1、考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 7及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.(2011年)函数 f()ln(1)(2)(3)的驻点个数为 【 】（分数：2.00）A.0B.1C.2D.33.(2012年)曲线 y （分数：2.00）A.0B.1C.2D.34.(2012年)设函数 f()(e 1)(e 2 2)(e n n)，其中，n 为正整数，则 f(0) 【 】（分数：2.00）A.(1) n-1 (n1)!B.(1) n (n1)!C.
2、(1) n-1 n!D.(1) n n!5.(2013年)设函数 yf()由方程 cos(y)lny1 确定，则 （分数：2.00）A.2B.1C.1D.26.(2014年)下列曲线中有渐近线的是 【 】（分数：2.00）A.ysinB.y 2 sinC.ysinD.y 2 sin 7.(2014年)设函数 f()具有 2阶导数，g()f(0)(1)f(1)，则在区间0，1上 【 】（分数：2.00）A.当 f()0 时，f()g()B.当 f()0 时，f()g()C.当 f()0 时，f()g()D.当 f()0 时，f()g()8.(2014年)曲线 （分数：2.00）A.B.C.D.9
3、.(2014年)设函数 f()arctan，若 f()f()，则 （分数：2.00）A.1B.C.D.10.(2015年)设函数 f() （分数：2.00）A.1B.01C.2D.0211.(2015年)设函数 f()在(，)内连续，其 2阶导函数 f()的图形如图所示，则曲线yf()的拐点个数为 【 】 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.3二、填空题(总题数：8，分数：16.00)12.(2010年)已知一个长方形的长 l以 2cms 的速率增加，宽 以 3cms 的速率增加，则当l12cm，5cm 时，它的对角线增加的速率为 1（分数：2.00）填空项 1:_13.(2012年)设
4、yy()是由方程 2 y1e y 所确定的隐函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.(2012年)曲线 y 2 (0)上曲率为 （分数：2.00）填空项 1:_15.(2013年)曲线 （分数：2.00）填空项 1:_16.(2014年)设 f()是周期为 4的可导奇函数，且 f()2(1)，0，2，则 f(7) 1（分数：2.00）填空项 1:_17.(2014年)曲线 L的极坐标方程是 r，则 L在点(r，) （分数：2.00）填空项 1:_18.(2015年)设 （分数：2.00）填空项 1:_19.(2015年)函数 f() 2 2 在 0 处的 n阶导数 f (n) (0)
5、1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_21.(2006年)证明：当 0ab 时，bsinb2cosb6asina2cosaa（分数：2.00）_22.(2007年)设函数 f()，g()在a，b上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)g(a)，f(b)g(b)，证明：存在 (a，b)，使得 f()g()（分数：2.00）_23.(2008年)设函数 yy()由参数方程 确定，其中 (t)是初值问题 的解，求 （分数：2.00）_24.(2009年)()证明拉格朗
6、日中值定理：若函数 f()在a，b上连续，在(a，b)内可导，则存在(a，b)，使得 f(b)f(a)f()(ba) ()证明：若函数 f()在 0 处连续，在(0，)(0)内可导，且 （分数：2.00）_25.(2010年)求函数 f() （分数：2.00）_26.(2010年)设函数 f()在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内可导，且 f(0)0，f(1) 证明：存在 (0， )，( （分数：2.00）_27.(2011年)设函数 yy()由参数方程 （分数：2.00）_28.(2012年)证明：ln （分数：2.00）_29.(2013年)设奇函数 f()在1，1上具有 2阶导数，
7、且 f(1)1证明： ()存在 (0，1)，使得 f()1； ()存在 (1，1)，使得 f()f()1（分数：2.00）_30.(2014年)已知函数 yy()满足微分方程 2 y 2 y1y，且 y(2)0，求 y()的极大值与极小值（分数：2.00）_31.(2015年)已知函数 f() （分数：2.00）_32.(2015年)已知函数 f()在区间，)上具有 2阶导数，f(a)0，f()0，f()0设ba，曲线 yf()在点(b，f(b)处的切线与 轴的交点是( 0 ，0)，证明 a 0 b（分数：2.00）_考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 7答案解析(总分：64.00，
8、做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.(2011年)函数 f()ln(1)(2)(3)的驻点个数为 【 】（分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析： 3.(2012年)曲线 y （分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析：由于 1，则该曲线有水平渐近线 y1 又4.(2012年)设函数 f()(e 1)(e 2 2)(e n n)，其中，n 为正整数，则 f(0) 【 】（分数：2.00）A.(1) n-1 (n1)! B.(1) n (n1)!C.
9、(1) n-1 n!D.(1) n n!解析：解析：记 g()(e 2 2)(e 3 3)(e n n)，则 f()(e 1)g() f()e g()(e 1)g() 则 f(0)g(0)(1)(2)(n1)(1) n-1 (n1)! 故应选 A5.(2013年)设函数 yf()由方程 cos(y)lny1 确定，则 （分数：2.00）A.2 B.1C.1D.2解析：解析：由方程 cos(y)lny1 知，当 0 时，y1，即 f(0)1，以上方程两端对 求导得 sin(y)(yy) 10 将 0，y1 代入上式得 y 0 1，即 f(0)1 6.(2014年)下列曲线中有渐近线的是 【 】（
10、分数：2.00）A.ysinB.y 2 sinC.ysin D.y 2 sin 解析：解析： 所以曲线 ysin7.(2014年)设函数 f()具有 2阶导数，g()f(0)(1)f(1)，则在区间0，1上 【 】（分数：2.00）A.当 f()0 时，f()g()B.当 f()0 时，f()g()C.当 f()0 时，f()g()D.当 f()0 时，f()g() 解析：解析：由于 g(0)f(0)，g(1)f(1)则直线 yf(0)(1)f(1) 过点(0，f(0)和(1，f(1)，当 f()0 时，曲线 yf()在区间0，1上是凹的，曲线 yf()应位于过两个端点(0，f(0)和(1，f
11、(1)的弦 yf(0)(1)f(1) 的下方，即 f()g() 故应选(D)8.(2014年)曲线 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：9.(2014年)设函数 f()arctan，若 f()f()，则 （分数：2.00）A.1B.C.D. 解析：解析：由 f()arctan，及 f()f()得10.(2015年)设函数 f() （分数：2.00）A.1 B.01C.2D.02解析：解析： 该极限存在当且仅当 a10，即 a1此时，a1，f + (0)0，f(0)0 当 0 时，f() 1 1 cos 11.(2015年)设函数 f()在(，)内连续，其 2阶导函数 f()的图形如
12、图所示，则曲线yf()的拐点个数为 【 】 （分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析：由下图知 f()f( 2 )0，f(0)不存在，其余点上二阶导数 f()存在且非零，则曲线 yf()最多三个拐点，但在 1 两侧的二阶导数不变号，因此不是拐点而在 0 和 2 两侧的二阶导数变号，则曲线 yf()有两个拐点，故应选 C 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)12.(2010年)已知一个长方形的长 l以 2cms 的速率增加，宽 以 3cms 的速率增加，则当l12cm，5cm 时，它的对角线增加的速率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析
13、：设 l(t)，y(t)，其对角线长为 z(t)，则 z 2 (t) 2 (t)y 2 (t)， 2z(t)z(t)2(t)(t)2y(t)y(t) 将 (t)12，y(t)5，(t)2，y(t)3，z(t) 13.(2012年)设 yy()是由方程 2 y1e y 所确定的隐函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：在方程 2 y1e y 中令 0，得 y0，该方程两端对 求导得 2ye y y 将 0，y0 代入上式得 y(0)0，上式再对 求导 2ye y y 2 e y yv 将0，y0，y(0)代入上式得 y(0)114.(2012年)曲线 y
14、 2 (0)上曲率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1，0)）解析：解析：由 y 2 得，y21，y2，代入曲率计算公式得 K 由 K 15.(2013年)曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2166 y ）解析：解析： 而 t1 时， ，yln ln2，则 t1 处的法线方程为16.(2014年)设 f()是周期为 4的可导奇函数，且 f()2(1)，0，2，则 f(7) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由 f()2(1)，0，2知，f()(1) 2 C又 f()为奇函数，则 f(0)0，C1f(
15、)(1) 2 1 由于 f()以 4为周期则 f(7)f8(1)f(1)f(1)117.(2014年)曲线 L的极坐标方程是 r，则 L在点(r，) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y*）解析：解析：18.(2015年)设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：48）解析：解析：19.(2015年)函数 f() 2 2 在 0 处的 n阶导数 f (n) (0) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：n(n1)(ln2) n-2 ）解析：解析：三、解答题(总题数：13，分数：26.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算
16、步骤。（分数：2.00）_解析：21.(2006年)证明：当 0ab 时，bsinb2cosb6asina2cosaa（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f()sin2cos，0， 则 f()sincos2sincossin f()cossincossin0，(0，) 故 f()在0，上单调减少，从而 f()f()0，(0，) 因此 f()在0，上单调增加，当 0ab 时 f(b)f(a) 即bsinb2cosbbasina2cosaa)解析：22.(2007年)设函数 f()，g()在a，b上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)g(a)，f(b)g(b)，证
17、明：存在 (a，b)，使得 f()g()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()f()g()，以下分两种情况讨论： 1)若 f()和 g()在(a，b)内的同一点处 c(a，b)取到其最大值，则 (c)f(c)g(c)0，又 (a)(b)0，由罗尔定理知 1 (a，c)，使 ( 1 )0； 2 (c，B)，使 ( 2 )0 对 ()在 1 ， 2 上用罗尔定理得， ( 1 ， 2 )，使 ()0 2)若 f()和 g()在(a，b)内不在同一点处取到其最大值，不妨设 f()和 g()分别在 1 和 2 ( 1 2 )取到其在(a，b)内的最大值，则 ( 1 )f( 1 )g( 1 )0，
18、( 2 )f( 2 )g( 2 )0 由连续函数的介值定理知， )解析：23.(2008年)设函数 yy()由参数方程 确定，其中 (t)是初值问题 的解，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 2te 0 得 e d2dt，积分并由条件 t0 0，得 e 1t 2 ，即 ln(1t 2 ) )解析：24.(2009年)()证明拉格朗日中值定理：若函数 f()在a，b上连续，在(a，b)内可导，则存在(a，b)，使得 f(b)f(a)f()(ba) ()证明：若函数 f()在 0 处连续，在(0，)(0)内可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()取 F()f() (a
19、) 由题意知 F()在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 根据罗尔定理，存在 (a，b)，使得 F(）f(） 0，即 f(b)f(a)f()(ba) ()对于任意的 t(0，)，函数 f()在0，t上连续，在(0，t)内可导，由右导数定义及拉格朗日中值定理 f + (0) ，其中 (0，t) 由于 f(t)A，且当 t0 + 时，0 + ，所以 )解析：25.(2010年)求函数 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f()的定义域为(，)，由于 所以 f()的驻点为 0，1 列表讨论如下： 因此，f()的单调增加区间为(1，0)及(1，)，单调减少区间为(，1)及(0，1)；极
20、小值为 f(1)0，极大值为 f(0) )解析：26.(2010年)设函数 f()在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内可导，且 f(0)0，f(1) 证明：存在 (0， )，( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设函数 F()f() 3 ，由题意知 F(0)0，F(1)0 在0， 和 ，1上分别应用拉格朗日中值定理，有 )解析：27.(2011年)设函数 yy()由参数方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 0，得 t1 当 t1 时， ；当 t1 时，1 令 ，得 t0，即 由此可知，函数 y()的极大值为 y(1)y t1 1，极小值为 曲线 yy()的凹区间为(
21、 ，)，凸区间为(， ) 由于 y( )y t0 ，所以曲线 yy()的拐点为 )解析：28.(2012年)证明：ln （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f()ln cos1 ，11 显然 f()为偶函数，因此，只要证明 f()0 0，1) 由于 f()ln sin 当 (0，1)时，0， 又 1， 则 )解析：29.(2013年)设奇函数 f()在1，1上具有 2阶导数，且 f(1)1证明： ()存在 (0，1)，使得 f()1； ()存在 (1，1)，使得 f()f()1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因为 f()是区间1，1上的奇函数，所以 f(0)0 因为函数
22、 f()在区向0，1上可导，根据微分中值定理，存在 (0，1)，使得 f(1)f(0)f() 又因为 f(1)1，所以 f()1 ()因为 f()是奇函数，所以 f()是偶函数，故 f()f()1 令 F()f()1e ，则 F()可导，且 F()F()0 根据罗尔定理，存在(，) )解析：30.(2014年)已知函数 yy()满足微分方程 2 y 2 y1y，且 y(2)0，求 y()的极大值与极小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由方程 2 y 2 y1y得 (1y 2 )y1y (1) (1y 2 )dy(1 2 )d y 3 C 由 y(2)0 得 C 由(1)式得 y )解
23、析：31.(2015年)已知函数 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 令 f()0 得， 当 (， )时，f()0，f()单调减，f()在该区间最多一个零点； 当 ( ，)时，f()0，f()单调增，f()在该区间最多一个零点； )解析：32.(2015年)已知函数 f()在区间，)上具有 2阶导数，f(a)0，f()0，f()0设ba，曲线 yf()在点(b，f(b)处的切线与 轴的交点是( 0 ，0)，证明 a 0 b（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 yf()在点(b，f(b)处的切线方程为 yf(b)f(b)(b) 该切线与 z轴交点处的 坐标为 b 由于 f()0，则 f(b)0，f()单增，f(b)f(a)0，则 0 b b 欲证 0 a，等价于证明 b )解析：
