1、2012-2013学年江苏省盐城中学高二上学期中考试数学试卷与答案（带解析） 填空题 命题 “ ”的否定是 . 答案： 试题分析：对于全称命题的否名： 改为 ，并对满足的条件加以否定 考点：全称命题的否定 点评： 的否定为 已知两个正数 ，可按规则 扩充为一个新数 ，在 三个数中取两个较大的数，按上述规则再扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作 ,若 ，对数 和数 经过 10次操作后 ,扩充所得的数为 ，其中 是正整数，则 的值是 . 答案： 试题分析：由 得 ，设第 n次扩充后得到的数为， ， ， ， ， ，考点：信息题 点评：信息题的主要解题思路是把握住信息的实质
2、联系，在解题中带入应用 已知点 分别是椭圆 ： （ ）的左顶点和上顶点，椭圆的左右焦点分别是 和 ，点 是线段 上的动点 ,如果 的最大值是 ，最小值是 ，那么，椭圆的 的标准方程是 . 答案： 试题分析：当 在 A点时 最大，此时 ，设直线 AD与圆交于 M,N两点， P在 MN中点时 最小，设中点为 C, 直线为 直线为 ，联立方程的最小值为 ，椭圆的 的标准方程 考点：直线和椭圆的位置关系 点评：本题关键是找到取得最大值最小值的点的位置 已知函数 在定义域 内可导，其图象如图所示，记 的导函数为 ，则满足 的实数 的范围是 . 答案： 试题分析： 时对应的原函数为增函数，观察图像可知 x
3、的范围是考点：函数导数求单调区间 点评： 得函数增区间， 得函数减区间 在平面直角坐标系 中， “直线 ， 与曲线 相切 ”的充要条件是 答案： 试题分析：曲线 化简得 ，由直线 与圆相切得圆心 到直线 的距离等于半径 1可得 考点：直线与圆相切的位置关系 点评：本题结合图形求解 设函数 的单调增区间为 . 答案： 试题分析： ，令得 ，增区间为 考点：求函数单调区间 点评：函数求导，导数大于零得增区间，导数小于零得减区间 已知 、 是椭圆 的左、右焦点，弦 过 ，则 的周长为 . 答案： 试题分析： 的周长为 考点：椭圆的定义 点评：椭圆上的点到两焦点的距离之和等于 若双曲线 上一点 到左焦
4、点的距离为 4，则点 到右焦点的距离是 . 答案： 试题分析：由双曲线方程可知 ，由定义 得考点：双曲线定义 点评：双曲线上的点到两焦点距离之差的绝对值等于 函数 ，若 ，则 . 答案： 试题分析： 考点：求函数导数 点评：各类基本函数的导数公式要熟记 曲线 在点 处的切线斜率为 答案： 试题分析： ， 考点：导数的几何意义 点评：函数在某点处的导数值等于该点处的切线斜率 在平面直角坐标系 中，双曲线 的离心率为 . 答案： 试题分析：由方程可知 ， 考点：求离心率 点评：求离心率问题首先由方程找到 函数 的导数是 . 答案： 试题分析： 考点：导数公式 点评：用到的导数公式 “ ”是 “ ”
5、 条件 .（填 “充分不必要 ”， “必要不充分 ”， “充要 ”， “既不充分也不必要 ”之一） 答案：充分不必要 试题分析：要判断两个范围间是哪种条件关系，需看是否有包含关系，若则 A是 B的充分条件， B是 A的必要条件 考点：充分条件必要条件 点评：若 则 是 的充分条件， 是 的必要条件 抛物线 的焦点坐标是 . 答案： 试题分析：一次项系数除以 4得焦点横坐标或纵坐标，所以焦点 考点：抛物线焦点 点评： 的焦点 解答题 (本小题满分 16分 ) 椭圆 : 的左、右顶点分别 、 ，椭圆过点 且离心率 . （ 1）求椭圆 的标准方程； （ 2）过椭圆 上异于 、 两点的任意一点 作 轴
6、， 为垂足，延长到点 ，且 ，过点 作直线 轴，连结 并延长交直线 于点，线段 的中点记为点 . 求点 所在曲线的方程； 试判断直线 与以 为直径的圆 的位置关系， 并证明 . 答案：（ 1） （ 2） 直线与圆相切，证明： AQ的方程为 , , , , , ， 直线 QN与圆 O相切 试题分析：（ 1）因为椭圆经过点（ 0， 1），所以 ，又椭圆的离心率得 ， 即 ，由 得 ，所以 ， 故所求椭圆方程为 。 （ 2） 设 ，则 ，设 ， HP=PQ， 即 ，将 代入 得 ， 所以 Q点在以 O为圆心， 2为半径的圆上，即 Q点在以 AB为直径的圆 O上。 又 A（ -2， 0），直线 AQ的
7、方程为 ，令 ，则， 又 B（ 2， 0）， N为 MB的中点， ， ， ， ， 直线 QN与圆 O相切。 考点：椭圆方程，动点的轨迹方程及直线与圆的位置关系 点评：最后一问判断直线与圆的位置关系转化为向量简化了解题 (本小题满分 15分 ) 如图，在半径为 的 圆形（ 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料 ，其中点 在圆上，点 、 在两半径上，现将此矩形铝皮 卷成一个以为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长，圆柱的体积为 . （ 1）写出体积 关于 的函数关系式，并指出定义域； （ 2）当 为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积 最大？最大体积是多少？ 答案：（ 1） （ 2）
8、当 时， V有最大值试题分析：（ 1）连结 OB， ， ， 设圆柱底面半径为 ，则 ，即 ， 所以 其中 。 （ 2）由 ，得 因此 在（ 0， ）上是增函数，在（ ， 30）上是减函数。 所以当 时， V有最大值 。 考点：函数应用题 点评：在求解函数应用题时注意实际限定条件对题目的影响 (本小题满分 15分 ) 若函数 在 时取得极值，且当 时，恒成立 . （ 1）求实数 的值； （ 2）求实数 的取值范围 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）由题意， 是方程 的一个根，设另一个根是，则 ，所有 （ 2）所以 ， ， 令 ，解得 + 0 - 0 + 极大值极小值 又 ，所以，当
9、 时， 。所以 ， 所以， 的取值范围是 . 考点：函数导数求极值最值 点评：不等式恒成立问题转化为求函数最值 (本小题满分 14分 ) 已知椭圆 ,其左准线为 ，右准线为 ，抛物线 以坐标原点 为顶点， 为准线， 交 于 两点 . （ 1）求抛物线 的标准方程； （ 2）求线段 的长度 . 答案：（ 1） （ 2） 16 试题分析：（ 1）椭圆 中 ，左准线为 ： ，右准线为 ： ，抛物线 准线为 方程为 （ 2）方程中令 得 考点：椭圆性质抛物线方程 点评：圆锥曲线的几何性质是常出的考点 (本小题满分 14分 ) 命题 ：函数 在 上是增函数；命题 ： ，使得. （ 1）若命题 “ 且 ”
10、为真，求实数 的取值范围； （ 2）若命题 “ 或 ”为真， “ 且 ”为假，求实数 的取值范围 . 答案：（ 1） （ 2） 或 试题分析：（ 1）命题 为真： ；命题 为真： ，命题 “ 且”为真，则 （ 2）命题 “ 或 ”为真， “ 且 ”为假，则命题 ，命题一真一假，命题 为真，命题 为假时 ；命题 为假，命题 为真时或 考点：复合命题真假的判定 点评：命题 “ 且 ”为真，则 , 需同时为真，命题 “ 或 ”为真，则至少一个为真 (本小题满分 16分 ) 已知函数 ， ， . （ 1）当 时，若函数 在区间 上是单调增函数，试求 的取值范围； （ 2）当 时，直接写出（不需给出演算
11、步骤）函数 （ ）的单调增区间； （ 3）如果存在实数 ，使函数 ， （ ）在 处取得最小值，试求实数 的最大值 . 答案：（ 1） （ 2） 时，增区间 ， 时，减区间 （ 3） 试题分析：（ 1） 函数 在区间 上是单调增函数 （ 2）当 时， 在 上是增函数； 当 时， 在 上是增函数 . （ 3） ， 根据题意， 在区间 上恒成立， 即 成立 整理得： ， 即 当 时，不等式 恒成立； 当 时，不等式 可化为 令 ， 根据题设条件， 的图象是开口向下的抛物线，故它在闭区间上的最小值必在区间端点取得，又 ，所以不等式 恒成立的条件是 即 ，变量分离得： ， 由条件，存在实数 使得 有解，所以 ， 即 ，整理得 ，解得： 又 ，所以 ，即实数 的最大值是 . 考点：求函数的单调区间最值 点评：本题第三问难度较大，对于学生没有明显的区分度
