1、2013-2014学年广东省执信中学高二下学期期中文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知全集 , 集合 则 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：因为全集 ,对于 集合 考点：全集与补集 函数 是 上的可导函数 , 时， ，则函数的零点个数为（ ） A B C D 答案： D 定义： ，其中 为向量 与 的夹角，若 ， ，则 等于 （ ） A B C 或 D 答案： B 试题分析：由题意， ，故 考点：向量的夹角的计算 已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由三视图，该几何体为底面为等腰直角三角形、高为 1 的直三棱柱，其体
2、积为 考点：三视图，柱体的体积 已知 且 ，则下列不等式中成立的是 ( ) A B C D 答案： D 试题分析： A当 时 不成立，同理 B 、 C 也不成立，由指数函数的单调性， D. 成立 考点：不等式，指数函数的单调性 若点 满足线性约束条件 ，则 的最大值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 答案： D 试题分析：由 得 ，画出 表示的可行域如图，联立 ，解得 ，平移直线 ，由图可知，使取得最大值的最优解为 的最大值为 考点：简单的线性规划问题 命题 “ ， ”的否定是 ( ) A ， 0 B ， C ， 0 D ， 答案： C 试题分析： “ ”的否定是 “ ”， “ ”的否定
3、是 “0”.故 命题 “ ， ”的否定是 ， 0 考点：命题的否定 “ ”是 “ ”的 ( ) A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 答案： B 试题分析：由 ，但 不一定得到 ，故 “ ”是 “ ”的充分不必要条件。选 B 考点：充要条件 设 ，若 ，则 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：由题意 ，则 ，故由题考点：导数及其运算 已知复数 ，则 （ ） A B C D 答案： A 试题分析：由题意 考点：复数的运算 填空题 如图， 是 的直径 延长线上一点， 与 相切于点 ，的角平分线交 于点 ，则 的大小为 _ 答案： 试题分析：如图所示，连接
4、 OC，则又因为 APC的角平分线为 PQ， ，在 中 ， 又考点：圆的切线的性质及判定定理 曲线 ： （ 为参数）上的点到曲线 ： ( 为参数 )上的点的最短距离为 答案： 试题分析： 则圆心坐标为 ； 由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为 所以要求的最短距离为 考点： 点到直线的距离，圆的参数方程，直线的参数方程 将石子摆成如下图的梯形形状称数列 为 “梯形数 ”根据图形的构成 ,判断数列的第 项 _; 答案： D 试题分析：由已知的图形我们可以得出：图形的编号与图中石子的个数之间的关系为： n=1时， n=2时， n=3时， 由此我们可以推断： ，故选 D 考点：归纳推理 双曲线的中
5、心在坐标原点，离心率等于 ， 一个焦点的坐标为 ，则此双曲线的方程是 答案： 试题分析： 离心率等于 2，一个焦点的坐标为 ， ，且焦点在轴上， 所以双曲线的方程为 考点： 双曲线的性质 在长为 的线段 上任取一点 , 则点 与线段两端点 、 的距离都大于 的概率是 . 答案： 试题分析：设 “长为 3m的线段 AB”对应区间 ,“与线段两端点 A、 B的距离都大于 1m”为事件 A，则满足 A的区间为 根据几何概型的计算公式可得，考点：几何概型 解答题 设函数 ， ， ,且以 为最小正周期 （ 1）求 ； （ 2）求 的式； （ 3）已知 ，求 的值 答案：（ 1） （ 2） （ 3） 试题
6、分析：（ 1）直接令 代入 即可求出 ； （ 2）由 的周期 求出 ，即可； （ 3）令 代入 化简得 ，利用平方关系即可求出 (1) 函数 ， (2) 函数 ， ， ，且以 为最小正周期 (3) ， ， 考点：函数 的图像和性质 某中学一位高三班主任对本班 名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行长期的调查 ,得到的统计数据如下表所示 : 积极参加班级工作 不太主动参加班级工作 合计 学习积极性高 18 7 25 学习积极性一般 6 19 25 合计 24 26 50 (1)如果随机调查这个班的一名学生 ,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少 抽到不太积极参加班级工作且学习积极性一般的
7、学生的概率是多少 (2)学生的积极性与对待班级工作的态度是否有关系 说明理由 . 答案： (1) 试题分析：（ 1）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数 50，满足条件的事件数分别是 24， 19，根据概率公式得到结果 （ 2）根据列联表所给的数据，代入求观测值的公式，求出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到有 99.9%的把握认为 “学生的学习积极性与对待班级工作的态度 ”有关系 (1)设 “抽到积极参加班级工作的学生 ”为事件 A， “抽到不太积极参加班级工作且学习积极性一般的学生 ”为事件 B，则由古典概型 (2)根据 所以 ,我们有 99.9%的把握认为 “学生的学习积极性与对待
8、班级工作的态度 ”有关系 . 考点：古典概型，相关性分析 如图所示的多面体中， 是菱形， 是矩形， 面 , (1)求证：平 ； (2)若 ，求四棱锥 的体积 答案： (1)见 (2) 试题分析：（ 1）利用直线与平面平行的判定定理证明 ， BC，利用面面平行的判定定理可得结论； (2)首先要找到四棱锥 ，为此连接 ， ， ，易证， 即 为四棱锥 的高，最后求得 ，可求四棱锥 的体积 （ 1）由 是菱形 由 是矩形 （ 2）连接 ， 由 是菱形， 由 , ， 则 为四棱锥 的高 由 是菱形， ， 则 为等边三角形， 由 ；则 ， 分 考点：平面与平面平行的判定；棱锥的体积 已知数列 中， , .
9、 （ 1）求 ， 的值； （ 2）求证： 是等比数列，并求 的通项公式 ； （ 3）数列 满足 ，数列 的前 n项和为 ，若不等式对一切 恒成立，求 的取值范围 . 答案：（ 1） （ 2） （ 3） 试题分析：（ 1）分别令 代入 ，即可求出 ， 的值 （ 2）根据需要求证的结果，由 构造数列 ，可得 （ 3）由（ 2） ，利用错位相减法求得，分类讨论当 n为偶数和 n为奇数时 的情况，可求 的取值范围 （ 1）由 知， ， 又 是以 为首项， 为公比的等比数列， （ 2） ， ， 两式相减得 ， 若 n为偶数，则 若 n为奇数，则 考点：等比数列，错位相减法求和，分类讨论思想 已知椭圆 过
10、点 ，两个焦点为 ， . (1)求椭圆 的方程； (2) , 是椭圆 上的两个动点，如果直线 的斜率与 的斜率互为相反数，证明直线 的斜率为定值，并求出这个定值 . 答案： (1) （ 2）直线 的斜率为定值 试题分析： (1) 由题意 ，设椭圆方程为 ，将 代入即可求出 ，则椭圆方程可求 . (2)设直线 AE方程为： ，代入入 得 ，再由点 在椭圆上，根据结直线 的斜率与 的斜率互为相反数，结合直线的位置关系进行求解 （ 1）由题意 ，设椭圆方程为 ， 因为点 在椭圆上，所以 ，解得 ， 所求椭圆方程为 （ 2）设直线 方程为 ，代入 得 设 ， ，点 在直线 上 则 ， ； 直线 的斜率
11、与直线 的斜率互为相反数，在上式中用 代替 得 ， ， 直线 的斜率 所以直线 的斜率为定值 考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题 已知函数 (1)求 在点 处的切线方程； (2)证明：曲线 与曲线 有唯一公共点； (3)设 ，比较 与 的大小 , 并说明理由 . 答案： (1) 试题分析： (1)首先求出 ，令 ，即可求出 在点 处的切线方程的斜率，代入点斜式即可求出切线方程 (2)令 则 ，根据 ，讨论在 上单调递增，所以 ，所以在 上单调递增， ，又 ，即函数 有唯一零点 ，所以曲线 与曲线有唯一公共点 . (3)作差得 ，令,讨论 ， 的单调性，得到 在 上单调递增，而，所以在 上 ，可得 时， （ 1) ，则 ， 点 处的切线方程为： ,(2) 令 ， ，则 ，且 ， ， 因此，当 时， ， 单调递减；当 时， ，单调递增 . 所以 ，所以 在 上单调递增，又 ，即函数有唯一零点 ， 所以曲线 与曲线 有唯一公共点 . (3) 设 令 且 ，则 ，所以 在 上单调增，且 ， 因此 ， 在 上单调递增，而 ，所以在 相关试题 2013-2014学年广东省执信中学高二下学期期中文科数学试卷（带）
