1、研究生入学考试（电磁场与电磁波）-试卷 6 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、证明题(总题数：1，分数：2.00)1.证明：在有电荷密度 和电流密度 J，的均匀无损耗媒质中，电场强度 E 和磁场强度 H 的波动方程为（分数：2.00）_二、计算题(总题数：29，分数：58.00)2.一个利用空气隙获得强磁场的电磁铁如图所示，铁芯中心线的长度 l 1 =500 mm，空气隙长度 l 2 =20 mm，铁芯是相对磁导率 r =5 000 的硅钢。要在空气隙中得到 B=3 000 Gs 的磁场，求绕在铁芯上的线圈的安匝数 NI。 （分数：2.00）_3.在 x0 的半空间充满磁
2、导率为 的磁介质，x0 的半空间为真空，一线电流 I 沿 z 轴流动。求磁感应强度 B 和磁场强度 H。 （分数：2.00）_4.一个半径为 a、相对磁导率为 r 的无限长导体圆柱上流有均匀恒定电流 I 0 ，求任意点的 H 和 B，并解释柱外磁场与柱体磁导率值无关的原因。（分数：2.00）_5.有一内导体半径为 a，外导体的内半径为 b 的无限长同轴线，其内由磁导率分别为 1 和 2 的两种磁介质以下图所示方式填充。如若给该同轴线通恒定电流 I，试求： （分数：2.00）_6.同轴线的内外导体的半径分别是 a、b，导体的电阻率为 ，其间填充介质的介电常数、磁导率和电导率分别为 、 0 ，当其
3、所传输的横电磁波的角频率为 时，求该传输线单位长度的电容 C 0 、自感 L 0 、漏电导 G 0 和串联电阻 R 0 。(不计导体内部自感)（分数：2.00）_7.真空中半径为 a 的无限长导电圆筒上的电流均匀分布，电流面密度为 Js，沿轴向流动，求圆筒内外的磁场。（分数：2.00）_8.真空中，圆柱坐标系下，电流分布为 J=0 (0a) （分数：2.00）_9.已知无限长导体圆柱半径为 a，其内部有一圆柱形空腔半径为 b，导体圆柱的轴线与圆柱形空腔的轴线相距为 c，如图所示。若导体中均匀分布的电流密度为 J=J 0 e z ，试求空腔中的磁感应强度。 （分数：2.00）_10.已知真空中位
4、于 xy 平面的表面电流为 J s =J 0 e x ，如图所示，求磁感应强度。 （分数：2.00）_11.一个无限长的直导线与直角三角形导线框在同一平面内，导线框的一个直角边与直导线平行，如图所示。求直导线与导线框间的互感。 （分数：2.00）_12.z=0 的两种媒质的分界面上有面电流，其电流面密度为 Js=12e y kAm。 在 z0 时， r =200，H 1 =40e x +50e y +12e z kAm，求在 z0， r =1000 中的磁场强度。（分数：2.00）_13.计算环形螺线管上绕 N 匝线圈的自感。已知螺线管的内半径为 R 1 ，外半径为 R 2 ，相对磁导率为 r
5、 。（分数：2.00）_14.计算真空中放置的一对平行传输线单位长度的外自感。已知导线半径为 a，中心间距为 D，如图所示。（分数：2.00）_15.在截面为正方形(aa)，半径为 R(Ra)的磁环上，密绕了两个线圈，一个线圈为 m 匝，另一个线圈为 n 匝。磁芯的相对磁导率为 100，分别近似计算两线圈的自感和互感。（分数：2.00）_16.一个长直导线和一个圆环(半径为 a)在同一平面内，圆心与导线的距离为 d，证明它们之间的互感为（分数：2.00）_17.求长直导线和其共面的正三角形之间的互感。其中 a 是三角形的高，b 是三角形平行于长直导线的边至直导线的距离(且该边距离直导线最近)。
6、 （分数：2.00）_18.无限长直线电流 I 垂直于磁导率分别为 1 和 2 的两种磁介质的分界面，如图所示。试求：(1)两种磁介质中的磁感应强度 B 1 和 B 2 ；(2)磁化电流分布。 （分数：2.00）_19.已知一个平面电流回路在真空中产生的磁场强度为 H 0 ，若此平面电流回路位于磁导率分别为 1 和 2 的两种均匀磁介质的分界平面上，试求两种磁介质中的磁场强度 H 1 和 H 2 。 （分数：2.00）_20.两个正方形单匝线圈，边长分别为 a 和 2a，电流为 I 和 I，它们的磁矩指向相同。若要求两者的远区场 B 相同，试确定 I 和 I的关系。（分数：2.00）_21.通
7、过均匀电流密度 J=e z J 0 的长圆柱导体中有一平行的长圆柱形空腔，导体柱和空腔柱的半径分别为 a 和 b，两柱轴线相距 d，计算任意点的 B，并证明空腔内的磁场是均匀的。 （分数：2.00）_22.在自由空间中，已知电场 E(z，t)=e y 10 3 sin(t-z)Vm，试求磁场强度 H(z，t)。（分数：2.00）_23.一圆柱形同轴空气电容器的内导体半径为 a，外导体内表面半径为 b，长为 L，内外导体间加正弦电压U=U 0 sint。试计算内外导体间所通过的位移电流总值，并证明它等于电容器的充电电流。（分数：2.00）_24.已知空气中 E=e y 1sin(10x)cos(
8、610 9 t 一 kz)Vm，求对应的 H 的表达式及 k。（分数：2.00）_25.证明坡印廷矢量的瞬时值可表示为 S(r，t)= （分数：2.00）_26.设真空中的电场强度的瞬时值为 E(r，t)= （分数：2.00）_27.在无损耗的线性、各向同性媒质中，电场强度 E(r)的波动方程为 2 E(r)+ 2 E(r)=0 已知矢量函数 E(r)=E 0 e -jk.r ，其中 E 0 和 k 是常矢量。试证明 E(r)满足波动方程的条件是 k 2 = 2 ，这里 k=|k|。（分数：2.00）_28.自由空间的电磁场为 E(z，t)=1 000cos(tkz)e x Vm H(z，t)
9、=265cos(t 一 kz)e y Am 式中 （分数：2.00）_29.已知某电磁场的复矢量为 式中 ,c 为真空中的光速， 0 是波长。求：(1) （分数：2.00）_30.已知某真空区域中时变电磁场的磁场瞬时值为 H(x，y，t)= （分数：2.00）_研究生入学考试（电磁场与电磁波）-试卷 6 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、证明题(总题数：1，分数：2.00)1.证明：在有电荷密度 和电流密度 J，的均匀无损耗媒质中，电场强度 E 和磁场强度 H 的波动方程为（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： .B=0，即H=0 (4) 对(1)取旋度有 证毕 同理，
10、对(2)取旋度)解析：二、计算题(总题数：29，分数：58.00)2.一个利用空气隙获得强磁场的电磁铁如图所示，铁芯中心线的长度 l 1 =500 mm，空气隙长度 l 2 =20 mm，铁芯是相对磁导率 r =5 000 的硅钢。要在空气隙中得到 B=3 000 Gs 的磁场，求绕在铁芯上的线圈的安匝数 NI。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作近似处理，假定无漏磁通，那么 =HS= 0 H 0 S (1) 再由安培环路定律得 H(l 1 一 l 2 )+H 0 l 2 =NI (2) )解析：3.在 x0 的半空间充满磁导率为 的磁介质，x0 的半空间为真空，一线电流 I 沿 z
11、 轴流动。求磁感应强度 B 和磁场强度 H。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：假定在 x0 和 x0 的半空间中磁场强度分别为 H 1 和 H 2 ，并且方向皆为 e 方向，那么根据安培环路定律可得 H 1 +H 2 =I 于是 在两种介质的分界面上 B 1 、B 2 为 e 方向，垂直于分界面。 根据边界条件有 B 1 | x=0 =B 2 | x=0 再结合 B 1 、B 2 在 x0 和 x0的半空间中皆为柱对称分布的特点可以得到 B 1 ()=B 2 ()=B() 即磁感应强度在整个空间内呈柱对称分布 所以由(1)得 在两种介质中的磁场强度为 )解析：4.一个半径为 a、相对
12、磁导率为 r 的无限长导体圆柱上流有均匀恒定电流 I 0 ，求任意点的 H 和 B，并解释柱外磁场与柱体磁导率值无关的原因。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：任意点的磁场矢量 任意点的磁感应强度矢量 )解析：5.有一内导体半径为 a，外导体的内半径为 b 的无限长同轴线，其内由磁导率分别为 1 和 2 的两种磁介质以下图所示方式填充。如若给该同轴线通恒定电流 I，试求： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)在两种介质分界面上 n.(B 2 一 B 1 )=0 所以 B 2n =B 1n =B 由安培环路定律rH 1 +rH 2 =I，即 (2)分界面上磁化面电流密度为 J
13、mS =(M 2 -M 1 )n 因为 所以在介质分界面上 M 与 n 平行，即 Mn=0 所以 J mS =0 )解析：6.同轴线的内外导体的半径分别是 a、b，导体的电阻率为 ，其间填充介质的介电常数、磁导率和电导率分别为 、 0 ，当其所传输的横电磁波的角频率为 时，求该传输线单位长度的电容 C 0 、自感 L 0 、漏电导 G 0 和串联电阻 R 0 。(不计导体内部自感)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设某一时刻内导体单位长度带电量为 q=q(t)，则内外导体间的场强 E= 因为 所以 所以单位长度上的电容 设同轴线内导体电流为 i，则内外导体间的磁场强度为 本题中考察同轴
14、线相关参数的推导计算，其中同轴线的单位长度电容、内自感等最好记住，特别的同轴线的特性阻抗需熟记，最好结合 L 0 、C 0 通过公式 )解析：7.真空中半径为 a 的无限长导电圆筒上的电流均匀分布，电流面密度为 Js，沿轴向流动，求圆筒内外的磁场。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 ra 时： 由安培环路定律 当 ra 时： )解析：8.真空中，圆柱坐标系下，电流分布为 J=0 (0a) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由安培环路定理 l H.dl=I 0a 时 l H.dl= 0 a J2d 将 J=0代入得 H=0 B=0 ab 时 l H.dl= 0 b J2d= a
15、 b J2d )解析：9.已知无限长导体圆柱半径为 a，其内部有一圆柱形空腔半径为 b，导体圆柱的轴线与圆柱形空腔的轴线相距为 c，如图所示。若导体中均匀分布的电流密度为 J=J 0 e z ，试求空腔中的磁感应强度。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用叠加原理，空腔中磁感应强度为： B=B 1 +B 2 B 1 为电流均匀分布的实圆柱的磁感应强度；B 2 为与此圆柱形空腔互补而电流密度与实圆柱的电流密度相反的载流圆柱的磁感应强度。利用安培环路定律，有： 式中 e 1 、e 2 分别为从圆柱中心轴和圆柱空腔中心轴指向场点的矢量。因此 )解析：10.已知真空中位于 xy 平面的表面电
16、流为 J s =J 0 e x ，如图所示，求磁感应强度。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图所示，在 xy 平面附近取一个小的矩形回路，回路长边为 L，短边为l，l0，由安培环路定理知 )解析：11.一个无限长的直导线与直角三角形导线框在同一平面内，导线框的一个直角边与直导线平行，如图所示。求直导线与导线框间的互感。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：无线长直导线产生的磁场 由图知 磁通 则互感为 )解析：12.z=0 的两种媒质的分界面上有面电流，其电流面密度为 Js=12e y kAm。 在 z0 时， r =200，H 1 =40e x +50e y +12e z
17、kAm，求在 z0， r =1000 中的磁场强度。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由边界条件 H 1t 一 H 2t =J 知 H 1y 一 H 2y =0；H 1x 一 H 2x =Js 所以 H 2y =H 1y =50；H 2x =H 1x -Js=28 由边界条件 B 1n =B 2n 知 1 H 1z = 2 H 2z 所以 )解析：13.计算环形螺线管上绕 N 匝线圈的自感。已知螺线管的内半径为 R 1 ，外半径为 R 2 ，相对磁导率为 r 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由安培环路定理知，在螺线管内 则磁场能量为 )解析：14.计算真空中放置的一对平行传
18、输线单位长度的外自感。已知导线半径为 a，中心间距为 D，如图所示。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由安培环路定律得： 另解： 两根导线磁场能量为(单位长度) 则自感为 )解析：15.在截面为正方形(aa)，半径为 R(Ra)的磁环上，密绕了两个线圈，一个线圈为 m 匝，另一个线圈为 n 匝。磁芯的相对磁导率为 100，分别近似计算两线圈的自感和互感。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由安培环路定理知 则磁通链、电感为 )解析：16.一个长直导线和一个圆环(半径为 a)在同一平面内，圆心与导线的距离为 d，证明它们之间的互感为（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析
19、：17.求长直导线和其共面的正三角形之间的互感。其中 a 是三角形的高，b 是三角形平行于长直导线的边至直导线的距离(且该边距离直导线最近)。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：直线 l 1 的方程 )解析：18.无限长直线电流 I 垂直于磁导率分别为 1 和 2 的两种磁介质的分界面，如图所示。试求：(1)两种磁介质中的磁感应强度 B 1 和 B 2 ；(2)磁化电流分布。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.已知一个平面电流回路在真空中产生的磁场强度为 H 0 ，若此平面电流回路位于磁导率分别为 1 和 2 的两种均匀磁介质的分界平面上，试求两种磁介质中的磁场
20、强度 H 1 和 H 2 。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.两个正方形单匝线圈，边长分别为 a 和 2a，电流为 I 和 I，它们的磁矩指向相同。若要求两者的远区场 B 相同，试确定 I 和 I的关系。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.通过均匀电流密度 J=e z J 0 的长圆柱导体中有一平行的长圆柱形空腔，导体柱和空腔柱的半径分别为 a 和 b，两柱轴线相距 d，计算任意点的 B，并证明空腔内的磁场是均匀的。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.在自由空间中，已知电场 E(z，t)=e y 10 3 sin(t-z)
21、Vm，试求磁场强度 H(z，t)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：以余弦为基础，重新写出已知的电场表达式 这是一个沿+z 方向传播的均匀平面波的电场，其初相位为一 90，与之相伴的磁场为 )解析：23.一圆柱形同轴空气电容器的内导体半径为 a，外导体内表面半径为 b，长为 L，内外导体间加正弦电压U=U 0 sint。试计算内外导体间所通过的位移电流总值，并证明它等于电容器的充电电流。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：假定内导体单位长度带电量为 l ，那么根据高斯定律，可以求出距中心为 r 处的电场 内外导体间的电位差 电容器的充电电流 )解析：24.已知空气中 E=e y
22、1sin(10x)cos(610 9 t 一 kz)Vm，求对应的 H 的表达式及 k。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据电场 E 的表达式 E=e y 01sin(10x)e -jkz (1) 由麦克斯韦方程 E=一 j 0 H 再根据方程 E=J+jD 即 k 2 = 2 0 0 一(10) 2 根据(3)可以得到 )解析：25.证明坡印廷矢量的瞬时值可表示为 S(r，t)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：S(r，t)=E(r，t)H(r，t) =ReE(r)e jt ReH(r)e jt = E(r)e jt +E*(r)e jt H(r)e jt +H*(r)e
23、 -jt = E(r)H*(r)+E*(r)H(r)+E(r)H(r)e j2t +E*(r) H*(r)e 2j2t = )解析：26.设真空中的电场强度的瞬时值为 E(r，t)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)电场强度复矢量 (2)对应的磁场强度复矢量为 所以磁场强度瞬时值为 )解析：27.在无损耗的线性、各向同性媒质中，电场强度 E(r)的波动方程为 2 E(r)+ 2 E(r)=0 已知矢量函数 E(r)=E 0 e -jk.r ，其中 E 0 和 k 是常矢量。试证明 E(r)满足波动方程的条件是 k 2 = 2 ，这里 k=|k|。（分数：2.00）_正确答案：(
24、正确答案： )解析：28.自由空间的电磁场为 E(z，t)=1 000cos(tkz)e x Vm H(z，t)=265cos(t 一 kz)e y Am 式中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：S=EH 由于 瞬时值 S(z，t)=E(z，t)H(z，t)=2 650cos(t 一 kz)e z (Wm 2 ) )解析：29.已知某电磁场的复矢量为 式中 ,c 为真空中的光速， 0 是波长。求：(1) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)E 和 H 的瞬时矢量为 E(z，t)=Ree x jE 0 sin(k 0 z)e jt =一 e x E 0 sin(k 0 z)sin(t)(Vm) 瞬时坡印廷矢量为 因此 S(0，t)=0(Wm) 2 (2)以上各点处的平均坡印廷矢量 )解析：30.已知某真空区域中时变电磁场的磁场瞬时值为 H(x，y，t)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由时变电磁场瞬时值得出复矢量 )解析：
