1、2013 年广西省百色市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 3分，共 36 分 .) 1.(3 分 )-2013 的相反数是 ( ) A.-2013 B.2013 C. D.- 解析 ： -2013 的相反数是 -(-2013)=2013. 答案： B. 2.(3 分 )已知 A=65 ，则 A 的补角的度数是 ( ) A.15 B.35 C.115 D.135 解析 ： A=65 ， A 的补角 =180 -A=180 -65=115. 答案： C. 3.(3 分 )百色市人民政府在 2013 年工作报告中提出，今年将继续实施十项为民办实事工程 .其中教育惠民工程将投资
2、 2.82 亿元，用于职业培训、扩大农村学前教育资源、农村义务教育学生营养改善计划、学生资助等项目 .那么数据 282 000 000 用科学记数法 (保留两个有效数字 )表示为 ( ) A. 2.8210 8 B. 2.810 8 C. 2.8210 9 D. 2.810 9 解析 ： 282 000 000=2.8210 82.810 8. 答案： B. 4.(3 分 )下列运算正确的是 ( ) A. 2a+3b=5ab B. 3x2y-2x2y=1 C. (2a2)3=6a6 D. 5x3x 2=5x 解析 ： A、不是同类项，不能相加，故本选项错误； B、 3x2y-2x2y=x2y，
3、故本选项错误； C、 (2a2)3=8a6，故本选项错误； D、 5x3x 2=5x，故本选项正确 . 答案： D. 5.(3 分 )一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图的面积为 ( ) A. 6cm2 B. 4cm 2 C. 6cm 2 D. 9cm 2 解析 ： 主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，俯视图为圆可得此几何体为圆柱， 故侧面积 =23=6cm 2. 答案： C. 6.(3 分 )在反比例函数 y= 中，当 x 0 时， y 随 x 的增大而增大，则二次函数 y=mx2+mx的图象大致是图中的 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 反比例函数 y= ，中，
4、当 x 0 时， y 随 x 的增大而增大， 根据反比例函数的性质可得 m 0； 该反比例函数图象经过第二、四象限， 二次函数 y=mx2+mx 的图象开口方向向下，且与 y 轴交于负半轴 . 只有 A 选项符合 . 答案： A. 7.(3 分 )今年我市某县 6月 1 日到 10 日的每一天最高气温变化如折线图所示，则这 10 个最高气温的中位数和众数分别是 ( ) A. 33 ， 33 B. 33 ， 32 C. 34 ， 33 D. 35 ， 33 解析 ： 31， 32， 32， 33， 33， 33， 34， 34， 35， 35，这组数据的中位数是： 33，众数是： 33. 答案：
5、 A. 8.(3 分 )如图，在 O 中，直径 CD 垂直于弦 AB，若 C=25 ，则 ABO 的度数是 ( ) A. 25 B. 30 C. 40 D. 50 解析 ： 如图， 在 O 中，直径 CD 垂直于弦 AB， = ， DOB=2C=50.ABO=90 -DOB=40. 答案： C. 9.(3 分 )如图，在平行四边形 ABCD 中， AB BC，按以下步骤作图：以 A 为圆心，小于 AD 的长为半径画弧，分别交 AB、 CD 于 E、 F；再分别以 E、 F 为圆心，大于 EF 的长半径画弧，两弧交于点 G；作射线 AG 交 CD 于点 H.则下列结论： AG 平分 DAB ，
6、CH= DH， ADH 是等腰三角形， S ADH = S 四边形 ABCH. 其中正确的有 ( ) A. B. C. D. 解析 ：根据作图的方法可得 AG 平分 DAB ，故 正确； AG 平分 DAB ， DAH=BAH ， CDAB ， DHA=BAH ， DAH=DHA ， AD=DH ， ADH 是等腰三角形，故 正确； 答案： D. 10.(3 分 )不等式组 的解集在数轴上表示正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 由 得， x1 ； 由 得， x -2； 不等式组的解集为 -2 x1. 在数轴上表示为 答案： B. 11.(3 分 )如图，在矩形纸片 ABCD 中
7、， AB=4， AD=3，折叠纸片使 DA 与对角线 DB 重合，点 A落在点 A 处，折痕为 DE，则 AE 的长是 ( ) A. 1 B. C. D. 2 解析 ： 四边形 ABCD 是矩形， A=90 ， BD= =5， 由折叠的性质，可得： AD=AD=3 ， AE=AE ， DAE=90 ， AB=BD -AD=5 -3=2， 设 AE=x ，则 AE=x， BE=AB-AE=4-x，在 RtABE 中， AE 2+AB 2=BE2， x 2+4=(4-x)2，解得： x= .AE= . 答案： C. 12.(3 分 )如图，在平面直角坐标系中，直线 l： y= x+1 交 x 轴于
8、点 A，交 y 轴于点 B，点A1、 A2、 A3， 在 x 轴上，点 B1、 B2、 B3， 在直线 l 上 .若 OB 1A1， A 1B2A2， A 2B3A3， 均为等边三角形，则 A 5B6A6的周长是 ( ) A. 24 B. 48 C. 96 D. 192 解析 ： 点 A(- ， 0)，点 B(0， 1)， OA= ， OB=1， tanOAB= = ， OAB=30 ， OA 1B1、 A 1B2A2、 A 2B3A3 均为等边三角形， A 1OB1=A 2A1B2=A 3A2B3=60 ， OB 1A=A 1B2A=A 2B3A=OAB=30 ， OB 1=OA= ， A1
9、B2=A1A， A2B3=A2A， OA 1=OB1= ， OA2=OA1+A1A2=OA1+A1B2= +2 =3 ， 同理： OA3=7 ， OA4=15 ， OA5=31 ， OA6=63 ， 则 A5A6=OA6-OA5=32 .则 A 5B6A6的周长是 96 ， 答案： C. 二、填空题 (本大题共 6 小题，每小题 3分，共 18分 .) 13.(3 分 )4 的算术平方根是 . 解析 ： 2 2=4， 4 算术平方根为 2. 答案 ： 2. 14.(3 分 )若函数 y= 有意义，则自变量 x 的取值范围是 . 解析 ：根据题意得： x-20 ，解得： x2. 答案 ： x2.
10、 15.(3 分 )如图，菱形 ABCD 的周长为 12cm， BC 的垂直平分线 EF 经过点 A，则对角线 BD 的长是 cm. 解析 ：连接 AC， 菱形 ABCD 的周长为 12cm， AB=3 ， ACBD ， BC 的垂直平分线 EF 经过点 A， AC=AB=3 ， OA= AC= ， OB= = ，BD=2OB=3 . 答案 ： 3 . 16.(3 分 )某校对去年毕业的 350 名学生的毕业去向进行跟踪调查，并绘制出扇形统计图 (如图所示 )，则该校去年毕业生在家待业人数有 人 . 解析 ：在家待业的毕业生所占百分比为： 1-24%-68%=8%，故该校去年毕业生在家待业人数
11、有3508%=28 人， 答案 ： 28. 17.(3 分 )如图，在方格纸中，每个小方格都是边长为 1cm 的正方形， ABC 的三个顶点都在格点上，将 ABC 绕点 O 逆时针旋转 90 后得到 ABC (其中 A、 B、 C 的对应点分别为A ， B ， C ，则点 B 在旋转过程中所经过的路线的长是 cm.(结果保留 ) 解析 ：如图所示：点 B 在旋转过程中所经过的路线的长是： = (cm). 答案 ： . 18.(3 分 )如图，在边长为 10cm 的正方形 ABCD 中， P 为 AB边上任意一点 (P 不与 A、 B 两点重合 )，连结 DP，过点 P 作 PEDP ，垂足为
12、P，交 BC 于点 E，则 BE的最大长度为 cm. 解析 ：设 AP=x， BE=y.如图， 四边形 ABCD 是正方形， A=B=90 . PEDP ， 2+3=90 ， 1+2=901=3 ， ADPBPE ， = ，即 = ， y= - x2+x=- (x-5)2+ (0 x 10)； 当 x=5 时， y 有最大值 . 答案 ： . 三、解答题 (本大题共 8 小题，共 66 分 ) 19.(6 分 )计算： (3- )0+2sin60+ ( )-2-|- | 解析 ：本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点 .针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则
13、求得计算结果 . 答案： 原式 =1+2 +4- =1+ +4- =5. 20.(6 分 )先化简，再求值： + ，其中 a= -1， b= . 解析 ：首先把分式的分子分母分解因式，再约分，进行加法计算，然后再代入 a、 b 的值即可得到答案 . 答案： 原式 = + = + = . 当 a= -1， b= 时，原式 = =-3. 21.(6 分 )如图，在等腰梯形 ABCD 中， DCAB ， E 是 DC 延长线上的点，连接 AE，交 BC 于点F. (1)求证： ABFECF ； (2)如果 AD=5cm， AB=8cm， CF=2cm，求 CE 的长 . 解析 ： (1)由 “ 两直
14、线平行，内错角相等 ” 推知 B=ECF ， BAF=E. 则由 “ 两角法 ” 证得结论； (2)利用 (1)中的相似三角形的对应边成比例得到 = ，即 = .所以 CE= (cm). 答案： (1)DCAB ， B=ECF ， BAF=E ， ABFECF. (2) 在等腰梯形 ABCD 中， AD=BC， AD=5cm， AB=8cm， CF=2cm， BF=3cm. 由 (1)知， ABFECF ， = ，即 = .CE= (cm). 22.(8 分 )“ 中秋节 ” 是我国的传统佳节，历来都有赏月，吃月饼的习俗 .小明家吃过晚饭后，小明的母亲在桌子上放了四个包装纸盒完全一样的月饼，它
15、们分别是 2 个豆沙， 1 个莲蓉和1 个叉烧 . (1)小明随机拿一个月饼，是莲蓉的概率是多少？ (2)小明随机拿 2 个月饼，请用树形图或列表的方法表示所有可能的结果，并计算出没有拿到豆沙月饼的概率是多少 ？ 解析 ： (1)由分别是 2 个豆沙， 1 个莲蓉和 1 个叉烧，直接利用概率公式求解即可求得答案； (2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与没有拿到豆沙月饼的情况，再利用概率公式即可求得答案 . 答案： (1) 共有 4 个月饼，莲蓉月饼有 1 个， 小明随机拿一个月饼，是莲蓉的概率是 . (2)画树形图如下： 共有 12 种等可能结果，没有拿到豆沙月饼的情
16、况有 2 种， 没有拿到豆沙月饼的概率是： = . 23.(8 分 )如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=k1x+b 交 x轴于点 A(-3， 0)，交 y 轴于点 B(0， 2)，并与 y= 的图象在第一象限交于点 C， CDx 轴，垂足为 D， OB 是 ACD 的中位线 . (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点 C 是点 C 关于 y 轴的对称点，请求出 ABC 的面积 . 解析 ： (1)根据直线 y=k1x+b 交 x 轴于点 A(-3， 0)，交 y轴于点 B(0， 2)，代入解析式，求出 k1和 b 的值，从而得出一次函数的解析式；再根据 OB 是 ACD
17、 的中位线，得出点 C 的坐标，最后代入双曲线 y= ，即可求出反比例函数的解析式 . (2)根据点 C 是点 C(3， 4)关于 y 轴的对称点，求出 C 的坐标，从而得出 ACAO ，最后根据 SABC =S 梯形 AOBC -SABO ，代入计算即可 . 答案： (1) 直线 y=k1x+b 交 x 轴于点 A(-3， 0)，交 y轴于点 B(0， 2)， ，解得 . 一次函数的解析式为 y= x+2. OB 是 ACD 的中位线， OA=3， OB=2， OD=3 ， DC=4.C(3 ， 4). 点 C 在双曲线 y= 上， k 2=34=12. 反比例函数的解析式为 y= . (2
18、) 点 C 是点 C(3， 4)关于 y 轴的对称点， C( -3， 4). ACAO. S ABC =S 梯形 AOBC -SABO = (2+4)3 - 32=6. 24.(10 分 )为响应区 “ 美丽广西 清洁乡村 ” 的号召，某校开展 “ 美丽广西 清洁校园 ” 的活动，该校经过精心设计，计算出需要绿化的面积为 498m2，绿化 150m2后，为了更快的完成该项绿化工作，将每天的工作量提高为原来的 1.2倍 .结果一共用 20天完成了该项绿化工作 . (1)该项绿化工作原计划每天完成多少 m2？， (2)在绿化工作中有一块面积为 170m2的矩形场地，矩形的长比宽的 2 倍少 3m，
19、请问这块矩形场地的长和宽各是多少米？ 解析 ： (1)根据一共用 20 天列出分式方程求解即可； (2)根据矩形的面积为 170m2列出一元二次方程求解即可 . 答案： (1)设该项绿化工作原计划每天完成 xm2，则提高工作量后每天完成 1.2xm2， 根据题意，得 ，解得 x=22. 经检验， x=22 是原方程的根 . 答：该项绿化工作原计划每天完成 22m2. (2)设矩形宽为 y m，则长为 (2y-3)m， 根据题意，得 y(2y-3)=170，解得 y=10 或 y=-8.5 (不合题意，舍去 ).2y-3=17. 答：这块矩形场地的长为 17m，宽为 10m. 25.(10 分
20、)如图，在 ABC 中，以 AB 为直径的 O 交 AC 于点 D，直径 AB左侧的半圆上有一点动点 E(不与点 A、 B 重合 )，连结 EB、 ED. (1)如果 CBD=E ，求证： BC 是 O 的切线； (2)当点 E 运动到什么位置时， EDBABD ，并给予证明； (3)若 tanE= ， BC= ，求阴影部分的面积 .(计算结果精确到 0.1)(参考数值： 3.14 ，1.41 ， 1.73 ) 解析 ： (1)欲证明 BC 是 O 的切线，只需证得 BCAB ； (2)利用圆周角定理，全等三角形的判定定理 AAS 证得当点 E 运动到 DE 经过点 O位置时，EDBABD ；
21、 (3)如图，连接 OD，过点 O 作 OFAD 于点 F.S 阴影 =S 扇形 OAD-SAOD .由圆周角定理和正切三角函数定义易求 AB 的长度、圆心角 AOD=120. 所以根据扇形面积公式和三角形的面积公式进行计算即可 . 答案： (1)AB 为 O 的直径， ADB=90 ，即 ABD+BAD=90. 又 CBD=E ， BAD=E ， ABD+CBD=90 ，即 ABC=90.BCAB.BC 是 O的切线 . (2)当点 E 运动到 DE 经过点 O 位置时， EDBABD. 证明如下： 当点 E 运动到 DE 经过点 O 位置时， EBD=ADB=90 ， 在 EDB 与 AB
22、D 中， ， EDBABD(AAS). (3)如图，连接 OD，过点 O 作 OFAD 于点 F， BAD=E ， tanE= ， tanBAD= . 又 ADB=90 ， BAD=30. ABC=90 ， BC= ， AB= =4.AO=2 ， OF=1， AF=AOcosBAD= .AD=2. AO=DO ， AOD=120.S 阴影 =S 扇形 OAD-SAOD = - 3=2 1= -2.5. 26.(12 分 )如图，在平面直角坐标系 xOy 中，将抛物线 C1： y=x2+3 先向右平移 1 个单位，再向下平移 7 个单位得到抛物线 C2.C2的图象与 x 轴交于 A、 B 两点
23、(点 A 在点 B 的左侧 ). (1)求抛物线 C2的解析式； (2)若抛物线 C2的对称轴与 x 轴交于点 C，与抛物线 C2交于点 D，与抛物线 C1交于点 E，连结 AD、 DB、 BE、 EA，请证明四边形 ADBE 是菱形，并计算它的面积； (3)若点 F 为对称轴 DE 上任意一点，在抛物线 C2上是否存在这样的点 G，使以 O、 B、 F、 G四点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点 G 的坐标；如果不存在，请说明理由 . 解析 ： (1)根据二次函数平移的规律： “ 左加右减，上加下减 ” ，得出平移后解析式即可； (2)首先求出 A， B 两点的坐标，再利用顶点坐
24、标得出 AC=CB， CE=CD，进而得出四边形 ADBE是平行四边形以及四边形 ADBE 是菱形，再利用三角形面积公式求出即可； (3)利用分 OB 为平行四边形的边和对角线两种情况： 当 OB 为平行四边形的一边时， 当OB 为平行四边形的一对角线时分别得出即可 . 答案： (1) 将抛物线 C1： y=x2+3 先向右平移 1 个单位，再向下平移 7 个单位得到抛物线 C2， 抛物线 C1的顶点 (0， 3)向右平移 1 个单位，再向下平移 7 个单位得到 (1， -4). 抛物线 C2的顶点坐标为 (1， -4). 抛物线 C2的解析式为 y=(x-1)2-4，即 y=x2-2x-3；
25、 (2)由 x2-2x-3=0，解得： x1=-1， x2=3， 点 A 在点 B 的左侧， A( -1， 0)， B(3， 0)， AB=4. 抛物线 C2的对称轴为 x=1，顶点坐标 D 为 (1， -4)， CD=4.AC=CB=2. 将 x=1 代入 y=x2+3 得 y=4， F(1 ， 4)， CE=CD. 四边形 ADBE是平行四边形 . EDAB ， 四边形 ADBE 是菱形 .S 菱形 ADBE=2 ABCE=2 44=16. (3)存在 .分 OB 为平行四边形的边和对角线两种情况： 当 OB 为平行四边形的一边时，如图 1， 设 F(1， y)， OB=3 ， G 1(-
26、2， y)或 G2(4， y). 点 G 在 y=x2-2x-3 上， 将 x=-2 代入，得 y=5；将 x=4 代入，得 y=5.G 1(-2， 5)， G2(4，5). 当 OB 为平行四边形的一对角线时，如图 2， 设 F(1， y)， OB 的中点 M，过点 G 作 GHOB 于点 H， OB=3 ， OC=1， OM= ， CM= . CFMHGM(AAS) ， HM=CM= .OH=2.G 3(2， -y). 点 G 在 y=x2-2x-3 上， 将 (2， -y)代入，得 -y=-3，即 y=3.G 3(2， -3). 综上所述，在抛物线 C2上是否存在这样的点 G，使以 O、 B、 F、 G 四点为顶点的四边形是平行四边形，点 G 的坐标为 G1(-2， 5)， G2(4， 5)， G3(2， -3).
