1、考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 9及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.(2005年)设函数 yy()由参数方程 （分数：2.00）A.ln23B.C.8ln23D.8ln233.(2006年)设函数 yf()具有二阶导数，且 f()0，f()0， 为自变量 在点 0 处的增量，y 与 dy分别为 f()在点 0 处对应的增量与微分，若0，则 【 】（分数：2.00）A.0dyyB.0ydyC.ydy0D.dyy04.(2006年)设函数
2、 g()可微，h()e 1+g() ，h(1)1，g(1)2，则 g(1)等于 【 】（分数：2.00）A.ln31B.ln31C.ln21D.ln215.(2007年)设函数 f()在 0 处连续，下列命题错误的是 【 】（分数：2.00）A.若B.存在，则 f(0)0C.若D.若6.(2007年)曲线 y （分数：2.00）A.0B.1C.2D.37.(2007年)设函数 f()在(0，)上具有二阶导数，且 f()0，令 u n f(n)(n1，2，)，则下列结论正确的是 【 】（分数：2.00）A.若 u 1 u 2 ，则u n 必收敛B.若 u 1 u 2 ，则u n 必发散C.若 u
3、 1 u 2 ，则u n 必收敛D.若 u 1 u 2 ，则u n 必发散8.(2008年)设函数 f() 2 (1)(2)，则 f()的零点个数 【 】（分数：2.00）A.0B.1C.2D.39.(2009年)若 f()不变号，且曲线 yf()在点(1，1)处的曲率圆为 2 y 2 2，则函数 f()在区间(1，2)内 【 】（分数：2.00）A.有极值点，无零点B.无极值点，有零点C.有极值点，有零点D.无极值点，无零点10.(2010年)曲线 y 2 与曲线 yaln(a0)相切，则 a 【 】（分数：2.00）A.4eB.3eC.2eD.e11.(2011年)设函数 f()在 0 处
4、可导，且 f(0)0，则 （分数：2.00）A.2f(0)B.f(0)C.f(0)D.0二、填空题(总题数：8，分数：16.00)12.(2007年)设函数 y （分数：2.00）填空项 1:_13.(2008年)曲线 sin(y)ln(y) 在点(0，1)处的切线方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_14.(2008年)曲线 y(5) （分数：2.00）填空项 1:_15.(2009年)设 yy()是由方程 ye y 1 确定的隐函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_16.(2009年)曲线 （分数：2.00）填空项 1:_17.(2009年)函数 y 2 在区间(0，1上的最小值为
5、 1（分数：2.00）填空项 1:_18.(2010年)曲线y （分数：2.00）填空项 1:_19.(2010年)函数 yln(12)在 0 处的 n阶导数 y (n) (0) 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_21.(2000年)求函数 f() 2 ln(1)在 0 处的 n阶导数 f (n) (0)(n3)（分数：2.00）_22.(2000年)已知 f()是周期为 5的连续函数它在 0 某个邻域内满足关系式 f(1sin)3f(1sin)8() 其中 ()是当 0 时比
6、高阶的无穷小，且 f()在 1 处可导，求曲线 yf()在点(6，f(6)处的切线方程（分数：2.00）_23.(2002年)已知曲线的极坐标方程是 r1cos，求该曲线上对应于 0 （分数：2.00）_24.(2002年)已知函数 f()在(0，)上可导，f()0， f()1，且满足 （分数：2.00）_25.(2002年)设 0ab，证明不等式 （分数：2.00）_26.(2002年)设函数 f()在 0 的某邻域内具有二阶连续导数，且 f(0)0，f(0)0，f(0)0证明：存在惟一的一组实数 1 ， 2 ， 3 ，使得当 h0 时， 1 f(h) 2 f(2h) 3 f(3h)f(0)
7、是比 h 2 高阶的无穷小（分数：2.00）_27.(2003年)设函数 （分数：2.00）_28.(2003年)讨论曲线 y4lnk 与 y4ln 4 的交点个数（分数：2.00）_29.(2004年)设函数 f()在(，)上有定义，在区间0，2上，f()( 2 4)，若对任意的 都满足 f()kf(2)，其中 k为常数 ()写出 f()在2，0上的表达式； ()问 k为何值时，f()在 0 处可导（分数：2.00）_30.(2004年)设 eabe 2 ，证明 ln 2 bln 2 a （分数：2.00）_31.(2005年)已知函数 f()在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)
8、0，f(1)1证明： ()存在 (0，1)，使得 f()1； ()存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 f()f()1（分数：2.00）_32.(2006年)试确定常数 A，B，C 的值，使得 e (1BC 2 )1Ao( 3 )其中 o( 3 )是当0 时比 3 高阶的无穷小（分数：2.00）_考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 9答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.(2005年)设函数 yy()由参数方程 （分数：2.00）A.ln
9、23 B.C.8ln23D.8ln23解析：解析：由 知，3 时 t1，yln2 因为 则曲线 yy()在 3 处的法线方程为 yln28(3) 今 y0，得 33.(2006年)设函数 yf()具有二阶导数，且 f()0，f()0， 为自变量 在点 0 处的增量，y 与 dy分别为 f()在点 0 处对应的增量与微分，若0，则 【 】（分数：2.00）A.0dyy B.0ydyC.ydy0D.dyy0解析：解析：由于 dyf( 0 ) yf( 0 )f( 0 )f()，( 0 0 ) 由于 f()0，则 f()单调增，从而有 f( 0 )f()，又 f()0，0，则 0dyy，故应选 A4.
10、(2006年)设函数 g()可微，h()e 1+g() ，h(1)1，g(1)2，则 g(1)等于 【 】（分数：2.00）A.ln31B.ln31C.ln21 D.ln21解析：解析：由 h()e 1+g() 知 h()e 1+g() .g() 令 1 得：1e 1+g(1) g.2 则 g(1)ln215.(2007年)设函数 f()在 0 处连续，下列命题错误的是 【 】（分数：2.00）A.若B.存在，则 f(0)0C.若D.若 解析：解析：由 存在及 f()在 0 处的连续性知，f(0)0，从而有 f(0)，所以，命题 A和 C是正确的； 由 存在，且 0 知， f()f()2f(0
11、)0，则 f(0)0，所以，命题 B也是正确的 事实上，命题 D是错误的例如，令 f()，显然6.(2007年)曲线 y （分数：2.00）A.0B.1C.2D.3 解析：解析：由于 ，则 0 为原曲线的一条垂直渐近线 而 ln10，则 y0 为原曲线的一条水平渐近线7.(2007年)设函数 f()在(0，)上具有二阶导数，且 f()0，令 u n f(n)(n1，2，)，则下列结论正确的是 【 】（分数：2.00）A.若 u 1 u 2 ，则u n 必收敛B.若 u 1 u 2 ，则u n 必发散C.若 u 1 u 2 ，则u n 必收敛D.若 u 1 u 2 ，则u n 必发散 解析：解析
12、：由拉格朗日中值定理知 u 2 u 1 f(2)f(1)f(c) (1c2) 而 u 2 u 1 ，则f(c)0， 由于 f()0，则 f()单调增，从而有 f(2)f(c)0，由泰勒公式得， f()f(2)f(2)(2) (2) 2 (0，) 则 f(n)(2)f(2)(n2) (n2) 2 f(2)f(2)(n2) (n2) 由于 f(2)0，则 (f(2)f(2)(n2)，从而 8.(2008年)设函数 f() 2 (1)(2)，则 f()的零点个数 【 】（分数：2.00）A.0B.1C.2D.3 解析：解析：由于 f(0)f(1)f(2)，由罗尔定理知 f()在(0，1)和(1，2)
13、内至少各有一个零点，又0 是 f()的二重零点，则 0 是 f()的一个零点，即 f()至少有 3个零点，又 f()是一个 3次多项式，最多 3个零点，故应选 D9.(2009年)若 f()不变号，且曲线 yf()在点(1，1)处的曲率圆为 2 y 2 2，则函数 f()在区间(1，2)内 【 】（分数：2.00）A.有极值点，无零点B.无极值点，有零点C.有极值点，有零点 D.无极值点，无零点解析：解析：由题设条件知曲线 yf()是凸的，且 f()0，曲率半径为 而 y(1)f(1)1，则 y(1)f(1)2 由于 f()0，则 f()在1，2上单调减，从而 f()f(1)0，从而函数 f(
14、)在1，2上单调减，故该函数没有极值点 又 f(1)10，f(2)f(1)f()(21)f()1 则 f(2)1f(1)0，即 f(2)0，所以，函数 f()在(1，2)内有唯一零点，故应选 B10.(2010年)曲线 y 2 与曲线 yaln(a0)相切，则 a 【 】（分数：2.00）A.4eB.3eC.2e D.e解析：解析：由于曲线 y 2 与曲线 yaln 相切，则 由(2)式得 2 ，代入(1)式得 11.(2011年)设函数 f()在 0 处可导，且 f(0)0，则 （分数：2.00）A.2f(0)B.f(0) C.f(0)D.0解析：解析：二、填空题(总题数：8，分数：16.0
15、0)12.(2007年)设函数 y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：y (23) -1 ；y(1)(23) -2 .2；y(1).(2)(23) -3 .2 2 则 y (n) (1) n n!(23) -(n+1) .2 n ；y n (0)(1) n n!3 -(n+1) .2 n 13.(2008年)曲线 sin(y)ln(y) 在点(0，1)处的切线方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y1）解析：解析：由 sin(y)ln(y) 知 sin(y)(yy)14.(2008年)曲线 y(5) （分数：2.00）填空项 1
16、:_ （正确答案：正确答案：(1，6)）解析：解析：y15.(2009年)设 yy()是由方程 ye y 1 确定的隐函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：等式 ye 1 两端对 求导得 yyye y 1 将 0，y0 代入上式得 y(0)1 yyye y 1 两端对 求导得 yyyye y (y) 2 e y 0，再把 0，y0 及 y(0)1 代入得，y(0)316.(2009年)曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y2）解析：解析：由题设知，当 0 时，t117.(2009年)函数 y 2 在区间(0，1上的最小值为
17、1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 y(e 2lin ) 2 (2ln2)0 得， 当 0， )时，y0，y 2 单调减； 当 ( ，1时，y0，y 2 单调增，则 y 2 在 取最小值，且 18.(2010年)曲线y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y2）解析：解析：显然曲线 y 无水平渐近线和垂直渐近线19.(2010年)函数 yln(12)在 0 处的 n阶导数 y (n) (0) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2 n (n1)!）解析：解析：利用 ln(1)的麦克劳林展开式三、解答题(总题数：
18、13，分数：26.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：21.(2000年)求函数 f() 2 ln(1)在 0 处的 n阶导数 f (n) (0)(n3)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由莱不尼兹公式 )解析：22.(2000年)已知 f()是周期为 5的连续函数它在 0 某个邻域内满足关系式 f(1sin)3f(1sin)8() 其中 ()是当 0 时比 高阶的无穷小，且 f()在 1 处可导，求曲线 yf()在点(6，f(6)处的切线方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.(2002年)已知曲线的极坐标方程是
19、r1cos，求该曲线上对应于 0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.(2002年)已知函数 f()在(0，)上可导，f()0， f()1，且满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由已知条件得 因此 lnf() ，即lnf() ，解之 f() 由 f()1，得 C1 故 f() )解析：25.(2002年)设 0ab，证明不等式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先证右边不等式 故当 a 时，()单调减少，又 (a)0，所以，当a 时 ()(a)0，即 lnlna 从而，当 ba0 时，lnblna 再证左边不等式，令 f()ln (a0) 由拉格朗日
20、中值定理知，至少存在一点 (a，b)，使 由于0ab，故 ，从而有 )解析：26.(2002年)设函数 f()在 0 的某邻域内具有二阶连续导数，且 f(0)0，f(0)0，f(0)0证明：存在惟一的一组实数 1 ， 2 ， 3 ，使得当 h0 时， 1 f(h) 2 f(2h) 3 f(3h)f(0)是比 h 2 高阶的无穷小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：只需证存在惟一的一组实数 1 ， 2 ， 3 ，使 由题设和洛必达法则，从 知 1 ， 2 ， 3 应满足方程组 因为系数行列式 )解析：27.(2003年)设函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 令 f()，有6a
21、2a 2 4，得 a1 或 a2；当 a1 时，6f(0)，即 f()在 0 处连续当 a2 时 )解析：28.(2003年)讨论曲线 y4lnk 与 y4ln 4 的交点个数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ()ln 4 44lnk 则 () 显然 (1)0 当 01 时，()0，()单调减少； 当 1 时，()0，()单调增加 故(1)4k 为 ()在(0，)上的最小值所以 当 k4，即 4k0 时，()0 无实根，那两条曲线无交点； 当 k4，即 4k0 时，()0 有唯一实根，即两条曲线有唯一交点 当 k4，即 4k0 时，由于 )解析：29.(2004年)设函数 f()在
22、(，)上有定义，在区间0，2上，f()( 2 4)，若对任意的 都满足 f()kf(2)，其中 k为常数 ()写出 f()在2，0上的表达式； ()问 k为何值时，f()在 0 处可导（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()当20，即 022 时， f()kf(2)k(2)(2) 2 4k(2)(4) ()由题设知 f(0)0 令 f - (0)f + (0)，得 k 即当 k )解析：30.(2004年)设 eabe 2 ，证明 ln 2 bln 2 a （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 ()ln 2 ，则 () 所以当 e 时，()0，故 ()单调减少，从而当 ee 2
23、时， ()(e 2 ) ， 即当ee 2 时，()单调增加 因此当 eabe 2 时，(b)(a)， 即 ln 2 b ， 故ln 2 ln 2 a )解析：31.(2005年)已知函数 f()在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)0，f(1)1证明： ()存在 (0，1)，使得 f()1； ()存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 f()f()1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()令 g()f()1，则 g()在0，1上连续，且 g(0)10，g(1)10 所以存在 (0，1)，使得 g()f()10 即 f()1 ()根据拉格朗日中值定理，存在 (0，)，(，1)，使得 )解析：32.(2006年)试确定常数 A，B，C 的值，使得 e (1BC 2 )1Ao( 3 )其中 o( 3 )是当0 时比 3 高阶的无穷小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 e 1 3 o( 3 ) 将其代入题设等式，整理得 )解析：
