1、考研数学（数学一）模拟试卷 494 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)在(a，b)内可导，下述结论正确的是（分数：2.00）A.设 f(x)在(a，b)内只有一个零点，则 f(x)在(a，b)内没有零点B.设 f(x)在(a，b)内至少有一个零点，则 f(x)在(a，b)内至少有两个零点C.设 f(x)在(a，b)内没有零点，则 f(x)在(a，b)内至多有一个零点D.设 f(x)在(a，b)内没有零点，则 f(x)在(a，b)内至多有一
2、个零点3.二次曲面 yzzx 一 xy1 为（分数：2.00）A.椭球面B.单叶双曲面C.双叶双曲面D.锥面4.幂级数 （分数：2.00）A.(一 2，2)B.一 2，2C.(一 8，8)D.一 8，85.由方程 2y 3 一 2y 2 2xyy 一 x 2 0 确定的函数 yy(x)（分数：2.00）A.没有驻点B.有唯一驻点，但不是极值点C.有唯一驻点为极小值点D.有唯一驻点为极大值点6.设 A，B，C，D 是四个 4 阶矩阵，其中 A，D 为非零矩阵，B，C 可逆，且满足 ABCDO，若 r(A )r(B )r(C )r(D )r，则 r 的取值范围是（分数：2.00）A.r10B.10
3、r12C.12r16D.r167.下列二次型中，正定二次型是 （分数：2.00）A.B.C.D.8.设 ZN(0，1)，令 XZ，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，则当 n时，Y n （分数：2.00）A. 3 B. 4 C. 3 3 2 D. 4 3 2 3 9.某大学学生身高 XN(， 2 )，其中 ， 2 均未知从总体中抽取 X 1 ，X 2 ，X 16 共 16个样本，假设检验问题为 H 0 ：140 cm，H 1 ：140 cm 由样本观察值计算得 （分数：2.00）A.接受 H 0 ，可能会犯第二类错误B.拒绝 H 0 ，可能会犯第二类错误C.接受 H 0
4、 ，可能会犯第一类错误D.拒绝 H 0 ，可能会犯第一类错误二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设常数 a0，曲线 （分数：2.00）填空项 1:_11. 1 （分数：2.00）填空项 1:_12.由参数式 （分数：2.00）填空项 1:_13.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_14.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，X 3 )x T Ax 的正惯性指数为 1，又矩阵 A 满足 A 2 2A3E，则此二次型的规范形是 1（分数：2.00）填空项 1:_15.在一个袋中装有 a 个白球，b 个黑球，每次摸一球且摸后放回重复 n 次已知摸到白球 k 次的条件下，事件 B 发生的
5、概率为 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：32.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_17.求曲面 9x 2 16y 2 144x 2 169 上的点到平面 3x 一 4y12z156 的距离 d 的最大值（分数：2.00）_18.设 l 为自点 O(0，0)沿曲线 ysin x 至点 A(，0)的有向弧段，求平面第二型曲线积分 （分数：2.00）_19.设 x 与 y，均大于 0 且 xy证明： （分数：2.00）_20.设 (x，y，z) |x 2 y 2 3z，1z4，求三重积分 （分数：2.00）_设幂级数 在它的收敛区间内是微分方程
6、 （分数：4.00）(1).求该幂级数的系数 a n 的表达式(n0，1，2，)；（分数：2.00）_(2).由()的结果求该幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域（分数：2.00）_A 是 3 阶矩阵，有特征值 1 2 2，对应两个线性无关的特征向量为 1 ， 2 ， 3 2对应的特征向量是 3 （分数：6.00）(1).问 1 2 是否是 A 的特征向量?说明理由；（分数：2.00）_(2). 2 3 是否是 A 的特征向量?说明理由；（分数：2.00）_(3).证明：任意 3 维非零向量 都是 A 2 的特征向量，并求对应的特征值（分数：2.00）_设 A 是 n 阶矩阵，A 的第 i 行、
7、第 j 列的元素 a ij ij（分数：4.00）(1).求 r(A )；（分数：2.00）_(2).求 A 的特征值、特征向量，并问 A 能否相似于对角阵，若能，求出相似对角阵；若不能，则说明理由（分数：2.00）_已知随机变量 X 与 Y 的部分联合分布列、边缘分布列如下表，且 （分数：6.00）(1).a，b，c，d；（分数：2.00）_(2).PminX，Y)1；（分数：2.00）_(3).Cov(X，Y)（分数：2.00）_设总体 X 的概率密度为 （分数：4.00）(1).利用原点矩求 的矩估计量 （分数：2.00）_(2).求 的最大似然估计量 （分数：2.00）_考研数学（数学
8、一）模拟试卷 494 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)在(a，b)内可导，下述结论正确的是（分数：2.00）A.设 f(x)在(a，b)内只有一个零点，则 f(x)在(a，b)内没有零点B.设 f(x)在(a，b)内至少有一个零点，则 f(x)在(a，b)内至少有两个零点C.设 f(x)在(a，b)内没有零点，则 f(x)在(a，b)内至多有一个零点 D.设 f(x)在(a，b)内没有零点，则 f(x)在(a，b)内至多有一个零点解
9、析：3.二次曲面 yzzx 一 xy1 为（分数：2.00）A.椭球面B.单叶双曲面 C.双叶双曲面D.锥面解析：4.幂级数 （分数：2.00）A.(一 2，2)B.一 2，2C.(一 8，8) D.一 8，8解析：5.由方程 2y 3 一 2y 2 2xyy 一 x 2 0 确定的函数 yy(x)（分数：2.00）A.没有驻点B.有唯一驻点，但不是极值点C.有唯一驻点为极小值点 D.有唯一驻点为极大值点解析：6.设 A，B，C，D 是四个 4 阶矩阵，其中 A，D 为非零矩阵，B，C 可逆，且满足 ABCDO，若 r(A )r(B )r(C )r(D )r，则 r 的取值范围是（分数：2.0
10、0）A.r10B.10r12 C.12r16D.r16解析：7.下列二次型中，正定二次型是 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：8.设 ZN(0，1)，令 XZ，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，则当 n时，Y n （分数：2.00）A. 3 B. 4 C. 3 3 2 D. 4 3 2 3 解析：9.某大学学生身高 XN(， 2 )，其中 ， 2 均未知从总体中抽取 X 1 ，X 2 ，X 16 共 16个样本，假设检验问题为 H 0 ：140 cm，H 1 ：140 cm 由样本观察值计算得 （分数：2.00）A.接受 H 0 ，可能会犯第二类错误B.拒绝
11、H 0 ，可能会犯第二类错误C.接受 H 0 ，可能会犯第一类错误D.拒绝 H 0 ，可能会犯第一类错误 解析：二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设常数 a0，曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xy2a，za）解析：解析： 将 x 看成自变量，方程两边对 x 求导，得 yzxyzxyz0 及 xyyaz将 (x，y，z)(a，a，a)代入，得 y(a)z(a)一 l，y(a)z(a)一 1，解得 y(a)一1，z(a)0所以切线方程为：11. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：用球面坐标，则 原式12.由参数式
12、 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：x ，当 t0 时对应的点为 故曲率为 k13.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：此为欧拉方程令 xe，于是 所以原方程化为 按 y 对 t 的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法解之，得通解 y14.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，X 3 )x T Ax 的正惯性指数为 1，又矩阵 A 满足 A 2 2A3E，则此二次型的规范形是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 由 A 2 一 2A3E 知，A 2 一 2A 一 3E(A 一
13、3E)(AE)O，且 A一 E，A3E，因此|A一 3E|0 且|AE|0A 有特征值 1 3， 2 一 1 因为 A 的正惯性指数 p1，故规范形为 15.在一个袋中装有 a 个白球，b 个黑球，每次摸一球且摸后放回重复 n 次已知摸到白球 k 次的条件下，事件 B 发生的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 由题意，每次摸一球且摸后放回重复 n 次实质为 n 重独立重复试验，则每次摸到白球的概率记为 p*设事件 A k 在 n 重独立重复试验中摸到白球 k 次，则* 由全概率公式得 P(B) *三、解答题(总题数：10，分数：32.00)16.解
14、答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：17.求曲面 9x 2 16y 2 144x 2 169 上的点到平面 3x 一 4y12z156 的距离 d 的最大值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用几何方法由所给方程知，曲面 9x 2 16y 2 144z 2 169 是一个椭球面，经过该椭球面上的点 P(x 0 ，y 0 ，z 0 )作椭球面的切平面，使与平面 3x4y12z156 平行，这种切点 P 有两个，到平面 3x4y12z156 距离大的那个距离即为所求现在按此思路去做 设切点为 P(x 0 ，y 0 ，z 0 )，则该切平面在点 P 的法向量 n(18x 0 ，
15、32y 0 ，288z 0 )(3，一 4，12)， 所以 ，从而 代入所给曲面方程 9x 2 16y 2 144z 2 169，得 于是得两个切点 由点到平面 3x 一 4y12z156 的距离公式 将(x 0 ，y 0 ，z 0 ) 1 与(x 0 ，y 0 ，z 0 ) 2 分别代入得 )解析：18.设 l 为自点 O(0，0)沿曲线 ysin x 至点 A(，0)的有向弧段，求平面第二型曲线积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 I )解析：19.设 x 与 y，均大于 0 且 xy证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不妨认为 yx0(因若 xy0，则变换所给
16、不等式左边的 x 与 y，由行列式的性质知，左边的值不变)，则 由柯西中值定理知，存在 (x，y)使上式 )解析：20.设 (x，y，z) |x 2 y 2 3z，1z4，求三重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用柱面坐标，dvrdrddz， )解析：设幂级数 在它的收敛区间内是微分方程 （分数：4.00）(1).求该幂级数的系数 a n 的表达式(n0，1，2，)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设 在它的收敛区间内是所给微分方程的一个解，将所给幂级数代入微分方程可求出系数 a n (n0，1，2，)如下： 代入所给方程，得 得 )解析：(2).由()的结果求该幂
17、级数的收敛半径、收敛区间及收敛域（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由()知 收敛半径 R1，收敛区间为(一 1，1) 下面证明 发散， 收敛，所以该幂级数的收敛域为一 1，1)事实上，由 知a n 单调减少又 所以 发散.又 所以 条件收敛， )解析：A 是 3 阶矩阵，有特征值 1 2 2，对应两个线性无关的特征向量为 1 ， 2 ， 3 2对应的特征向量是 3 （分数：6.00）(1).问 1 2 是否是 A 的特征向量?说明理由；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因已知 A 1 2 1 ，A 2 2 2 ，故 A( 1 2 )A 1 A 2 2 1 2 2 2( 1 2
18、)，故 1 2 仍是 A 的对应于 1 2 2 的特征向量)解析：(2). 2 3 是否是 A 的特征向量?说明理由；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 2 3 不是 A 的特征向量假设是，设其对应的特征值为 ，则有 A( 2 3 )( 2 3 )， 得 2 2 一 2 3 一 2 一 3 (2 一 ) 2 一(2) 3 0 因 2 一 和 2 不同时为零，故 2 ， 3 线性相关，这和不同特征值对应的特征向量线性无关矛盾，故 2 3 不是 A 的特征向量)解析：(3).证明：任意 3 维非零向量 都是 A 2 的特征向量，并求对应的特征值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因
19、A 有特征值 1 2 2， 3 一 2，故 A 2 有特征值 1 2 3 4对应的特征向量仍是 1 ， 2 ， 3 ，且 1 ， 2 ， 3 线性无关故存在可逆矩阵P( 1 ， 2 ， 3 )，使得 P 1 A 2 P4E，A 2 P(4E)P 1 4E， 从而对任意的 0，有 A 2 4E4，故知任意非零向量 都是 A 2 的对应于 4 的特征向量)解析：设 A 是 n 阶矩阵，A 的第 i 行、第 j 列的元素 a ij ij（分数：4.00）(1).求 r(A )；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 法一 (I)由题设条件知 故 r(A)1 ()由 A 的特征多项式 故 A有特征
20、值 1 2 n1 0， n 当 1 2 n1 0 时，方程组(E 一 A)x0 就是方程组 Ax0，其同解方程是 x 1 2x 2 nx n 0，解得对应的特征向量为k 1 1 k 2 2 k n1 n1 ，其中 1 (2,1,0,0) T ， 2 (一3，0，1，0，0) T ， n1 ，(一 n，0，0，1) T ，k 1 ，k 2 ，k n1 为不全为零的任意常数 当 时，( n EA)x0，对系数矩阵作初等行变换，得 方程组的同解方程组为 解得对应的特征向量为 k n n ，其中 n (1，2，n) T ，k n 为任意的非零常数 从而知 A 有 n 个线性无关的特征向量，A，取 法二
21、 (I)由题设条件 A ，A 中第 i 行元素是第 1 行的 i 倍，故有 )解析：(2).求 A 的特征值、特征向量，并问 A 能否相似于对角阵，若能，求出相似对角阵；若不能，则说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 A 2 (aa T )(aa T )a(a T a)a T (a T a)A ，故知 A 的特征值为0， 当 0 时，对应的特征向量满足 Axaa T x0，因 a T a 0，在方程 aa T x0 两端左边乘 a T 得 a T (aa T x)(a T a)a T x0，得 a T x0 当 a T x0 时，两边左边乘a，得 aa T x0，故方程组 aa
22、 T x0 与 a T x0 同解解方程 a T x0，得线性无关的特征向量为 1 (一 2，1，0，0) T ， 2 (一 3，0，1，0，0) T ， n1 ，(一 n，0，0，1) T ， 因此对应于 0 的特征向量为 k 1 1 k 2 2 k n1 n1 ，k 1 ，k 2 ，k n1 ，为不全为零的任意常数 又 tr(A) 0,故 A 有一个非零特征值 n 当 n a T a 时，由 n EA)x(a T aE 一 aa T )x0，当 xa 时，有 (a T aEaa T )a(a T a)a一(aa T )a(a T a)a 一 a(a T a)0， 故 n k n (1，2，
23、n) T (k n 0)是对应于 n )解析：已知随机变量 X 与 Y 的部分联合分布列、边缘分布列如下表，且 （分数：6.00）(1).a，b，c，d；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 所以 )解析：(2).PminX，Y)1；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由()可以得到联合分布列、边缘分布列为 所以 PminX，Y)1)1 一PminX，Y)1)1 一 PX1，Y1 1 一 PX1，Y1一 PX1，Y2 )解析：(3).Cov(X，Y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由上易知 )解析：设总体 X 的概率密度为 （分数：4.00）(1).利用原点矩求 的矩估计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 EX 0,故采用二阶原点矩进行矩估计，由 得到 由于 ， 所以 )解析：(2).求 的最大似然估计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x 1 ，x 2 ，x n 为样本观测值，似然函数为 令 0，解得 由于 )解析：
