1、2014 年湖南省怀化市中考真题数学 一、选择题 (每小题 3 分，共 24 分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上 ) 1.(3 分 )我国南海海域面积为 3500000km2，用科学记数法表示正确的是 ( ) A. 3.510 5cm2 B. 3.510 6cm2 C. 3.510 7cm2 D. 3.510 8cm2 解析 ：将 3500000 用科学记数法表示为： 3.510 6. 答案： B. 2.(3 分 )将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置 .已知 1=30 ，则 2 的度数为 ( ) A. 30 B. 45 C. 50 D. 60
2、 解析 ： ab ， 2=3 ， 1+3=90 ， 1=90 -30=60 ， 2=60 . 答案： D. 3.(3 分 )多项式 ax2-4ax-12a 因式分解正确的是 ( ) A. a(x-6)(x+2) B. a(x-3)(x+4) C. a(x2-4x-12) D. a(x+6)(x-2) 解析 ： ax2-4ax-12a=a(x2-4x-12)=a(x-6)(x+2). 4.(3 分 )下列物体的主视图是圆的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： A、只是图是矩形，故 A 不符合题意； B、主视图是三角形，故 B 不符合题意； C、主视图是圆，故 C 符合题意； D、主视图是
3、正方形，故 D 不符合题意； 答案： C. 5.(3 分 )如图，已知等腰梯形 ABCD 中， ADBC ， AB=DC， AC 与 BD 相交于点 O，则下列判断不正确的是 ( ) A. ABCDCB B. AODCOB C. ABODCO D. ADBDAC 解析 ： A、 等腰梯形 ABCD 中， ADBC ， AB=DC， ABC=DCB ， 在 ABC 和 DCB 中， ， ABCDCB (SAS)；故正确； B、 ADBC ， AODCOB ， BC AD， AOD 不全等于 COB ；故错误； C、 ABCDCB ， ACB=DBC ， ABC=DCB ， ABO=DCO ， 在
4、 ABO 和 DCO 中， ， ABODCO (AAS)；故正确； D、 等腰梯形 ABCD 中， ADBC ， AB=DC， BAD=CDA ， 在 ADB 和 DAC 中， ， ADBDAC (SAS)，故正确 . 答案： B. 6.(3 分 )不等式组 的解集是 ( ) A. -1x 2 B. x -1 C. x 2 D. -1 x2 解析 ： ， 由 得， 4x 8， x 2， 由 得， x -1，故不等式组的解集为 -1x 2， 答案： A. 7.(3 分 )某中学随机调查了 15 名学生，了解他们一周在校参加体育锻炼时间，列表如下： 则这 15 名同学一周在校参加体育锻炼时间的中位
5、数和众数分别是 ( ) A. 6， 7 B. 7， 7 C. 7， 6 D. 6， 6 解析 ： 共有 15 个数，最中间的数是 8 个数， 这 15 名同学一周在校参加体育锻炼时间的中位数是 6； 6 出现的次数最多，出现了 6 次，则众数是 6； 答案： D. 8.(3 分 )已知一次函数 y=kx+b 的图象如图，那么正比例函数 y=kx 和反比例函数 y= 在同一坐标系中的图象大致是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 如图所示， 一次函数 y=kx+b 的图象经过第一、三、四象限， k 0， b 0. 正比例函数 y=kx 的图象经过第一、三象限，反比例函数 y= 的图象经过第
6、二、四象限 . 综上所述，符合条件的图象是 C 选项 . 答案： C. 二、填空题 (每小题 3 分，共 24 分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上 ) 9.(3 分 )计算： (-1)2014= . 解析 ： (-1)2014=1. 答案： 1. 10.(3 分 )分解因式： 2x2-8= . 解析 ： 2x2-8=2(x2-4)=2(x+2)(x-2). 答案： 2(x+2)(x-2). 11.(3 分 )如图， D、 E 分别是 ABC 的边 AB、 AC 上的中点，则 SADE ： SABC = . 解析 ： D 、 E 是边 AB、 AC 上的中点， DE 是 ABC 的中位线，
7、 DEBC 且 DE= BC， ADEABC ， S ADE ： SABC =(1： 2)2=1： 4. 答案： 1： 4. 12.(3 分 )分式方程 = 的解为 . 解析 ： 去分母得： 3x-6=-x-2， 移项合并得： 4x=4， 解得： x=1， 经检验 x=1 是分式方程的解 . 答案： x=1. 13.(3 分 )如图，小明爬一土坡，他从 A 处爬到 B 处所走的直线距离 AB=4 米，此时，他离地面高度为 h=2 米，则这个土坡的坡角 A= . 解析 ： 由题意得： AB=4 米， BC=2 米，在 RtABC 中， sinA= = = ，故 A=30 ， 答案： 30. 14
8、.(3 分 )已知点 A(-2， 4)在反比例函数 y= (k0 )的图象上，则 k 的值为 . 解析 ： 点 A(-2， 4)在反比例函数 y= (k0 )的图象上， 4= ，解得 k=-8. 答案： -8. 15.(3 分 )如图，在 ABC 中， A=30 ， B=50 ，延长 BC 到 D，则 ACD= . 解析 ： A=30 ， B=50 ， ACD=A+B=30+50=80 . 答案： 80. 16.(3 分 )某校九年级有 560 名学生参加了市教育局举行的读书活动，现随机调查了 70 名学生读书的数量，根据所得数据绘制了如图的条形统计图，请估计该校九年级学生在此次读书活动中共读
9、书 本 . 解析 ： 由题意得出： 70 名同学一共借书： 25+303+204+515=255 (本 )， 故该校九年级学生在此次读书活动中共读书： 255=2040 (本 ). 答案： 2040. 三、解答题 (本大题共 8 小题，共 72 分 ) 17.(6 分 )计算： |-3|- -( )0+4sin45 . 解析 ： 原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项化为最简二次根式，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果 . 答案 ：原式 =3-2 -1+4 =3-2 -1+2 =2. 18.(6 分 )设一次函数 y=kx+b(k0 )的图象经过 A
10、(1， 3)、 B(0， -2)两点，试求 k， b 的值 . 解析 ： 直接把 A 点和 B 点坐标代入 y=kx+b，得到关于 k和 b 的方程组，然后解方程组即可 . 答案 ：把 A(1， 3)、 B(0， -2)代入 y=kx+b 得 ，解得 ， 即 k， b 的值分别为 5， -2. 19.(10 分 )如图，在平行四边形 ABCD 中， B=AFE ， EA 是 BEF 的角平分线 .求证： (1)ABEAFE ； (2)FAD=CDE . 解析 ： (1)根据角平分线的性质可得 1=2 ，再加上条件 B=AFE ，公共边 AE，可利用 AAS证明 ABEAFE ； (2)首先证明
11、 AF=CD，再证明 B=AFE ， AFD=C 可证明 AFDDCE 进而得到FAD=CDE . 答案 ： (1)EA 是 BEF 的角平分线， 1=2 ， 在 ABE 和 AFE 中， ， ABEAFE (AAS)； (2)ABEAFE ， AB=AF ， 四边形 ABCD 平行四边形， AB=CD ， ADCB ， ABCD ， AF=CD ， ADF=DEC ， B+C=180 ， B=AFE ， AFE+AFD=180 ， AFD=C ， 在 AFD 和 DCE 中， ， AFD DCE(AAS)， FAD=CDE . 20.(10 分 )甲乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有
12、1， 2， 3 的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中 . (1)求从袋中随机摸出一球，标号是 1 的概率； (2)从袋中随机摸出一球后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出的球的标号之和为偶数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由 . 解析 ： (1)由把三个分别标有 1， 2， 3 的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，直接利用概率公式求解即可求得答案； (2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲胜，乙胜的情况，即可求得求概率，比较大小，即可知这个游戏是否公平 . 答案 ： (1) 三个分别标有
13、 1， 2， 3 的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中， 从袋中随机摸出一球，标号是 1 的概率为： ； (2)这个游戏不公平 .画树状图得： 共有 9 种等可能的结果，两次摸出的球的标号之和为偶数的有 5 种情况，两次摸出的球的标号之和为奇数的有 4 种情况， P (甲胜 )= ， P(乙胜 )= .P (甲胜 )P (乙胜 )， 这个游戏不公平 . 21.(10 分 )两个城镇 A、 B 与两条公路 ME， MF 位置如图所示，其中 ME 是东西方向的公路 .现电信部门需在 C 处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇 A、 B 的距离必须相等，到两条公路 ME， MF 的距
14、离也必须相等，且在 FME 的内部 . (1)那么点 C 应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点 C.(不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹 ) (2)设 AB 的垂直平分线交 ME 于点 N，且 MN=2( +1)km，在 M处测得点 C位于点 M的北偏东 60 方向，在 N 处测得点 C 位于点 N 的北偏西 45 方向，求点 C到公路 ME的距离 . 解析 ： (1)到城镇 A、 B 距离相等的点在线段 AB 的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点 C. (2)作 CDMN 于点 D，由题意得：
15、 CMN=30 ， CND=45 ，分别在 RtCMD 中和 RtCND中，用 CD 表示出 MD 和 ND 的长，从而求得 CD的长即可 . 答案 ： (1)答图如图： (2)作 CDMN 于点 D， 由题意得： CMN=30 ， CND=45 ， 在 RtCMD 中， =tanCMN ， MD= = ； 在 RtCND 中， =tanCNM ， ND= =CD； MN=2 ( +1)km， MN=MD+DN=CD+ CD=2( +1)km，解得： CD=2km. 点 C 到公路 ME 的距离为 2km. 22.(10 分 )如图， E 是长方形 ABCD 的边 AB 上的点， EFDE 交
16、 BC 于点 F (1)求证： ADEBEF ； (2)设 H 是 ED 上一点，以 EH 为直径作 O ， DF 与 O 相切于点 G，若 DH=OH=3，求图中阴影部分的面积 (结果保留到小数点后面第一位， 1.73 ， 3.14 ). 解析 ： (1)由条件可证 AED=EFB ，从而可证 ADEBEF . (2)由 DF 与 O 相切， DH=OH=OG=3 可得 ODG=30 ，从而有 GOE=120 ，并可求出 DG、 EF长，从而可以求出 DGO 、 DEF 、扇形 OEG 的面积，进而可以求出图中阴影部分的面积 . 答案： (1) 四边形 ABCD 是矩形， A=B=90 .
17、EFDE ， DEF=90 .AED=90 -BEF=EFB . A=B ， AED=EFB ， ADEBEF . (2)DF 与 O 相切于点 G， OGDG .DGO=90 . DH=OH=OG ， sinODG= = .ODG=30 .GOE=120 . S 扇形 OEG= =3 . 在 RtDGO 中， cosODG= = = .DG=3 . 在 RtDEF 中， tanEDF= = = .EF=3 . S DEF = DE EF= 93 = ， SDGO = DG GO= 3 3= . S 阴影 =SDEF -SDGO -S 扇形 OEG= - -3= 9 -391.73 -33.1
18、4=6.156.2 . 图中阴影部分的面积约为 6.2. 23.(10 分 )设 m 是不小于 -1 的实数，使得关于 x 的方程 x2+2(m-2)x+m2-3m+3=0 有两个不相等的实数根 1， x2. (1)若 + =1，求 的值； (2)求 + -m2的最大值 . 解析 ： (1)首先根据根的判别式求出 m 的取值范围，利用根与系数的关系，求出符合条件的m 的值； (2)把利用根与系数的关系得到的关系式代入代数式，细心化简，结合 m 的取值范围求出代数式的最大值 . 答案 ： 方程有两个不相等的实数根， =b 2-4ac=4(m-2)2-4(m2-3m+3)=-4m+4 0， m 1
19、， 结合题意知： -1m 1. (1)x 1+x2=-2(m-2)， x1x2=m2-3m+3 + = = =1 解得： m1= ， m2= (不合题意，舍去 ) = -2. (2) + -m2= -m2=-2(m-1)-m2=-(m+1)2+3. 当 m=-1 时，最大值为 3. 24.(10 分 )如图 1，在平面直角坐标系中， AB=OB=8， ABO=90 ， yOC=45 ，射线 OC 以每秒 2 个单位长度的速度向右平行移动，当射线 OC 经过点 B 时停止运动，设平行移动 x秒后，射线 OC 扫过 RtABO 的面积为 y. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式； (2)当 x
20、=3 秒时，射线 OC 平行移动到 OC ，与 OA 相交于 G，如图 2，求经过 G， O， B 三点的抛物线的解析式； (3)现有一动点 P 在 (2)中的抛物线上，试问点 P 在运动过程中，是否存在三角形 POB 的面积S=8 的情况？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由 . 解析 ： (1)判断出 ABO 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得 AOB=45 ，然后求出 AOCO ，再根据平移的性质可得 AOCO ，从而判断出 OOG 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质列式整理即可得解； (2)求出 OO ，再根据等腰直角三角形的性质求出点 G 的坐标，
21、然后设抛物线解析式为y=ax2+bx，再把点 B、 G 的坐标代入，利用待定系数法求二次函数解析式解答； (3)设点 P 到 x 轴的距离为 h，利用三角形的面积公式求出 h，再分点 P 在 x 轴上方和下方两种情况，利用抛物线解析式求解即可 . 答案 ： (1)AB=OB ， ABO=90 ， ABO 是等腰直角三角形， AOB=45 ， yOC=45 ， AOC= (90 -45 )+45=90 ， AOCO ， CO 是 CO 平移得到， AOCO ， OOG 是等腰直角三角形， 射线 OC 的速度是每秒 2 个单位长度， OO=2x ， y= (2x)2=2x2； (2)当 x=3 秒
22、时， OO=23=6 ， 6=3 ， 点 G 的坐标为 (3， 3)， 设抛物线解析式为 y=ax2+bx，则 ，解得 ， 抛物线的解析式为 y=- x2+ x； (3)设点 P 到 x 轴的距离为 h，则 SPOB = 8h=8 ，解得 h=2， 当点 P 在 x 轴上方时， - x2+ x=2，整理得， x2-8x+10=0，解得 x1=4- ， x2=4+ ， 此时，点 P 的坐标为 (4- ， 2)或 (4+ ， 2)； 当点 P 在 x 轴下方时， - x2+ x=-2，整理得， x2-8x-10=0， 解得 x1=4- ， x2=4+ ， 此时，点 P 的坐标为 (4- ， -2)或 (4+ ， -2)， 综上所述，点 P 的坐标为 (4- ， 2)或 (4+ ， 2)或 (4- ， -2)或 (4+ ， -2)时， POB的面积 S=8.
