1、考研数学（数学一）模拟试卷 499 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x) （分数：2.00）A.f(x)无界，g(x)有界B.f(x)有界，g(x)无界C.f(x)与 g(x)都有界D.f(x)与 g(x)都无界3.设 f(x，y)|x 一 y|(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0)的某邻域内连续则 (0，0)0 是 f(x，y)在点(0，0)处可微的（分数：2.00）A.必要条件而非充分条件B.充分条件而非必要条件C.充分必要条件D.
2、既非充分又非必要条件4.下列反常积分发散的是（分数：2.00）A.B.C.D.5.设 f(x，y) （分数：2.00）A.两个偏导数都存在，函数也连续B.两个偏导数都存在，但函数不连续C.偏导数不存在，但函数连续D.偏导数不存在，函数也不连续6.设 n 维向量 1 ， 2 ， 3 满足 1 2 2 3 3 0，对任意的 n 维向量 ，向量组 1 a， 2 b， 3 线性相关，则参数 a，b 应满足条件（分数：2.00）A.abB.a一 bC.a2bD.a一 2b7.设 A 是一个 n 阶矩阵，先交换 A 的第 i 列与第 j 列，然后再交换第 i 行和第 j 行，得到的矩阵记成 B，则下列五个
3、关系 (I)|A|B|；()r(A)r(B)；()AB；(IV)AB；(V)AB 中正确的有（分数：2.00）A.2 个B.3 个C.4 个D.5 个8.设 （分数：2.00）A.B.C.D.9.设 X，X 2 ，,X n 是来自总体 X 的简单随机样本， （分数：2.00）A.B.C.由切比雪夫不等式知 PD.若 为未知参数，则样本均值二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 n 为正整数，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x)在区间a，)上存在二阶导数，且 0，其中 a，b 均为常数，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 l 为圆周 (a0)一周，则空间第
4、一型曲线积分 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 S 为球面 x 2 y 2 z 2 R 2 被锥面 z 截下的小的那部分，并设其中 A，B，R 均为正常数且 AB，则第一型曲面积分 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 A （分数：2.00）填空项 1:_15.已知随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 的方差都是 2 ，任意两个随机变量之间的相关系数都是 ，则 的最小值 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：28.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_17.设有向曲面 S：zx 2 y 2 ，x0，zl，法向量与 z 轴正向夹角为锐
5、角 求第二型曲面积分 （分数：2.00）_18.设 zz(x，y)具有二阶连续偏导数，试确定常数 a 与 b，使得经变换 uxay，uxby，可将 z 关于 x，y 的方程 0 化为 z 关于 u，v 的方程 （分数：2.00）_19.设 a 为正常数，f(x)xe a 一 ae x xa证明：当 xa 时，f(x)0（分数：2.00）_设 n 为正整数，f(x)x n x 一 1（分数：4.00）(1).证明：对于给定的 n，f(x)在(0，)内存在唯一的零点 x n ；（分数：2.00）_(2).对于()中的 x n ，证明 （分数：2.00）_20.求平面 P 的方程，已知 P 与曲面
6、zx 2 y 2 相切，并且经过直线 L： （分数：2.00）_设 A，B 是 n 阶矩阵（分数：4.00）(1).A 是什么矩阵时，若 ABA，必有 BEA 是什么矩阵时，有 BE，使得 ABA；（分数：2.00）_(2).设 A （分数：2.00）_设 A 是 n 阶正定矩阵，x 是 n 维列向量，E 是 n 阶单位矩阵，记 P （分数：4.00）(1).计算 PW；（分数：2.00）_(2).写出二次型 f|w|的矩阵表达式，并讨论 f 的正定性（分数：2.00）_设随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 P(0p1)的几何分布，令 ZXY，求：（分数：4.00）(1).Z 的概率
7、分布；（分数：2.00）_(2).X 与 Z 的相关系数（分数：2.00）_设总体 X 的概率密度 f(x) （分数：4.00）(1).用原点矩求 ， 的矩估计量；（分数：2.00）_(2).求 ， 的最大似然估计量（分数：2.00）_考研数学（数学一）模拟试卷 499 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x) （分数：2.00）A.f(x)无界，g(x)有界B.f(x)有界，g(x)无界 C.f(x)与 g(x)都有界D.f(x)与 g(
8、x)都无界解析：3.设 f(x，y)|x 一 y|(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0)的某邻域内连续则 (0，0)0 是 f(x，y)在点(0，0)处可微的（分数：2.00）A.必要条件而非充分条件B.充分条件而非必要条件C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件解析：4.下列反常积分发散的是（分数：2.00）A.B.C. D.解析：5.设 f(x，y) （分数：2.00）A.两个偏导数都存在，函数也连续B.两个偏导数都存在，但函数不连续C.偏导数不存在，但函数连续 D.偏导数不存在，函数也不连续解析：6.设 n 维向量 1 ， 2 ， 3 满足 1 2 2 3 3 0，对任意的 n 维
9、向量 ，向量组 1 a， 2 b， 3 线性相关，则参数 a，b 应满足条件（分数：2.00）A.abB.a一 bC.a2b D.a一 2b解析：7.设 A 是一个 n 阶矩阵，先交换 A 的第 i 列与第 j 列，然后再交换第 i 行和第 j 行，得到的矩阵记成 B，则下列五个关系 (I)|A|B|；()r(A)r(B)；()AB；(IV)AB；(V)AB 中正确的有（分数：2.00）A.2 个B.3 个C.4 个D.5 个 解析：8.设 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：9.设 X，X 2 ，,X n 是来自总体 X 的简单随机样本， （分数：2.00）A.B.C.由切比雪夫不等式
10、知 P D.若 为未知参数，则样本均值解析：二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 n 为正整数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：）解析：解析： 所以11.设 f(x)在区间a，)上存在二阶导数，且 0，其中 a，b 均为常数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：取常数 h0，在区间x，xh上用泰勒公式： 于是有 令 x有 ，并且由已知 ，有12.设 l 为圆周 (a0)一周，则空间第一型曲线积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由轮换对称性知， ，所以 而 为 l 的全长，
11、l 是平面 xyza 上的圆周，点 O(0，0，0)到此平面的距离为 d ,所以 l 的半径 为 所以13.设 S 为球面 x 2 y 2 z 2 R 2 被锥面 z 截下的小的那部分，并设其中 A，B，R 均为正常数且 AB，则第一型曲面积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：球面与锥面的交线在 xOy 平面上的投影曲线的方程为(A1)x 2 (B1)y 2 R 2 ，则相应的投影区域为 D(x，y)|(A1)x 2 (B1)y 2 R 2 球面(上部)方程为 z 则 其中 S D 为投影区域 D 的面积由于 D 是个椭圆，故 ，所以 14.设 A （分
12、数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：设 B 即解方程组 两个方程一起求解对增广矩阵作初等行变换 得 A 故 B 15.已知随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 的方差都是 2 ，任意两个随机变量之间的相关系数都是 ，则 的最小值 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：D(X 1 X 2 X 3 )D(X 1 )D(X 2 )D(X 3 )2Cov(X 1 ，X 2 )2Cov(X 1 ，X 2 )2Cov(X 2 ，X 3 ) 3 2 6p 2 3 2 (12p)0， 所以 三、解答题(总题数：10，分数：28.00)16.解
13、答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：17.设有向曲面 S：zx 2 y 2 ，x0，zl，法向量与 z 轴正向夹角为锐角 求第二型曲面积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 D 1 (y，z)|y 2 z1)，D 2 (z，x)|x 2 z1，x0，则 )解析：18.设 zz(x，y)具有二阶连续偏导数，试确定常数 a 与 b，使得经变换 uxay，uxby，可将 z 关于 x，y 的方程 0 化为 z 关于 u，v 的方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：z 与 x，y 的复合关系为： 于是 代入所给方程，得 0 按题意，应取 14a3a 2 0，14b
14、3b 2 0，24(ab)6ab0 解得 由 可知 ，其中 (v)为 v 的任意的可微函数 于是 z 其中 (u)为 u 的任意的可微函数，(v)为 (v)的一个原函数 取 a ，b1 时，得 z 取 a1，b 时，得 z )解析：19.设 a 为正常数，f(x)xe a 一 ae x xa证明：当 xa 时，f(x)0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(a)0，f(x)e a 一 ae x 一 1，f(x)一 ae x 0 令 (a)f(a)e a -ae a 一 1，又因为 ，所以 (a)0(a0)， 即 f(a)0 (a0)将 f(x)在 xa 处按2 阶泰勒公式展开： f(x
15、) )解析：设 n 为正整数，f(x)x n x 一 1（分数：4.00）(1).证明：对于给定的 n，f(x)在(0，)内存在唯一的零点 x n ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x(0，)时，f(x)nx n-1 10，所以在区间(0，)上 f(x)至多只有一个零点，又 f(0)一 10，f(1)10，所以 f(x)在(0，)上存在唯一零点，记为 x n ，且 x n (0，1)，此时 f(x n )0)解析：(2).对于()中的 x n ，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：下面证数列xx n 单调增加由 两式相减，得 但因 0 1，所以 于是有 0 上式第 2
16、 个括号内为正，所以 0，即数列x n 严格单调增加且有上界 1，所以 存在， 记 a，0a1以下证 a1用反证法，如果0a1，将 )解析：20.求平面 P 的方程，已知 P 与曲面 zx 2 y 2 相切，并且经过直线 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：经过直线 L： 的平面束方程为 6yz1(x 一 5yz 一 3)0 【注】 ， 即 x(65)y(1 一 )z130 它与曲面 zx 2 y 2 相切，设切点为 M(x 0 ，y 0 ，z 0 )于是该曲面在点 M 处的法向量为 n(2x 0 ，2y 0 ，一 1)从而 此外，点 M(x 0 ，y 0 ，z 0 )还应满足 及
17、 将(*)，(*)，(*)联立，解得 2，(x 0 ，y 0 ，z 0 )(1，一 2，5)，或 )解析：设 A，B 是 n 阶矩阵（分数：4.00）(1).A 是什么矩阵时，若 ABA，必有 BEA 是什么矩阵时，有 BE，使得 ABA；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 A 是可逆矩阵时，若 ABA，两端左边乘 A -1 ，必有 BE；当 A 不可逆时，有BE，使得 ABA 因 A 不可逆时Ax0 有非零解，设 A i 0(i1，2，n)，合并得 A( 1 ， 2 ， n )O 令( 1 ， 2 ，, n )BE 即 B( 1 ， 2 ，, n )EE，则A(BE)O，得 ABA
18、，其中 BEO，BE)解析：(2).设 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Ax 0 有解 k 取 X ,则 ，其中 k，l 是不同时为零的任意常数 令 BE 得 BE ，即为 A )解析：设 A 是 n 阶正定矩阵，x 是 n 维列向量，E 是 n 阶单位矩阵，记 P （分数：4.00）(1).计算 PW；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：PW )解析：(2).写出二次型 f|w|的矩阵表达式，并讨论 f 的正定性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因|P| ，故 f 的矩阵表达式为： f|w|P| |W|PW| |A|?(x T A -1 x) 由 A 是正定矩阵知
19、，|A|0，且 A 的特征值 i 0(i1，2，n)，A * 的特征值为 )解析：设随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 P(0p1)的几何分布，令 ZXY，求：（分数：4.00）(1).Z 的概率分布；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 与 Y 相互独立且都服从参数为 p 的几何分布，PXkP(1 一 p) k-1 ，k1，2，故 ZXY 的取值为 2，3，则 PZz )解析：(2).X 与 Z 的相关系数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 与 Y 相互独立，则 D(XY)DXDY，Cov(X，Y)0则 )解析：设总体 X 的概率密度 f(x) （分数：4.00）(1).用原点矩求 ， 的矩估计量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：EX E(X 2 ) 于是，由矩估计思想， 一 2 再开平方得 所以 ， 的矩估计量为 )解析：(2).求 ， 的最大似然估计量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为似然函数为 L(x 1 ，X n ；，) 于是 x i ，i1，n 时， ln L 由此可知 1n L 关于 单调增加，即 L(x 1 ，x n ；，)关于 单调增加， 又因为 ,故 的最大似然估计量为 令 ,解得 的最大似然估计量为 )解析：
