥的高 h为何值时，其体积 V最小，并求出该最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设圆锥底面圆半径为 R，如图 26
19、所示SCh，OCODr，BCR 于是圆锥体积为 V(h) (2rh) V(A) 令 V(h)0 得 h4r，h0 舍去 由于圆锥的最小体积一定存在，且 h4r 是 V(h)在(2r，)内的唯一驻点，所以当 h4r 时 V取最小值 V(4r) )解析：27.(1993年)设 0，常数 ae，证明：(a) a a a （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 yln 为单调增函数，所以欲证(a) a a a ，只需证 aln(a)(a)lna 令 f()(a)lnaaln(a) f()lna ，由于 ae，则 lna1，又 0，则 )解析：28.(1994年)设 yf(y)，其中 f具有二阶
20、导数，且其一阶导数不等于 1，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：等式 yf(y)两边对 求导，得 )解析：29.(1994年)设当 0 时，方程 k （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f()k 1，则 f()k ，f() 0 1)当k0 时，f()0，故 f()递减，又 f() 当 k0 时， f()，当 k0 时，f()1 当 k0 时，原方程在(0，)内有且仅有一个解 2)当 k0 时，令 f()0，得 ，且为极小值点，又 f()0，则 f()单增，而 f 0，则在(0， )上f()0，f()单调减，在( ，)上 F()0，f()单调增，又 f()，f()，所以当且
21、仅当 f( )0 时，原方程有且仅有一个解 即 时， 原方程有且仅有一个解由上式解得 k 而当 k 时，原方程或无解，或有两个解 综上所述，当 k)解析：30.(1994年)设 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：定义域(，0)(0，) y1 ，令 y0 得驻点 2，不可导点 0，在(，0)和(2，)上 y0，则函数单调增，在(0，2)上 y0，函数单调减，在2 取得极小值 y3 y 0，则在区间(，0)和(0，)上都是凹的，无拐点 又，则有垂直渐近线 0 则有斜渐近线 y 令 y0 得 函数图形见图 27 所示 )解析：31.(1995年)设函数 yy()由方程 e f(y) e y 确定，其中 f具有二阶导数，且 f1，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程两边取对数得 lnf(y)y 上式两边对 求导得 f(y)yy 从而 )解析：32.(1995年)设 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
