【考研类试卷】考研数学二(微分方程)-试卷1及答案解析.doc
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1、考研数学二(微分方程)-试卷 1 及答案解析(总分:64.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:6,分数:12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.微分方程 xdy=(y 一 )dx(x0)满足 y(1)=0 的特解是 ( ) (分数:2.00)A.B.C.D.3.设线性无关的函数 y 1 (x),y 2 (x),y 3 (x)均是方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x)的解,C 1 ,C 2 是任意常数,则该方程的通解是 ( )(分数:2.00)A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3B.C 1 y 1 +C 2
2、y 一(C 1 +C 2 )y 3C.C 1 y 1 +C 2 y 2 一(1 一 C 1 C 2 )y 3D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1 一 C 1 一 C 2 )y 34.设二阶线性常系数齐次微分方程 y“+by“+y=0 的每一个解 y(x)都在区间(0,+)上有界,则实数 b 的取值范围是 ( )(分数:2.00)A.0,+)B.(一,0C.(一,4D.(一,+)5.具有特解 y 1 =e 一 x ,y 2 =2xe 一 x ,y 3 =3e x 的三阶线性常系数齐次微分方程是 ( )(分数:2.00)A.y“一 y“一 y“+y=0B.y“+y“一 y“一 y=0C.y
3、“一 6y“+11y“一 6y=0D.y“一 2y“一 y“+2y=06.函数 y=Cx+ (分数:2.00)A.是通解B.是特解C.是解,但既非通解也非特解D.不是解二、填空题(总题数:10,分数:20.00)7.设 y 1 =e x ,y 2 =x 2 为某二阶线性齐次微分方程的两个特解,则该微分方程为 1(分数:2.00)填空项 1:_8.设 p(x),g(x)与 f(x)均为连续函数,f(x)0设 y 1 (x),y 2 (x)与 y 3 (x)是二阶线性非齐次方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x) 的 3 个解,且 (分数:2.00)填空项 1:_9.微分方程 (分数:2.0
4、0)填空项 1:_10.设 f(x)在(一,+)内有定义,且对任意 x(,+),y(一,+),成立 f(x+y)=f(x)e y +f(y)e x ,且 f“(0)存在等于 a,a0,则 f(x)= 1(分数:2.00)填空项 1:_11.设 f(x)在(一,+)上可导,且其反函数存在为 g(x)若 0 f(x) g(t)dt+ 0 x f(t)dt=xe x e x +1, 则当一x+时 f(x)= 1(分数:2.00)填空项 1:_12.微分方程 y“+ytan x=cos x 的通解为 y= 1(分数:2.00)填空项 1:_13.微分方程 y“一 4y=e 2x 的通解为 y= 1(分
5、数:2.00)填空项 1:_14.微分方程 3e x tan ydx+(1 一 e x )sec 2 ydy=0 的通解是 1(分数:2.00)填空项 1:_15.微分方程 y“tan x=yln y 的通解是 1(分数:2.00)填空项 1:_16.微分方程(6x+y)dx+xdy=0 的通解是 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:16,分数:32.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_18.已知 y=y(x)是微分方程(x 2 +y 2 )dy=dxdy 的任意解,并在 y=y(x)的定义域内取 x 0 ,记 y 0 =y(x 0
6、) (分数:2.00)_19.设 a0,函数 f(x)在0,+)上连续有界,证明:微分方程 y“+ay=f(x)的解在0,+)上有界(分数:2.00)_20.已知曲线 y=y(x)经过点(1,e 一 1 ),且在点(x,y)处的切线方程在 y 轴上的截距为 xy,求该曲线方程的表达式(分数:2.00)_21.求解(1+ (分数:2.00)_22.设 (x)是以 2 为周期的连续函数,且 “(x)=(x),(0)=0 (1)求方程 y“+ysin x=(x)e cosx 的通解; (2)方程是否有以 2 为周期的解?若有,请写出所需条件,若没有,请说明理由(分数:2.00)_23.设有方程 y“
7、+P(x)y=x 2 ,其中 P(x)= (分数:2.00)_24.设 (1)用变限积分表示满足上述初值条件的特解 y(x); (2)讨论 (分数:2.00)_25.求微分方程 xy“+y=xe x 满足 y(1)=1 的特解(分数:2.00)_26.求(4 一 x+y)dx 一(2 一 x 一 y)dy=0 的通解(分数:2.00)_27.求 xy“一 y“ln y“+y“ln x=0 满足 y(1)=2 和 y“(1)=e 2 的特解(分数:2.00)_28.求 y“ 2 一 yy“=1 的通解(分数:2.00)_29.求(x+2)y“+xy“ 2 =y“的通解(分数:2.00)_30.求
8、微分方程 (分数:2.00)_31.求微分方程 (分数:2.00)_32.求微分方程 y“一 2y“一 e 2x =0 满足条件 y(0)=1,y“(0)=1 的特解(分数:2.00)_考研数学二(微分方程)-试卷 1 答案解析(总分:64.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:6,分数:12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.微分方程 xdy=(y 一 )dx(x0)满足 y(1)=0 的特解是 ( ) (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析:将原方程变形为3.设线性无关的函数 y 1 (x),y 2 (x),
9、y 3 (x)均是方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x)的解,C 1 ,C 2 是任意常数,则该方程的通解是 ( )(分数:2.00)A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3B.C 1 y 1 +C 2 y 一(C 1 +C 2 )y 3C.C 1 y 1 +C 2 y 2 一(1 一 C 1 C 2 )y 3D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1 一 C 1 一 C 2 )y 3 解析:解析:由于 C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1 一 C 1 C 2 )y 3 =C 1 (y 1 一 y 3 )+C 2 (y 2 一 y 3 )+y 3 ,其中 y 1 一 y 3
10、 和 y 2 一 y 3 是原方程对应的齐次方程的两个线性无关的解,又 y 3 是原方程的一个特解,所以(D)是原方程的通解4.设二阶线性常系数齐次微分方程 y“+by“+y=0 的每一个解 y(x)都在区间(0,+)上有界,则实数 b 的取值范围是 ( )(分数:2.00)A.0,+) B.(一,0C.(一,4D.(一,+)解析:解析:因为当 b2 时,y(x)= ,所以,当 b 2 一 40 时,要想使 y(x)在区间(0,+)上有界,只需要 0,即 b2当 b 2 40 时,要想使 y(x)在区间(0,+)上有界,只需要 5.具有特解 y 1 =e 一 x ,y 2 =2xe 一 x ,
11、y 3 =3e x 的三阶线性常系数齐次微分方程是 ( )(分数:2.00)A.y“一 y“一 y“+y=0B.y“+y“一 y“一 y=0 C.y“一 6y“+11y“一 6y=0D.y“一 2y“一 y“+2y=0解析:解析:根据题设条件,1,一 1 是特征方程的两个根,且一 1 是重根,所以特征方程为( 一 1)(+1) 2 = 3 + 2 一 一 1=0,故所求微分方程为 y“+y“一 y“一 y=0,故选(B) 或使用待定系数法,具体为: 设所求的三阶线性常系数齐次微分方程是 y“+ay“+by“+cy=0。 由于 y 1 =e 一 x ,y 2 =2xe 一 x ,y 3 =3e
12、x 是上述方程的解,所以将它们代入方程后得 6.函数 y=Cx+ (分数:2.00)A.是通解B.是特解C.是解,但既非通解也非特解 D.不是解解析:解析:(1)因原方程阶数为二,通解中应包含两个任意常数(可求出通解为 C 1 +C 1 x+ 二、填空题(总题数:10,分数:20.00)7.设 y 1 =e x ,y 2 =x 2 为某二阶线性齐次微分方程的两个特解,则该微分方程为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:由于方程形状已知,故只要将两个特解分别代入并求出系数即可 设所求的二阶线性齐次微分方程为 y“+p(x)y“+q(x)y=0 分别以 y 1
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