1、考研数学（数学一）模拟试卷 481 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.曲线 y （分数：2.00）A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条3.设函数 f()在(，)上连续，则( )（分数：2.00）A.函数 0 t 2 f(t)f(t)dt 必是奇函数。B.函数 0 t 2 f(t)f(t)dt 必是奇函数。C.函数 0 f(t) 3 dt 必是奇函数。D.函数 0 f(t 3 )dt 必是奇函数。4.若 ye 是微分方程 y2yaybc 的解，则(
2、 )（分数：2.00）A.a1，b1，c1。B.a1，b1，c2。C.a3，b3，c0。D.a3，b1，c1。5.设有命题 若正项级数 u n 满足 1，则级数 u n 收敛。 若正项级数 u n 收敛 1。 若 1，则级数 a n 和 b n 同敛散。 若数列a n 收敛，则级数 （分数：2.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个6.设矩阵 A mn 经过若干次初等行变换后得到 B，现有 4 个结论，其中正确的是( ) A 的行向量均可由B 的行向量线性表示； A 的列向量均可由 B 的列向量线性表示； 的行向量均可由 A 的行向量线性表示； B 的列向量均可由 A 的列向量线性表示
3、。（分数：2.00）A.、B.、C.、D.、7.已知线性方程组 Ak 1 2 有解，其中 （分数：2.00）A.1B.1C.2D.28.设 A，B，C 是三个随机事件，P(ABC)0，且 0P(C)1，则一定有( )（分数：2.00）A.P(ABC)P(A)P(B)P(C)。B.P(AB)CP(A C)P(BC)。C.P(ABC)P(A)P(B)P(C)。D.P(AB) P(A )P(B9.假设总体 XN(0， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 10 是来自总体 X 的简单随机样本，Y 2 （分数：2.00）A.X 2 2 (1)B.Y 2 2 (10)。C.t(10)D.F(10,1)二、填空
4、题(总题数：6，分数：12.00)10. 1。 （分数：2.00）填空项 1:_11.设(，y，z)e y 2 z，其中 zz(，y)是由方程 yzyz0 所确定的隐函数，则f (0，1，1) 1。（分数：2.00）填空项 1:_12.函数 f(，y，z) 2 y 2 z 2 在点(1，1，0)处沿球面 2 y 2 z 2 2 在该点的外法线方向的方向导数 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 yy()由方程 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.已知 (，1，1) T 是矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_15.设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 D(X)4D(Y)，则
5、随机变量 2X3Y，与 2X3Y，的相关系数为 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.求极限 （分数：2.00）_18.设 z ，其中 f(u)具有二阶连续导数 f(0)f(0)0，且 （分数：2.00）_19.证明不等式 3tan2sin，(0， （分数：2.00）_20.计算曲线积分 （分数：2.00）_21.求幂级数 （分数：2.00）_22.已知线性方程组 （分数：2.00）_23.设二次型 T Aa 1 2 2 2 2 3 2 8 1 2 2b 1 3 2c 2 3
6、 ，实对称矩阵 A 满足 ABO，其中 B （分数：2.00）_24.已知随机变量 X 的概率密度为 f X ()a （分数：2.00）_25.设总体的概率密度为 f(；) （分数：2.00）_考研数学（数学一）模拟试卷 481 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.曲线 y （分数：2.00）A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条 解析：解析：首先，0 和 1 是两个明显的间断点，且 y， y，所以 0 和1 是两条垂直渐近线； 其次， y， y
7、0，所以沿 方向没有水平渐近线，沿 方向有一条水平渐近线 y0。 最后，3.设函数 f()在(，)上连续，则( )（分数：2.00）A.函数 0 t 2 f(t)f(t)dt 必是奇函数。 B.函数 0 t 2 f(t)f(t)dt 必是奇函数。C.函数 0 f(t) 3 dt 必是奇函数。D.函数 0 f(t 3 )dt 必是奇函数。解析：解析：令 F() 2 f()f()，由题设知 F()是(，)上的连续函数，且 F()() 2 f()f() 2 f()f()F()， 即 F()是偶函数，于是对任意的 (，)， G() 0 t 2 f(t)f(t)dt 0 f(t)dt， 满足 G() 0
8、 F(t)dt 4.若 ye 是微分方程 y2yaybc 的解，则( )（分数：2.00）A.a1，b1，c1。B.a1，b1，c2。 C.a3，b3，c0。D.a3，b1，c1。解析：解析：由于 ye 是微分方程 y2yaybc 的解，则 e 是对应齐次方程的解，其特征方程 r 2 2ra0 有二重根 r 1 r 2 1，则 a1； 是非齐次方程的解，将 y代入方程 y2yaybc 知 b1，c2。故选 B。5.设有命题 若正项级数 u n 满足 1，则级数 u n 收敛。 若正项级数 u n 收敛 1。 若 1，则级数 a n 和 b n 同敛散。 若数列a n 收敛，则级数 （分数：2.
9、00）A.1 个 B.2 个C.3 个D.4 个解析：解析：是正确的，因为级数 (a n+1 a n )的部分和数列为 S n (a 2 a 1 )(a 3 a 2 )(a n+1 a n )a n+1 a 1 ， 因数列a n 收敛， a n 0， S n 存在，级数 (a n+1 a n )收敛。 不正确。例如 ，满足 1，但是 并不收敛。 不正确。正项级数 u n 收敛，但极限 不一定存在，如 是收敛的，事实上， 但是 不存在。 不正确。 例如 容易验证 1，但级数 b n 收敛， 而 6.设矩阵 A mn 经过若干次初等行变换后得到 B，现有 4 个结论，其中正确的是( ) A 的行向
10、量均可由B 的行向量线性表示； A 的列向量均可由 B 的列向量线性表示； 的行向量均可由 A 的行向量线性表示； B 的列向量均可由 A 的列向量线性表示。（分数：2.00）A.、B.、 C.、D.、解析：解析：由 A 经初等行变换得到 B 知，有初等矩阵 P 1 ，P 2 ，P s 使得 P s P 2 P 1 AB。记 PP s P 2 P 1 ，则 P=(p ij ) mm 是可逆矩阵，将 A，B 均按行向量分块有 这表明 p i1 1 p i2 2 p im m i (i1，2，m)，故 B 的行向量均可由 A 的行向量线性表出，因 P(P ij ) mm 是可逆矩阵，所以两边同乘
11、P -1 得 7.已知线性方程组 Ak 1 2 有解，其中 （分数：2.00）A.1B.1C.2D.2 解析：解析：将 Ak 1 2 的增广矩阵作初等行变换， Ak 1 2 有解 8.设 A，B，C 是三个随机事件，P(ABC)0，且 0P(C)1，则一定有( )（分数：2.00）A.P(ABC)P(A)P(B)P(C)。B.P(AB)CP(A C)P(BC)。 C.P(ABC)P(A)P(B)P(C)。D.P(AB) P(A )P(B解析：解析：选项 A：由于不知道 P(A)或 P(B)是否为零，因此选项 A 不一定成立。 选项 B：P(AB)CP(ACBC)P(AC)P(BC)P(ABC)
12、 P(AC)P(BC)， P(AB)C P(AC)P(BC)。 可见选项 B 正确。 选项 C：P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)， 由于不能确定 P(AB)，P(AC)，P(BC)的概率是否全为零，因此选项 C 不一定成立。 选项 D： 而 P(AB9.假设总体 XN(0， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 10 是来自总体 X 的简单随机样本，Y 2 （分数：2.00）A.X 2 2 (1)B.Y 2 2 (10)。C.t(10) D.F(10,1)解析：解析：由总体 XN(0， 2 )可知 X i N(0， 2 )，故 N(0，1)，且相互独立，
13、由 2 分布，F 分布，t 分布的典型模型可知，选项 A，B 不成立。 事实上， 2 (1)，故 A 不成立； 2 (10)，故(B)不成立； ，故 D 不成立；而 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10. 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.设(，y，z)e y 2 z，其中 zz(，y)是由方程 yzyz0 所确定的隐函数，则f (0，1，1) 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：根据 f(，y，z)e y 2 z 可知，f (，y，z)e y 2 z ，等式yzyz0 两边对 求偏导可得 1z
14、 yzyz 0， 令 O，y1，z1得 z 0。 则 f (0，1，1)e 0 1。12.函数 f(，y，z) 2 y 2 z 2 在点(1，1，0)处沿球面 2 y 2 z 2 2 在该点的外法线方向的方向导数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：球面 2 y 2 z 2 2 在(1，1，0)点的外法线向量为 n(1，1，0)。 其方向余弦为 所以 13.设 yy()由方程 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：已知 ，将 0 代入得 y1，再将所给方程两边对 求导，得 1sin 2 (y).(y1)。 于是 y
15、csc 2 (y)1。从而 14.已知 (，1，1) T 是矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：设 是矩阵 A -1 属于特征值 0 的特征向量，由定义 A -1 0 ，知 0 A.，即 解得 0 15.设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 D(X)4D(Y)，则随机变量 2X3Y，与 2X3Y，的相关系数为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：028）解析：解析：记 Z 1 2X3Y，Z 2 2X3Y， 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析
16、：17.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据等价无穷小替换公式， )解析：18.设 z ，其中 f(u)具有二阶连续导数 f(0)f(0)0，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：z ，其中 f(u)具有二阶连续导数， 代入方程 即 f(u)f(u)u。 求解该二阶微分方程可得， f(u)C 1 e -u C 2 e u u， 将 f(0)f(0)0 代入上式，可解得 C 1 ，C 2 ，故 f(u) )解析：19.证明不等式 3tan2sin，(0， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f()tan2sin3，(0， )， 则 f()sec 2 2cos3
17、， f()2sec 2 tan2sin2sin(sec 3 1)， 由于当 (0， )时 sin0，sec 3 0，则 f()0，函数 f()sec 2 2cos3 为增函数，且 f(0)0，因此 (0， )时， f()sec 2 2cos30， 进一步得函数 f()为增函数，由于 f(0)0，因此 f()tan2sin3f(0)0，(0， )， 即不等式3tan2sin，(0， )解析：20.计算曲线积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 可知 ，因此积分 与路径无关。 故选取路径 L：4 2 y 2 16，方向由点(2，0)到点(2，0)，则 将曲线 L改写为参数方程为2cost
18、，y4sint，t：0，则 L dyyd 0 8(cos 2 tsin 2 t)dt8， 故 )解析：21.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1，故该级数的收敛半径为 r1，收敛区间为(1，1)，1 时，该级数变为常数项级数 显然， (1) n 2 发散， 条件收敛，故 发散，则收敛域为(1，1)。 记 S 1 () (1) n 2 2n ，则 逐项求导可得， 令0，可得 C0，故 S 2 () ，0；0 时，S 2 (0)0。故 故原级数的和函数为 )解析：22.已知线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设可知线性方程组的系数矩阵为 A ，增广矩阵为
19、对增广矩阵作初等行变换 方程有无穷多解，则 r(A)r(A，b)3，所以 a2，b3。 下面求线性方程组的通解，将增广矩阵化为行最简形。 从而原方程组可化为 )解析：23.设二次型 T Aa 1 2 2 2 2 3 2 8 1 2 2b 1 3 2c 2 3 ，实对称矩阵 A 满足 ABO，其中 B （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()二次型对应的实对称矩阵为 A ，因为 ABO，所以 下面求 A的特征值 A 的特征值为 0，6，6。 当 0 时，求解线性方程组(OEA)0，解得 1 (1，0，1) T ； 当 6 时，求解线性方程组(6EA)0，解得 2 (1，2，1) T ； 当
20、6 时，求解线性方程组(6EA)0，解得 3 (1，1，1) T 。 下面将 1 ， 2 ， 3 单位化 则二次型在正交变换 Qy 的标准形为 f6y 2 2 6y 3 2 其中 )解析：24.已知随机变量 X 的概率密度为 f X ()a （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()根据 a d1 可得 a 1，解得 a 。 ()当 y0 时，F Y (y)0，当 y0 时， F Y (y)PYyPmax(X，X 2 )yPXy，X 2 y PXyP 从而 y 的概率密度函数为 )解析：25.设总体的概率密度为 f(；) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：矩估计量：由已知可得 则可得 ，即 的矩估计量为 。 最大似然估计量：设样本 X 1 ，X n 的取值为 1 ， n ，则对应的似然函数为 L( 1 ， n ；) 取对数得 lnL (ln2ln i ln32ln) 关于 求导得 0，则 L 随着 0 的增大而减小，即 取最小值时，L 取得最大， 因为 0 i 2(i1，2，n) i (i1，2，n)， 所以 的最大似然估计量为 max )解析：
