1、考研数学（数学一）模拟试卷 482 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f()具有二阶连续导数，且 f(1)0， （分数：2.00）A.f(1)是 f()的极大值。B.f(1)是 f()的极小值。C.(1，f(1)是曲线 f()的拐点坐标。D.f(1)不是 f()的极值，(1，f(1)也不是曲线 f()的拐点坐标。3.I （分数：2.00）A.0B.C.D.4.设 ， 均为大于 1 的常数，则级数 （分数：2.00）A.当 时收敛。B.当 时收敛。
2、C.当 时收敛。D.当 时收敛。5.设 P()，q()，f()均是关于 的连续函数，y 1 ()，y 2 ()，y 3 ()是 yp()yq()yf()的 3 个线性无关的解，C 1 与 C 2 是两个任意常数，则该非齐次线性微分方程的通解为( )（分数：2.00）A.(C 1 C 2 )y 1 (C 2 C 1 )y 2 (1C 2 )y 3B.(C 1 C 2 )y 1 (C 2 C 1 )y 2 (C 1 C 2 )y 3C.C 1 y 1 (C 2 C 1 )y 2 (1C 2 )y 3D.C 1 y 1 (C 2 C 1 )y 2 (C 1 C 2 )y 36.设 A 是 54 矩阵
3、，A( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，若 1 (1，1，2，1) T ， 2 (0，1，0，1) T 是 A0 的基础解系，则 A 的列向量的极大线性无关组是( )（分数：2.00）A. 1 ， 3B. 2 ， 4C. 2 ， 3D. 1 ， 2 ， 47.设矩阵 （分数：2.00）A.P 1 P 3 AB.P 2 P 3 AC.AP 3 P 2D.AP 1 P 38.设(X，Y)服从 D(，y) 2 y 2 a 2 上的均匀分布，则( )（分数：2.00）A.X 与 Y 不相关，也不独立。B.X 与 Y 相互独立。C.X 与 Y 相关。D.X 与 Y 均服从均匀分布 U(a，a)。9.设总
4、体 X 服从正态分布 N(0， 2 )， （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.曲面 z 2 y 2 与平面 2yz1 垂直的法线方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_11.设 f()sin 2 ，则 f (2017) (0) 1。（分数：2.00）填空项 1:_12.设有向量场 A2 3 yzi 2 y 2 zi 2 yz 2 k，则其散度 divA 在点 M(1，1，2)处沿方向n(2，2，1)的方向导数 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 是空间区域(，y，z) 2 y 2 z 2 1，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.设
5、A 为三阶非零矩阵，已知 A 的各行元素和为 0，且 ABO，真中 B （分数：2.00）填空项 1:_15.设随机变量 X 1 ，X 2 相互独立，X 1 服从正态 N(， 2 )，X 2 的分布律为 PX 2 1PX 2 1 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.求极限 （分数：2.00）_18.计算 I ，其中： ()为球面 z (a0)的上侧； ()为椭球面 （分数：2.00）_19.根据 k 的不同的取值情况，讨论方程 3 3k0 实根的个数。（分数：2.00）_20.
6、设 f()在0，1上连续，在(0，1)上可导，且 f(0)f(1)，证明：存在满足 01 的，使得 f()f()0。（分数：2.00）_21.设曲线积分上 L y 2 f()d2yf()dy 与路径无关，其中 f()具有二阶连续的导数，且 f(0)1，f(0)0。求 f()，并计算曲线积分 (0,0) (1,1) y 2 f()d2yf()dy。（分数：2.00）_22.讨论线性方程组 （分数：2.00）_23.设 A 是各行元素和均为零的三阶矩阵， 是线性无关的三维列向量，并满足A3，A3。 ()证明矩阵 A 能相似于对角矩阵： ()若 (0，1，1) T ，(1，0，1) T ，求矩阵 A
7、。（分数：2.00）_24.已知随机变量 X 的概率密度为 f X () （分数：2.00）_25.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本，样本矩阵和样本方差分别为 和 S 2 （分数：2.00）_考研数学（数学一）模拟试卷 482 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f()具有二阶连续导数，且 f(1)0， （分数：2.00）A.f(1)是 f()的极大值。B.f(1)是 f()的极小值。 C.(1，f(
8、1)是曲线 f()的拐点坐标。D.f(1)不是 f()的极值，(1，f(1)也不是曲线 f()的拐点坐标。解析：解析：因 0，由极限的保号性知，存在 0，当 01 时， 3.I （分数：2.00）A.0B.C.D. 解析：解析：利用洛必达法则和等价无穷小求此极限， 其中用到等价无穷小4.设 ， 均为大于 1 的常数，则级数 （分数：2.00）A.当 时收敛。B.当 时收敛。 C.当 时收敛。D.当 时收敛。解析：解析：这里有三种类型的无穷大量： n (。0)，q n (q1)，In n(0)， 其中n，它们的关系是 0，现考察此正项级数的一般项： “收敛” 1，即 因此原级数收敛 5.设 P(
9、)，q()，f()均是关于 的连续函数，y 1 ()，y 2 ()，y 3 ()是 yp()yq()yf()的 3 个线性无关的解，C 1 与 C 2 是两个任意常数，则该非齐次线性微分方程的通解为( )（分数：2.00）A.(C 1 C 2 )y 1 (C 2 C 1 )y 2 (1C 2 )y 3B.(C 1 C 2 )y 1 (C 2 C 1 )y 2 (C 1 C 2 )y 3C.C 1 y 1 (C 2 C 1 )y 2 (1C 2 )y 3 D.C 1 y 1 (C 2 C 1 )y 2 (C 1 C 2 )y 3解析：解析：将选项 C 改写为 C 1 (y 1 y 2 )C 2
10、(y 2 y 3 )y 3 。作为非齐次方程的解，只需要满足 C 1 (y 1 y 2 )C 2 (y 2 y 3 )是对应的齐次方程组的通解，因此只需要证明(y 1 y 2 )与(y 2 y 3 )线性无关即可。 假设(y 1 y 2 )与(y 2 y 3 )线性相关，即存在不全为零的数 k 1 和 k 2 使得 k 1 (y 1 y 2 )k 2 (y 2 y 3 )0， 即 k 1 y 1 (k 2 k 1 )y 2 k 2 y 3 0。 由于 y 1 ，y 2 ，y 3 线性无关，则根据上式可得 k 1 k 2 0，与 k 1 和 k 2 不全为零矛盾，因此(y 1 y 2 )与(y
11、2 y 3 )线性无关，可见选项 C 是非齐次微分方程的通解。故选 C。6.设 A 是 54 矩阵，A( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，若 1 (1，1，2，1) T ， 2 (0，1，0，1) T 是 A0 的基础解系，则 A 的列向量的极大线性无关组是( )（分数：2.00）A. 1 ， 3B. 2 ， 4C. 2 ， 3 D. 1 ， 2 ， 4解析：解析：由 A 1 0 知 1 2 2 3 4 0。 (1) 由 A 2 0 知 2 4 0。 (2) 因为 nr(A)2，所以 r(A)2，所以可排除选项 D； 由(2)知 2 ， 4 线性相关，故应排除选项 B； 把(2)代入(1)得
12、1 2 3 0，即 1 ， 3 ，线性相关，排除选项 A； 如果 2 ， 3 线性相关，则 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )：r(2 3 ， 2 ， 3 ， 2 )：r( 2 ， 3 )1 与 r(A)2 相矛盾，因此 2 ， 3 线性无关。故选 C。7.设矩阵 （分数：2.00）A.P 1 P 3 AB.P 2 P 3 A C.AP 3 P 2D.AP 1 P 3解析：解析：矩阵 A 作两次行变换可得到矩阵 B，而 AP 3 P 2 和 AP 1 P 3 是对矩阵 A 作列变换，故应排除 C，D。 把矩阵 A 的第 1 行的 2 倍加至第 3 行，再将 1，2 两行互换得到矩阵 B；或者
13、把矩阵 A 的 1，2两行互换后，再把第 2 行的 2 倍加至第 3 行也可得到矩阵 B，而 P 2 P 3 A 正是后者。故选 B。8.设(X，Y)服从 D(，y) 2 y 2 a 2 上的均匀分布，则( )（分数：2.00）A.X 与 Y 不相关，也不独立。 B.X 与 Y 相互独立。C.X 与 Y 相关。D.X 与 Y 均服从均匀分布 U(a，a)。解析：解析：因为 f(，y) ，由对称性 E(X)E(Y)0，E(XY)0。 于是 Cov(X，Y)E(XY)E(X)E(Y)0， 从而 XY 0，即 X 与 Y 不相关。 又 9.设总体 X 服从正态分布 N(0， 2 )， （分数：2.0
14、0）A. B.C.D.解析：解析：由题设可知， X i N(0， 2 )， 又已知 ，S 2 相互独立，则 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.曲面 z 2 y 2 与平面 2yz1 垂直的法线方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：平面 2yz1 的法向量为 (2，1，1)，曲面 z 2 y 2 的法向量 (2，2y，1)，则有 可得 1，y ，代入 z 2 y 2 ，可得 z1 ，则法线方程为 11.设 f()sin 2 ，则 f (2017) (0) 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2 2015 2017
15、）解析：解析：f()sin 2 求 2017 次导数为 0，对于 cos2,根据莱布尼茨公式可得 12.设有向量场 A2 3 yzi 2 y 2 zi 2 yz 2 k，则其散度 divA 在点 M(1，1，2)处沿方向n(2，2，1)的方向导数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据散度的公式可得 divA2 2 yz，那么 grad(divA)(4yz，2 2 z，2 2 y)， 在点 M(1，1，2)处的梯度为 grad(divA)(8，4，2)，n 单位化得 (2，2，1)，根据方向导数公式可得 13.设 是空间区域(，y，z) 2 y 2 z 2
16、 1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为积分区域为 2 y 2 z 2 1，该积分区域关于 yz 对称， 14.设 A 为三阶非零矩阵，已知 A 的各行元素和为 0，且 ABO，真中 B （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k 1 (1，2，3) T k 2 (1，1，1) T ，k 1 ，k 2 为任意常数）解析：解析：因为 ABO，所以显然有 A(1，2，3) T 0；另一方面，因为 A 的各行元素和为 0，所以A(1，1，1)T T 0。 又因为 A 为三阶非零矩阵，所以 A0 的基础解系的线性无关的解向量至多有两个，所以
17、 A0 的通解为 k 1 (1，2，3) T k 2 (1，1，1) T ，k 1 ，k 2 为任意常数。15.设随机变量 X 1 ，X 2 相互独立，X 1 服从正态 N(， 2 )，X 2 的分布律为 PX 2 1PX 2 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：分布函数的间断点即概率不为 0 的点，令 YX 1 X 2 (，)，由于 X 1 ，X 2 相互独立，则 PYaPX 2 1，X 1 aPX 2 1，X 1 a PX 2 1PX 1 aPX 2 1PX 1 a0。三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过
18、程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用泰勒公式展开可得 )解析：18.计算 I ，其中： ()为球面 z (a0)的上侧； ()为椭球面 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()积分曲面为球面，将 z (a0)代入，有 曲面的法向量为(，y，z)，故有 整理可得 dydz ddy，dzd ddy， 故 其中 D y (，y) 2 y 2 a 2 为球面在 oy 面的投影，由于曲面方向取上侧，故 ()为了避免积分区域包含原点，在(0，00)附近取球面 1 ：z ，其中半径 a 为足够小的正数，方向取内侧，在该球面以外的区域取平面
19、乏 2 0， 1，方向向下。 其中。第一个曲面积分采用高斯公式，题中所给方向为正向，记 为封闭曲面 1 2 所围区域， 由()中结论，可知 )解析：19.根据 k 的不同的取值情况，讨论方程 3 3k0 实根的个数。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f() 3 3k，R，令 f()3 2 30，解得驻点1，1，函数的单增区间为(，1)，(1，)， 单减区间为1，1，因此该函数至多有三个根。 因为函数 f()连续，根据零点定理， f()0，f(1)2k，f(1)k2f()0。 k2 时 f(1)0，f(1)0，函数在(1，)上存在唯一一个根； 2k2 时，f(1)0，f(1)0，函数
20、在每个单调区间有一根，共有三个根； k2 时 f(1)0，f(1)0，函数在(，1)存在唯一一个根； k2 时，f(1)0，f(1)0，方程在 1 处和(1，)内各有一个根，共两个根； k2 时 f(1)0，f(1)0，方程在 1 处和(，1)内各有一个根，共两个根。 综上所述，k、2 或 k2，方程有且仅有一个根；2k2，方程有三个根；k2方程有两个根。)解析：20.设 f()在0，1上连续，在(0，1)上可导，且 f(0)f(1)，证明：存在满足 01 的，使得 f()f()0。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f()在0，1上连续，在(0，1)上可导。在 上分别使用拉格朗日中值定
21、理，可知 存在 (0， )，使得 存在 ( ，1)，使得 )解析：21.设曲线积分上 L y 2 f()d2yf()dy 与路径无关，其中 f()具有二阶连续的导数，且 f(0)1，f(0)0。求 f()，并计算曲线积分 (0,0) (1,1) y 2 f()d2yf()dy。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 P(，y)y 2 f()，Q(，y)2yf()， 已知该积分与路径无关，则有 ，即 2yf()12yf()， 化简为 f()f()1，该方程为可分离变量方程，即 dx 两边同时积 分可得， f()Ce 1， 代入初始条件 f(0)0 可得C1，故 f()e 1，两边同时积分可
22、得 f()e C 1 ， 将初始条件 f(0)1 代入，可得 C 1 0，故 f()e 。 (0,0) (1,1) yf()d2yf()dy 与路径无关，则可选取折线路径简化计算， 其中 L 1 ：y0，：01，L 2 ：1，y：01， (0,0) (1,1) y 2 f()d2yf()dy (0,0) (1,1) y 2 (e 1)d2y(e 1)dy y 2 (e 1)d2y(e 1)dy )解析：22.讨论线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：系数矩阵为 A ，增广矩阵为 从而A(a3)(a1) 3 当a3 且 a1 时，方程组有唯一解； 当 a=1 时，r(a)r(A，
23、b)1，方程组有无穷多解，对增广矩阵作初等变换 从而所对应的齐次方程组的基础解系为 1 (1，1，0，0) T ， 21 (1，0，1，0) T ， 3 ：(1，0，0，1) T ， 特解为 * (1，0，0，0) T ，则方程通解为 * k 1 1 k 2 2 k 3 3 ，k 1 ，k 2 ，k 3 为任意常数。 当 a3 时，r(A)r(A，b)3，方程组有无穷多解对增广矩阵作初等变换 )解析：23.设 A 是各行元素和均为零的三阶矩阵， 是线性无关的三维列向量，并满足A3，A3。 ()证明矩阵 A 能相似于对角矩阵： ()若 (0，1，1) T ，(1，0，1) T ，求矩阵 A。（分
24、数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因为 A 的各行元素和为零，从而 0 为 A 的一个特征值，并且(1，1，1) T 为 A 属于 0 的特征向量。 另一方面，又因为 A3，A3，所以 A()3()，A()3()， 3 和 3 为 A 的两个特征值，并且 和 为 A 属于 3，3 的特征向量，可见 A 有三个不同的特征值，所以 A 能相似于对角矩阵。 ()A 的三个特征向量为 (1，1，1) T ，(1，1，0) T ，(1，1，2) T ， 令P(，)， 则 PAP所以 )解析：24.已知随机变量 X 的概率密度为 f X () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由题知当
25、 0 时 f YX (y) 则 f(，y)f X ().f YX (y) 当 0 时，f(，y)0。 故 f(，y) ()f Y (y) f(，y)d 当 y0 时， )解析：25.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本，样本矩阵和样本方差分别为 和 S 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意 E(T) 2 ，而 E( kS 2 )E( )kE(S 2 ) 因为 所以 即 E(T) ) 2 k 2 2 。 因为 X 和 S 2 独立，所以 D(T)D( )k 2 D(S 2 ) 当 0 时， 再由 2 (n1)可得 2(n1) 从而 D(S 2 ) ，所以 D(T) )解析：
