【考研类试卷】考研数学(数学一)模拟试卷482及答案解析.doc
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1、考研数学(数学一)模拟试卷 482 及答案解析(总分:50.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:9,分数:18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 f()具有二阶连续导数,且 f(1)0, (分数:2.00)A.f(1)是 f()的极大值。B.f(1)是 f()的极小值。C.(1,f(1)是曲线 f()的拐点坐标。D.f(1)不是 f()的极值,(1,f(1)也不是曲线 f()的拐点坐标。3.I (分数:2.00)A.0B.C.D.4.设 , 均为大于 1 的常数,则级数 (分数:2.00)A.当 时收敛。B.当 时收敛。
2、C.当 时收敛。D.当 时收敛。5.设 P(),q(),f()均是关于 的连续函数,y 1 (),y 2 (),y 3 ()是 yp()yq()yf()的 3 个线性无关的解,C 1 与 C 2 是两个任意常数,则该非齐次线性微分方程的通解为( )(分数:2.00)A.(C 1 C 2 )y 1 (C 2 C 1 )y 2 (1C 2 )y 3B.(C 1 C 2 )y 1 (C 2 C 1 )y 2 (C 1 C 2 )y 3C.C 1 y 1 (C 2 C 1 )y 2 (1C 2 )y 3D.C 1 y 1 (C 2 C 1 )y 2 (C 1 C 2 )y 36.设 A 是 54 矩阵
3、,A( 1 , 2 , 3 , 4 ),若 1 (1,1,2,1) T , 2 (0,1,0,1) T 是 A0 的基础解系,则 A 的列向量的极大线性无关组是( )(分数:2.00)A. 1 , 3B. 2 , 4C. 2 , 3D. 1 , 2 , 47.设矩阵 (分数:2.00)A.P 1 P 3 AB.P 2 P 3 AC.AP 3 P 2D.AP 1 P 38.设(X,Y)服从 D(,y) 2 y 2 a 2 上的均匀分布,则( )(分数:2.00)A.X 与 Y 不相关,也不独立。B.X 与 Y 相互独立。C.X 与 Y 相关。D.X 与 Y 均服从均匀分布 U(a,a)。9.设总
4、体 X 服从正态分布 N(0, 2 ), (分数:2.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:6,分数:12.00)10.曲面 z 2 y 2 与平面 2yz1 垂直的法线方程为 1。(分数:2.00)填空项 1:_11.设 f()sin 2 ,则 f (2017) (0) 1。(分数:2.00)填空项 1:_12.设有向量场 A2 3 yzi 2 y 2 zi 2 yz 2 k,则其散度 divA 在点 M(1,1,2)处沿方向n(2,2,1)的方向导数 (分数:2.00)填空项 1:_13.设 是空间区域(,y,z) 2 y 2 z 2 1,则 (分数:2.00)填空项 1:_14.设
5、A 为三阶非零矩阵,已知 A 的各行元素和为 0,且 ABO,真中 B (分数:2.00)填空项 1:_15.设随机变量 X 1 ,X 2 相互独立,X 1 服从正态 N(, 2 ),X 2 的分布律为 PX 2 1PX 2 1 (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:10,分数:20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_17.求极限 (分数:2.00)_18.计算 I ,其中: ()为球面 z (a0)的上侧; ()为椭球面 (分数:2.00)_19.根据 k 的不同的取值情况,讨论方程 3 3k0 实根的个数。(分数:2.00)_20.
6、设 f()在0,1上连续,在(0,1)上可导,且 f(0)f(1),证明:存在满足 01 的,使得 f()f()0。(分数:2.00)_21.设曲线积分上 L y 2 f()d2yf()dy 与路径无关,其中 f()具有二阶连续的导数,且 f(0)1,f(0)0。求 f(),并计算曲线积分 (0,0) (1,1) y 2 f()d2yf()dy。(分数:2.00)_22.讨论线性方程组 (分数:2.00)_23.设 A 是各行元素和均为零的三阶矩阵, 是线性无关的三维列向量,并满足A3,A3。 ()证明矩阵 A 能相似于对角矩阵: ()若 (0,1,1) T ,(1,0,1) T ,求矩阵 A
7、。(分数:2.00)_24.已知随机变量 X 的概率密度为 f X () (分数:2.00)_25.设 X 1 ,X 2 ,X n 是来自正态总体 N(, 2 )的简单随机样本,样本矩阵和样本方差分别为 和 S 2 (分数:2.00)_考研数学(数学一)模拟试卷 482 答案解析(总分:50.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:9,分数:18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 f()具有二阶连续导数,且 f(1)0, (分数:2.00)A.f(1)是 f()的极大值。B.f(1)是 f()的极小值。 C.(1,f(
8、1)是曲线 f()的拐点坐标。D.f(1)不是 f()的极值,(1,f(1)也不是曲线 f()的拐点坐标。解析:解析:因 0,由极限的保号性知,存在 0,当 01 时, 3.I (分数:2.00)A.0B.C.D. 解析:解析:利用洛必达法则和等价无穷小求此极限, 其中用到等价无穷小4.设 , 均为大于 1 的常数,则级数 (分数:2.00)A.当 时收敛。B.当 时收敛。 C.当 时收敛。D.当 时收敛。解析:解析:这里有三种类型的无穷大量: n (。0),q n (q1),In n(0), 其中n,它们的关系是 0,现考察此正项级数的一般项: “收敛” 1,即 因此原级数收敛 5.设 P(
9、),q(),f()均是关于 的连续函数,y 1 (),y 2 (),y 3 ()是 yp()yq()yf()的 3 个线性无关的解,C 1 与 C 2 是两个任意常数,则该非齐次线性微分方程的通解为( )(分数:2.00)A.(C 1 C 2 )y 1 (C 2 C 1 )y 2 (1C 2 )y 3B.(C 1 C 2 )y 1 (C 2 C 1 )y 2 (C 1 C 2 )y 3C.C 1 y 1 (C 2 C 1 )y 2 (1C 2 )y 3 D.C 1 y 1 (C 2 C 1 )y 2 (C 1 C 2 )y 3解析:解析:将选项 C 改写为 C 1 (y 1 y 2 )C 2
10、(y 2 y 3 )y 3 。作为非齐次方程的解,只需要满足 C 1 (y 1 y 2 )C 2 (y 2 y 3 )是对应的齐次方程组的通解,因此只需要证明(y 1 y 2 )与(y 2 y 3 )线性无关即可。 假设(y 1 y 2 )与(y 2 y 3 )线性相关,即存在不全为零的数 k 1 和 k 2 使得 k 1 (y 1 y 2 )k 2 (y 2 y 3 )0, 即 k 1 y 1 (k 2 k 1 )y 2 k 2 y 3 0。 由于 y 1 ,y 2 ,y 3 线性无关,则根据上式可得 k 1 k 2 0,与 k 1 和 k 2 不全为零矛盾,因此(y 1 y 2 )与(y
11、2 y 3 )线性无关,可见选项 C 是非齐次微分方程的通解。故选 C。6.设 A 是 54 矩阵,A( 1 , 2 , 3 , 4 ),若 1 (1,1,2,1) T , 2 (0,1,0,1) T 是 A0 的基础解系,则 A 的列向量的极大线性无关组是( )(分数:2.00)A. 1 , 3B. 2 , 4C. 2 , 3 D. 1 , 2 , 4解析:解析:由 A 1 0 知 1 2 2 3 4 0。 (1) 由 A 2 0 知 2 4 0。 (2) 因为 nr(A)2,所以 r(A)2,所以可排除选项 D; 由(2)知 2 , 4 线性相关,故应排除选项 B; 把(2)代入(1)得
12、1 2 3 0,即 1 , 3 ,线性相关,排除选项 A; 如果 2 , 3 线性相关,则 r( 1 , 2 , 3 , 4 ):r(2 3 , 2 , 3 , 2 ):r( 2 , 3 )1 与 r(A)2 相矛盾,因此 2 , 3 线性无关。故选 C。7.设矩阵 (分数:2.00)A.P 1 P 3 AB.P 2 P 3 A C.AP 3 P 2D.AP 1 P 3解析:解析:矩阵 A 作两次行变换可得到矩阵 B,而 AP 3 P 2 和 AP 1 P 3 是对矩阵 A 作列变换,故应排除 C,D。 把矩阵 A 的第 1 行的 2 倍加至第 3 行,再将 1,2 两行互换得到矩阵 B;或者
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