1、考研数学（数学二）-试卷 2 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.当 x0 + 时，与 等价的无穷小量是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设函数 f(x)在点 x=a 处可导，则函数f(x)在点 x=a 处不可导的充分条件是( )（分数：2.00）A.f(a)=0 且 f “ (a)=0B.f(a)=0 且 f “ (a)0C.f(a)0 且 f “ (a)0D.f(a)“ (a)04.设 f(x，y)= （分数：2.00）A.f x “
2、(0，0)，f y “ (0，0)都存在B.f x “ (0，0)不存在，f y “ (0，0)存在C.f x “ (0，0)存在，f y “ (0，0)不存在D.f x “ (0，0)，f y “ (0，0)都不存在5.设 （分数：2.00）A.I 3 I 2 I 1B.I 1 I 2 I 3C.I 2 I 1 I 3D.I 3 I 1 I 26.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.处处可导B.恰有一个不可导点C.恰有两个不可导点D.至少有三个不可导点7.设 （分数：2.00）A.(1+e) 3/2 +1B.(1+e -1 ) 3/2 -1C.(1+e -1 ) 3/2 +1D.(1+
3、e) 3/2 -18.向量组 a 1 ，a 2 a m 线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.向量组 a 1 ，a 2 a m ， 线性无关B.存在一组不全为零的常数 k 1 ，k 2 k m ，使得 k 1 a 1 +k 2 a 2 +k m a m 0C.向量组 a 1 ，a 2 a m 的维数大于其个数D.向量组 a 1 ，a 2 a m 的任意一个部分向量组线性无关9.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则( )（分数：2.00）A.E-A=E-BB.A 与 B 有相同的特征值和特征向量C.A 与 B 都相似于一个对角矩阵D.对任意常
4、数 t，tE-A 与 tE-B 相似二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.极限 （分数：2.00）填空项 1:_11.已知 x y =y x ，则 y “ = 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 dy/dx=xln(1+x 2 )，且 y(0)=1/2，则 y(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 f(x)二阶连续可导，且 f(0)=1，f(2)=3，f “ (2)=5，则 0 1 xf “ (2x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_15.设向量组 a 1 ，a 2 ，a 3 线性无关，且 a 1 +aa 2
5、 +4a 3 ，2a 1 +a 2 -a 3 ，a 2 +a 3 线性相关，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设 z=f(2x-y，ysinx)，其中 f(u，v)具有连续的二阶偏导数，求 （分数：2.00）_18.已知 （分数：2.00）_19.设 a，b 为正常系数， 为非负常数，微分方程 dy/dx +ay=be -x ()求该方程的通解； ()证明：当 =0 时， （分数：2.00）_20.设函数 f(x)在0，+上连续，且 f(0)0，已知经在0，x上的
6、平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均值，求 f(x)（分数：2.00）_21.求微分方程 y “ +5y “ +6y=2e -x 的通解（分数：2.00）_22.设 f(x)在0，1上连续且递减，证明：当 01 时， 0 f(x)dx 0 1 f(x)dx（分数：2.00）_23.已知曲线 L 的方程为 （分数：2.00）_24.已知 4 阶方阵 A=(a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 )，a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 均为 4 维列向量，其 a 2 ，a 3 ，a 4 线性无关，a 1 =2a 2 -a 3 ，如果 =a 1 +a 2 +a 3 +a 4 ，求线性方程组 A
7、x= 的通解（分数：2.00）_25.设 A 是 n 阶正定矩阵，E 是 n 阶单位阵，证明 A+E 的行列式大于 1（分数：2.00）_考研数学（数学二）-试卷 2 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.当 x0 + 时，与 等价的无穷小量是( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：当 x0 时，(A)选项 (B)选项 (C)选项 (D)选项3.设函数 f(x)在点 x=a 处可导，则函数f(x)在点 x=a 处不可导的充分条件是(
8、)（分数：2.00）A.f(a)=0 且 f “ (a)=0B.f(a)=0 且 f “ (a)0 C.f(a)0 且 f “ (a)0D.f(a)“ (a)0解析：解析：举反例 关于(A)，令 f(x)=x 2 ，a=0，则 f(a)=f “ (a)=0，但f(x)=x 2 在 x=0 可导， 因此(A)不正确；关于(C)，令 f(x)=x，a=1，则 f(a)=10，f “ (a)=10， 但f(x)=x在 x=1 可导，所以(C)也可排除；关于(D)，令 f(x)=-x，a=1， 则 f(a)=-10，f “ (a)=-10，但f(x)=x在 x=1 也可导，即(D)也可排除； 关于(B
9、)的正确性证明如下：设 f(a)=0，f “ (a)0，不失一般性，设 f “ (a)0， 则 ，因而在点 x=a 左侧八戈)0，右侧 f(x)0，记 (x)=f(x)， 4.设 f(x，y)= （分数：2.00）A.f x “ (0，0)，f y “ (0，0)都存在B.f x “ (0，0)不存在，f y “ (0，0)存在 C.f x “ (0，0)存在，f y “ (0，0)不存在D.f x “ (0，0)，f y “ (0，0)都不存在解析：解析：因为 又 ，所以 f x “ (0，0)不存在； 又 f y “ (0，0)= 5.设 （分数：2.00）A.I 3 I 2 I 1 B.
10、I 1 I 2 I 3C.I 2 I 1 I 3D.I 3 I 1 I 2解析：解析：由题意可知，积分区域 D 上有(x 2 +y 2 )x 2 +y 2 (等号仅在区域 D 的边界上成立)，于是在积分区域 D 上有 cos(x 2 +y 2 ) 2 cos(x 2 +y 2 )cos 6.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.处处可导B.恰有一个不可导点C.恰有两个不可导点 D.至少有三个不可导点解析：解析：此题可先求 f(x)的表达式，再结合 f(x)的函数图形求得 因为 所以 根据 y=f(x)的表达式以及其函数图形(见图)，可以得知 f(x)在 x=1 处不可导(图形是尖点)所以选
11、(C)7.设 （分数：2.00）A.(1+e) 3/2 +1B.(1+e -1 ) 3/2 -1 C.(1+e -1 ) 3/2 +1D.(1+e) 3/2 -1解析：解析：由题设 所以 由于 所以8.向量组 a 1 ，a 2 a m 线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.向量组 a 1 ，a 2 a m ， 线性无关B.存在一组不全为零的常数 k 1 ，k 2 k m ，使得 k 1 a 1 +k 2 a 2 +k m a m 0C.向量组 a 1 ，a 2 a m 的维数大于其个数D.向量组 a 1 ，a 2 a m 的任意一个部分向量组线性无关 解析：解析：(A)不对，因为
12、 a 1 ，a 2 ，a m ， 线性无关有 a 1 ，a 2 ，a m 线性无关，但反之不成立；(B)不对，因为 a 1 ，a 2 ，a m 线性无关，则对任意一组非零常数 k 1 ，k 2 ，k m 使得 k 1 a 1 +k 2 a 2 +k m a m 0，但反之不成立；(C)向量组 a 1 ，a 2 ，a m 线性无关不能得到其维数大于其个数，如 9.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则( )（分数：2.00）A.E-A=E-BB.A 与 B 有相同的特征值和特征向量C.A 与 B 都相似于一个对角矩阵D.对任意常数 t，tE-A 与 tE-B
13、 相似 解析：解析：由题设，若 A 与 B 相似，则A-E=B-E，即 A 与 B 的特征值相同，若 A-E=B-E，则 A 与 B 相似，但是 A 与 B 相似并不能得出 A-E=B-E 的结论，由此可知(A)，(B)不正确；此外，相似矩阵 A，B 不一定可以对角化，即不一定相似于对角阵，所以(C)也可排除；关于(D)的正确性证明如下：已知 A 相似于 B，则在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=B，则 P -1 (tE-A)P=P -1 tEP-P -1 AP=tE-B，从而tE-A 与 tE-B 相似综上选(D)二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.极限 （分数：2.00）填空
14、项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因 ，且 sinx 和 cosx 均为有界函数，故11.已知 x y =y x ，则 y “ = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 x y =y 2 ，得 ylnx=xlny，两边求导数得 解得 12.设 dy/dx=xln(1+x 2 )，且 y(0)=1/2，则 y(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13.设 f(x)二阶连续可导，且 f(0)=1，f(2)=3，f “ (2)=5，则 0 1 xf “ (2x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1
15、:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：14.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：15.设向量组 a 1 ，a 2 ，a 3 线性无关，且 a 1 +aa 2 +4a 3 ，2a 1 +a 2 -a 3 ，a 2 +a 3 线性相关，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：(a 1 +aa 2 +4a 3 ，2a 1 +a 2 -a 3 ，a 2 +a 3 )=(a 1 ，a 2 ，a 3 ) 因为 a 1 ，a 2 ，a 3 线性无关，而 a 1 +aa 2 +4a 3 ，2a 1 +a 2 -a 3
16、 ，a 2 +a 3 线性相关，所以 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设 z=f(2x-y，ysinx)，其中 f(u，v)具有连续的二阶偏导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是求带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数先求 由复合函数求导法得 )解析：18.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：19.设 a，b 为正常系数， 为非负常数，微分方程 dy/dx +ay=be -x ()求该方程的通解； ()证明：当 =0 时， （分数：2.00）_正确答案：(
17、正确答案：(1)通解为 所以， 当 x0 且 a 时， 当 x0 且 =a 时，)解析：20.设函数 f(x)在0，+上连续，且 f(0)0，已知经在0，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均值，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意得 )解析：21.求微分方程 y “ +5y “ +6y=2e -x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：所给微分方程的特征方程为 2 +5+6=(+2)(+3)=0，故特征根为 -2 和-3，于是，对应齐次微分方程的通解为 )解析：22.设 f(x)在0，1上连续且递减，证明：当 01 时， 0 f(x)dx 0 1
18、f(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 f(x)在0，1上连续，由定积分的可加性和积分中值定理知 )解析：23.已知曲线 L 的方程为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()先求 d 2 y/dx 2 由已知 代入 y 得 所以曲线 L 是凸的 ()设 L 上切点(x 0 ，y 0 )处的切线方程是 y-y 0 = 令 x=-1，y=0，则有 再令 ，即 t 0 2 +t 0 -2=0 解得 t 0 =1，t 0 =-2(不合题意)所以切点是(2，3)，相应的切线方程是 y=3+(x-2)，且y=x+1 ()切点为(x 0 ，y 0 )的切线与 L 及 x 轴所围成的
19、平面图形如 图所示，则所求平面图形的面积为 )解析：24.已知 4 阶方阵 A=(a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 )，a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 均为 4 维列向量，其 a 2 ，a 3 ，a 4 线性无关，a 1 =2a 2 -a 3 ，如果 =a 1 +a 2 +a 3 +a 4 ，求线性方程组 Ax= 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 a 2 ，a 3 ，a 4 线性无关及 a 1 =2a 2 -a 3 知，向量组的秩 r(a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 )=3，即矩阵 A 的秩为 3，因此 Ax=0 的基础解系中只包含一个向量， 那么由(a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 )*=a 1 -2a 2 +a 3 =0 知，Ax=0 的基础解系 是(1，-2，1，0) T 再由 =a 1 +a 2 +a 3 +a 4 =(a 1 a 2 a 3 a 4 )*知，(1，1，1，1) T 是 Ax= 的一个特解 故 Ax= 的通解是 k*，其中 k 为任意常数)解析：25.设 A 是 n 阶正定矩阵，E 是 n 阶单位阵，证明 A+E 的行列式大于 1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 是正定阵，故存在正交矩阵 Q，使 Q T AQ=Q -1 AQ=A= )解析：
