1、2015届北京市朝阳区九年级上学期期末考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 一元二次方程 的解为（ ） A B ， C ， D ， 答案： B 试题：原方程化为： ，解得 ， 故选 B 考点：解一元二次方程 -因式分解法 如图，点 C 是以点 O 为圆心， AB 为直径的半圆上的动点（点 C 不与点 A，B重合）， AB=4设弦 AC的长为 x， ABC的面积为 y，则下列图象中，能表示 y与 x的函数关系的图象大致是（ ） ABCD 答案： B 试题分析：由勾股定理得： BC= = ，则 ABC的面积 y= ，其大致图象如图： 故选 B 考点：动点问题的函数图象 一个矩形的长比宽相多 3cm
2、，面积是 25cm2，求这个矩形的长和宽设矩形的宽为 xcm，则所列方程正确的是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：宽为 xcm，则长为（ x+3） ，所以 ，即：故选 C 考点：一元二次方程的应用 下列事件是随机事件的是（ ） A明天太阳从东方升起 B任意画一个三角形，其内角和是 360 C通常温度降到 0 以下，纯净的水结冰 D射击运动员射击一次，命中靶心 答案： D 试题分析： A一定会发生，是必然事件，不符合题意； B一定会发生，是必然事件，不符合题意； C一定会发生，是必然事件，不符合题意； D可能发生，也可能不发生，是随机事件，符合题意 故选 D 考点：随机事件 如图，在
3、边长为 1的小正方形组成的网格中， ABC的三个顶点均在格点上，则 tan ABC的值为（ ） A B C D 1 答案： B 试题分析：过 A作 AD BC于 D，则 BD=4， AD=3，在直角 ABD中， ADB=90， tan ABC= = 故选 B 考点： 1锐角三角函数的定义； 2网格型 如图， A， B， C是 O上的三个点，若 C 35，则 AOB的度数为（ ） A 35 B 55 C 65 D 70 答案： D 试题分析： AOB=2 ACB， AOB=70， AOC= AOB=70=35故选 D 考点：圆周角定理 下列图形是中心对称图形的是（ ） AB C D 答案： A
4、试题分析：第一个图是中心对称图形； 第二个图不是中心对称图形； 第三个图不是中心对称图形； 第四个图不是中心对称图形 故选 A 考点：中心对称图形 抛物线 的顶点坐标是（ ） A（ 1， 2） B（ 1， -2） C（ -1， 2） D（ -1， -2） 答案： A 试题分析： 顶点式 ，顶点坐标是（ h， k）， 抛物线的顶点坐标是（ 1， 2）故选 A 考点：二次函数的性质 填空题 如图， A是反比例函数 （ ）图象上的一点， AB垂直于 x轴，垂足为 B， AC垂直于 y轴，垂足为 C，若矩形 ABOC的面积为 5，则 k的值为 答案： 试题分析：由题意得： ，则 k=5；又由于反比例函
5、数图象位于一、三象限， k 0，则 k=5，故答案：为： 5 考点：反比例函数系数 k的几何意义 一枚质地均匀的骰子，六个面分别刻有 1到 6的点数，掷这个骰子一次，则向上一面的点数大 3的概率是 答案： 试题分析：掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子向上的一面点数共有 6 种可能，而只有出现点数为 4、 5、 6才大于 3，所以这个骰子向上的一面点数大于 3的概率 = = 故答案：为： 考点：概率公式 如图，在平面直角坐标系 xOy中，点 O是边长为 2的正方形 ABCD的中心写出一个函数 ，使它的图象与正方 形 ABCD有公共点，这个函数的表达式为 答案：答案：不惟一，如 （说明：写成 的形式
6、时， c的取值范围是 2c1） 试题分析：由图可知： C（ 1， 1）把 C（ 1， 1）代入 ，解得：， 故答案：为： ，答案：不惟一（写成 的形式时， c的取值范围是 2c1） 考点：二次函数的图象 如图，在扇形 OAB中， AOB 90， OA 3，将扇形 OAB绕点 A逆时针旋转 n（ 0 n 180）后得到扇形 OAB ，当点 O在弧 AB上时， n为 ，图中阴影部分的面积为 答案：， 试题分析：连结 OO， AB， AB， OA=OO=AO， OAO是等边三角形， OAO=60， n为 60， AOB 90， OB=OA 3， AB=，显然阴影面积 =扇形 BAB的面积 = 故答案
7、：为： 60， 考点： 1扇形面积的计算； 2旋转的性质 计算题 计算： 答案： 试题分析：原式 考点：实数的运算 解答题 用配方法解方程： 答案： ， 试题分析：移项得： ，配方得： ， ， ， 考点：解一元二次方程 -配方法 ABC和 ADE中， AB=AC， AD=AE， BAC= DAE= （ 0 90） ，点 F， G， P分别是 DE， BC， CD的中点，连接 PF， PG （ 1）如图 ， =90，点 D在 AB上，则 FPG= ； （ 2）如图 ， =60，点 D 不在 AB上，判断 FPG 的度数，并证明你的结论； （ 3）连接 FG，若 AB=5， AD=2，固定 ABC
8、，将 ADE绕点 A旋转，当 PF的长最大时， FG的长为 （用含 的式子表示） 答案：（ 1） 90；（ 2） 120，证明见试题；（ 3） （也可以写成 ） 试题分析：（ 1）由 AB=AC、 AD=AE，得 BD=CE，再根据 G、 P、 F分别是BC、 CD、 DE的中点，可得出 PG BD， PF CE则 GPF=180- =90； （ 2）连接 BD，连接 CE，由已知可证明 ABD ACE，则 ABD= ACE因为 G、 P、 F分别是 BC、 CD、 DE的中点，则 PG BD，PF CE进而得出 GPF=180- =120； （ 3）当 D在 BA的延长线上时， CE=BD最
9、长，此时 BD=AB+AD=5+2=7，再由三角形中位线定理即可算出 PG=3 5，在 Rt GPH中，由三角函数的定义即可求出 GH，进一步求出 FG 试题：（ 1） AB=AC、 AD=AE， BD=CE， G、 P、 F分别是 BC、 CD、DE的中点， PG BD， PF CE ADC= DPG， DPF= ACD， GPF= DPF+ DPG= ADC+ ACD=180- BAC=180- =90，即 GPF=90； （ 2） FPG=120；理由：连接 BD，连接 CE BAC= DAE， BAD= CAE，在 ABD和 ACE中， AB=AC， BAD= CAE，AD=AE， A
10、BD ACE（ SAS）， ABD= ACE， G、 P、 F分别是BC、 CD、 DE的中点， PG BD， PF CE PGC= CBD， DPF= DCE= DCA+ ACE= DCA+ ABD， DPG= PGC+ BCD= CBD+ BCD， GPF= DPF+ DPG= DCA+ ABD+ CBD+ BCD=180- BAC=180- =120，即 GPF=120； （ 3）连结 BD， CE，过 P作 PH FG于 H，由（ 2）可知， ABD ACE， BD=CE，且 PG=PF= BD，当 D在 BA的延长线上时， CE最长，即 BD最长，此时 BD=AB+AD=5+2=7，
11、 PG=3.5， PF=PG， PH FG， GPH= FPG= （ 180- ） =90- ， FG=2HG， FG=2HG=2PG sin GPH=23.5 = 考点： 1旋转的性质； 2全等三角形的判定与性质； 3等腰三角形的性质；4等边三角形的性质 已知二次函数 在 和 时的函数值相等 （ 1）求该二次函数的表达式； （ 2）画出该函数的图象，并结合图象直接写出当 时，自变量 的取值范围； （ 3）已知关于 的一元二次方程 ，当 时，判断此方程根的情况 答案：（ 1） 试题分析：（ 1）由二次函数在 和 时的函数值相等，可以得到对称轴为 ，即可求出 K的值； （ 2）作出二次函数的图象
12、，根据图象可以求出当 时，自变量 的取值范围； （ 3）由（ 1）得， k=1，此方程的判别式 = 作出图象，由图象得出结论 试题： (1) 由题意可知，此二次函数图象的对称轴为 ，即 ； （ 2）如图 1， 由图象可得：当 1 x 3时， ； （ 3）由（ 1）得此方程为 ， = 是 m的二次函数由图 2可知，当 1m 0时， 0；当m=0时， =0；当 0 m3时， 0 当 1m 0时，原方程没有实数根；当 m=0时，原方程有两个相等的实数根 ；当 0 m3时，原方程有两个不相等的实数根 考点： 1二次函数的性质； 2待定系数法求一次函数式； 3二次函数与不等式（组） 如图，在 ABC 中
13、， BA=BC，以 AB为直径的 O 分别交 AC， BC 于点 D，E， BC的延长线与 O的切线 AF交于点 F （ 1）求证： ABC=2 CAF； （ 2）若 AC= ， CE： EB=1： 4，求 CE， AF的长 答案：（ 1）证明见试题；（ 2） CE=2， AF= 试题分析：（ 1）连接 BD，由直径所对的圆周角是 90，得到 BD AC，由AB=BC，得到 BD平分 ABC，再由切线的性质，可以得出结论； （ 2）连接 AE，设 CE= x，则 EB=4x， BA=BC=5x， AE=3x在 Rt ACE中，根据勾股定理可以算出 x的值，根据 ，即可算出 AF 的长 试题：（
14、 1）证明：如图，连接 BD AB为 O的直径， ADB=90 DAB+ ABD=90 AF是 O的切线， FAB=90即 DAB + CAF =90 CAF= ABD BA=BC， ADB=90， ABC=2 ABD ABC=2 CAF （ 2）解：如图，连接 AE AEB=90设 CE= x， CE： EB=1： 4， EB=4x， BA=BC=5x， AE=3x在 Rt ACE中， 即 x =2 CE=2 EB=8， BA=BC=10， AE=6 AF= 考点： 1切线的判定； 2勾股定理 随着 “节能减排、绿色出行 ”的健康生活意识的普及，新能源汽车越来越多地走进百姓的生活某汽车租赁公
15、司拥有 40辆电动汽车，据统计，当每辆车的日租金为 120元时， 可全部租出；当每辆车的日租金每增加 5元时，未租出的车将增加 1辆；该公司平均每日的各项支出共 2100元 （ 1）若某日共有 x辆车未租出，则当日每辆车的日租金为 元； （ 2）当每辆车的日租金为多少时，该汽车租赁公司日收益最大？最大日收益是多少？ 答案：（ 1） 120+5x；（ 2） 160， 3020 试题分析：（ 1）根据当每辆车的日租金每增加 5元时，未租出的车将增加 1辆，可列未出租出 x辆车时，租金的增加量和日租金； （ 2）根据收益 =租金 -支出，列出函数关系式，求出最大值 试题：（ 1） 120+5x； （
16、 2）设有 x辆车未租出时，该汽车租赁公司日收益为 y元根据题意，有即 ， 当时， y有最大值 y有最大值是 3020， 120+5x=120+58=160 答：当每辆车的日租金为 160元时，该汽车租赁公司日收益最大，最大日收益为 3020元 考点：二次函数的应用 如图，直线 与反比例函数 的图象相交于点 A（ a， 3），且与x轴相交于点 B （ 1）求该反比例函数的表达式； （ 2）若 P为 y轴上的点，且 AOP的面积是 AOB的面积的 ，请直接写出点 P的坐标 答案：（ 1） ；（ 2） P（ 0， 4 ）或 P（ 0， 4 ） 试题分析：（ 1）把 A的坐标代入一次函数的式，即可求
17、出 A的坐标，再把 A的坐标代入反比例函数就可以求出反比例函数的式； （ 2）设 P（ 0， y），分别表示出 AOP 和 AOB 的面积，即可求出 P 的坐标 试题：（ 1） 点 A（ a， 3）在直线 上， 3=-a +2 a = 1 A（ 1， 3） 点 A（ 1， 3）在反比例函数 的图象上， k = 3 （ 2）在直线 中，令 y=0，得： ， OB=2，设 P（ 0， y）， ， ， ， ， P（ 0， 4 ）或 P（ 0， 4 ） 考点：反 比例函数与一次函数的交点问题 已知关于 的一元二次方程 （ 1）求证：此方程总有两个实数根； （ 2）若 为整数，当此方程的两个实数根都是整
18、数时，求 的值 答案：（ 1）证明见试题；（ 2） 1或 1 试题分析：（ 1）先计算判别式的值得到 = ，再根据非负数的值得到 0，然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根； （ 2）利用因式分解法解方程得到 ， ，然后利用整数的整除性确定正整数 m的值 试题：（ 1）证明： = ， 该方程总有两个实数根 （ 2）解： ， 当 m为整数 1或 1时， x2为整数，即该方程的两个实数根都是整数， m的值为 1或 1 考点：根的判别式 如图，甲船在港口 P的南偏东 60方向，距港口 30海里的 A处，沿 AP方向以每小时 5海里的速度驶向港口 P；乙船从港口 P出发，沿南偏西 45方向驶离港口
19、 P现两船同时出发， 2小时后甲船到达 B处，乙船到达 C处，此时乙船恰好在甲船的正西方向，求乙船的航行距离（ ， ，结果保留整数） 答案： 试题分析：作 PD BC于点 D，在 Rt BPD中，求出 PD，在 Rt CPD中，求出 PC 试题：如图，作 PD BC于点 D，根据题意， 得 BPD=60， CPD=45，PB=AP AB =20，在 Rt BPD中， ，在 Rt CPD中， ， 答：乙船的航行距离约是 14海里 考点：解直角三角形的应用 -方向角问题 如图，正方形 ABCD的边长为 2， E是 BC的中点，以点 A为中心，把 ABE逆时针旋转 90，设点 E的对应点为 F （
20、1）画出旋转后的三角形 （ 2）在（ 1）的条件下， 求 EF的长； 求点 E经过的路径弧 EF的长 答案：（ 1）作图见试题；（ 2） ； 试题分析：（ 1）根据旋转的性质作出图形即可； （ 2） 在 Rt ABE和在 Rt AEF中，利用勾股定理算出 EF的长； 利用弧长公式算出弧 EF的长 试题：（ 1）如图 1 （说明：点 F在 CD的延长线上）， ADF为所求 （ 2） 如图 2，依题意， AE=AF， EAF =90 在 Rt ABE中， AB=2， ， 在 Rt AEF中， 弧 EF的长为 考点： 1勾股定理； 2弧长的计算 如图，在平面直角坐标系 xOy中，以点 A（ 2， 3
21、）为圆心的 A交 x轴于点 B， C， BC=8，求 A的半径 答案： 试题分析：作 AD BC于点 D连接 AB，由垂径定理得 BD=4，在 Rt ABD中，由勾股定理可以求出圆的半径 试题：如图，作 AD BC于点 D连接 AB BD= BC=4， 点 A的坐标是（ 2， 3）， AD=3在 Rt ABD中， ， A的半径为5 考点： 1垂径定理； 2坐标与图形性质； 3勾股定理 如图， ABC中，点 D在 AB上， ACD= ABC，若 AD=2， AB=6，求AC的长 答案： 试题分析：可证明 ACD ABC，则 ，即得出 AC2=AD AB，从而得出 AC的长 试题： ACD= AB
22、C， A= A， ACD ABC ， AD=2， AB=6， AC= 考点：相似三角形的判定与性质 在平面直角坐标系 xOy中，直线 与 x轴， y轴分别交于点 A， B，抛物线 过点 A和点 C （ 4， 0） （ 1）求该抛物线的表达式 （ 2）连接 CB，并延长 CB至点 D，使 DB=CB，请判断点 D是否在该抛物线上，并说明理由 （ 3）在（ 2）的条件下，过点 C作 x轴的垂线 EC与直线 交于点 E，以 DE为直径画 M， 求圆心 M的坐标； 若直线 AP与 M相切， P为切点，直接写出点 P的坐标 答案：（ 1） ；（ 2）在，理由见试题；（ 3） M（ 0， 7）； P（ 4
23、， 4）或 P（ 3， 3） 试题分析：（ 1）求出 A、 B的坐标，然后代入抛物线的式即可； （ 2）过点 D作 DF垂直 x轴于点 F，由 CDF CBO得到 D的坐标，代入抛物线进行检验； （ 3） 先求出 E的坐标，设 DE与 y轴的交点为 M，证明 M就是圆心 M，得出 M的坐标； 设 P(x， y)，则直线 PA MA，且 MA=5，因为两条直线垂直，它们的 k相乘为 1以及两点间距离公式，得到方程组，解方程组即可得到 P的坐标 试题：（ 1）依题意，可知 A（ 1， 0）， B（ 0， 2），抛物线经过点 A， C (4， 0)所以有 ，解得 ， ； （ 2）点 D在该抛物线上依题意，可得 BO=2， CO=4过点 D作 DF垂直 x轴于点 F， CDF CBO， ， DF=4， OF= CF OC =4， D（ 4， 4） ， 点 D在该抛物线上； （ 3） 由题意可知 E（ 4， 10），设 DE与 y轴的交点为 M， MB EC， ， D M=EM， M 即 M的圆心 M， ， M（ 0， 7） 设 P(x， y)，则直线 PA MA，且 MA=5， 直线 PA MA， ，解得： ， ， P（ 4， 4）或 P（ 3， 3） 考点：二次函数综合题
