1、2013-2014学年广东省揭阳一中高一下学期第二次阶段考数学试卷与答案（带解析） 选择题 ( ) A B C D 答案： D. 试题分析：看清本题的结构特点符合平方差公式，化简得 ，然后将二倍角公式的逆用，得到最终化简结果为 ，用特殊角的三角函数即得结果 考点：二倍角的余弦 已知 ， ，若 ，那么 与在同一坐标系内的图像可能是（ ） 答案： C. 试题分析：由题意知 与 互为反函数，所以函数 ，在同一坐标系中的图象同增或同减，由此排除 A、 D；又由得， ，即 .在 B中， 是增函数，这是不可能的，故 B不成立；在 C中， 是减函数，是减函数，故 C成立 . 考点：反函数；对数函数的图像与性
2、质 直线 与圆 的位置关系是（ ） A相离 B相交 C相切 D不确定 答案： B. 试题分析：直线 恒过定点 ，而 满足 ，所以直线与圆相交 .故选 B. 考点：直线与圆的位置关系 为了了解某地参加计算机水平测试的 1000名学生的成绩，从中随机抽取200名学生进行统计分析，分析的结果用下图的频率分布直方图表示，则估计在这 1000名学生中成绩小于 80分的人数约有（ ） A 100人 B 200人 C 300人 D 400人 答案： C. 试题分析：由右图知，这 1000名学生中成绩小于 80分的频率为 、的直方图的面积即 ，所以这 1000名学生中成绩小于 80分的人数为 . 考点：频率分
3、布直方图 若 , 那么 是（ ） A直角三角形 B等边三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形 答案： C. 试题分析：因为 ，所以利用正弦定理以及余弦定理推出边的关系 ，可得 ，所以 是等腰三角形 .故选 C. 考点：三角形的形状判断 运行如图所示的程序框图，则输出 的值为（ ） A B C D 答案： A. 试题分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据程序框图所示 的顺序，可知：当 ， 时，执行循环体后 ， ； 当 ， 时，执行循环体后 ， ； 当 ， 时，执行循环体后 ， ； 当 ， 时，执行循环体后 ， ； 当 ， 时，执行循环体后 .故输出 的值为 -2. 考点：循环结构 已知平面
4、向量 ， ，且 ，则 ( ) A B C D 答案： B. 试题分析：由 ，然后根据平面向量共线（平行）的坐标表示建立等式即，求出 ，然后根据平面向量的坐标运算化简即得结果 考点：平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的坐标运算 设 是不同的直线， 是不同的平面，有以下四个命题： 其中，真命题是（ ） A B C D 答案： C. 试题分析：对于 利用平面与平面平行的性质定理可证 ， ，则 ，正确；对于 面 面 ， 面 ，此时 面 ，不正确；对应 因为 ，所以 内有一直线与 平行，而 ，根据面面垂直的判定定理可知 ，故正确；对应 有可能在平面 内，故不正确 . 故选 D. 考点：平面与平面之
5、间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系 函数 的零点所在的大致区间是（ ） A B C D 答案： B. 试题分析：函数 在 上是连续函数，由于 ，所以 ，根据零点存在性定理可得零点所在的大致区间为 考点：函数零点的判定定理 如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（ ） A B C D答案： C. 试题分析：由三视图可以看出，此几何体是一个圆柱，且底面圆的半径以及圆柱的高已知，故可以求出底面圆的周长为 与圆柱的高为 1，故侧面积为 考点：由三视图求面积、体积 填空题 给出下列命题： 存在实数 ,使 ； 函数 是偶函数； 是函数
6、 的一条对称轴的方程； 若 是第一象限的角，且 ，则 . 其中正确命题的序号是 . 答案： . 试题分析：对于 ，由于 ，所以 的最大值为 ，所以命题 错误； 对于 ，由 ，而 是偶函数，所以命题 正确； 对于 ，把 代入 ，即 ，所以 是函数 的一条对称轴的方程，所以命题 正确； 对于 ，举出反例，取 ， ， 是第一象限的角，且 ，但 .所以命题 错误 . 考点：命题的真假判断与应用 已知函数 的图象恒过定点 ，若点 与点 、在同一直线上，则 的值为 . 答案： . 试题分析：令 ，求得 ， ，可得函 的图象恒过定点 再根据点 与点 、 在同一直线上，可得 ，化简得 ，即 . 考点：指数函数
7、的单调性与特殊点 在边长为 的正三角形 中，设 ，则. 答案： -3. 试题分析：由已知中边长为 的正三角形 中，设 ，我们易得到三个向量的模均为 ，进而根据同起点向量夹角为 ，首尾相接的向量夹角为 ，代入平面向量数量积公式 ，即为所求 . 考点：平面向量数量积的运算 某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了 11场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员得分的中位数分别为 和 . 答案：、 13. 试题分析：由茎叶图知甲的分数是 6， 8， 9， 15， 17， 19， 23， 24， 26， 32，41，共有 11个数据，中位数是最中间一个 19；乙的数据是 5，
8、 7， 8， 11， 11，13， 20， 22， 30， 31， 40，共有 11和数据，中位数是最中间一个 13， 考点：茎叶图；众数、中位数、平均数 解答题 设函数 的最小正周期为 （ 1）求 的值； （ 2）若函数 的图像是由 的图像向右平移 个单位长度得到，求 的单调增区间 答案： (1) ；（ 2） 的单调增区间为 试题分析：（ 1）先将函数化简为 ，再由 ，可得答案：； （ 2）根据 先求出式，再求单调区间 . 试题：（ 1） . 依题意得 ，故 . （ 2）依题意得 . 由 ， 解得 故 的单调增区间为 考点：三角函数的周期性及其求法；函数 y=Asin（ x+）的图象变换 已
9、知圆 ： ，直线 经过点 ， （ 1）求以线段 为直径的圆 的方程； （ 2）若直线 与圆 相交于 ， 两点，且 为等腰直角三角形，求直线的方程 答案：（ 1）圆 的方程为 ；（ 2）直线 的方程为：或 . 试题分析：（ 1）将圆 化成标准方程，得圆心为 ，半径为 2从而得到的中点 ，得所求圆心坐标，再根据两点的距离公式算出半径 ，即得以线段 为直径的圆 的方程； （ 2）设直线 的方程为： ，根据题意等腰 中，利用点到直线的距离公式建立关于 的等式，解之可得实数 的值，得到直线 的方程 试题：（ 1）将圆 的方程 配方得标准方程为，则此圆的圆心为 ，半径为 2.所以 的中点 ，可得 ，所以
10、，即圆 的方程为 ； 设直线 的方程为： ， ，且 为等腰直角三角形， ， 因此圆心 到直线 的距离 解之得 或 ，所求直线 的方程为： 或 . 考点：圆的标准方程；直线的一般式方程 如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱 中， ， ， ，点 是 的中点 . （ 1）求证： ； （ 2）求证： （ 3）求三棱锥 的体积 . 答案：（ 1）证明：在 中，由勾股定理得 为直角三角形，即 又 面 ， ， 面 ， ； （ 2）证明：设 交 于点 ，则 为 的中点，连接 ，则 为的中位线， 则在 中， ，又 面 ，则 面 ； (3) . 试题分析：（ 1）由勾股定理得 ，由 面 得到，从而得到 面 ，故 ；（
11、 2）连接 交于点 ，则 为 的中位线，得到 ，从而得到 面；（ 3）过 作 垂足为 ， 面 ，面积法求，求出三角形 的面积，代入体积公式进行运算 . 试题：（ 1）证明：在 中，由勾股定理得 为直角三角形，即 又 面 ， ， ， 面 ，. （ 2）证明：设 交 于点 ，则 为 的中点，连接 ，则 为的中位线， 则在 中， ，又 面 ，则 面 （ 3）在 中过 作 垂足为 ， 由面 面 知， 面 ， 而 ， ，. 考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积 “世界睡眠日 ”定在每年的 3月 21日， 2009年的世界睡眠日主题是 “科学管理睡眠 ”，以提高公众对健康睡眠的自我管理能力和
12、科学认识 .为此某网站于 2009年 3月 13日到 3月 20日持续一周网上调查公众日平均睡眠的时间 (单位 :小时 )，共有 2000人参加调查 ,现将数据整理分组后如题中表格所示 . 序号 分组睡眠时间 组中值 频数 (人数 ) 频率 1 4.5 80 ( ) 2 5.5 520 0.26 3 6.5 600 0.30 4 7.5 ( ) ( ) 5 8.5 200 0.10 6 9.5 40 0.02 （ 1）求出表中空白处的数据，并将表格补充完整； （ 2）画出频率分布直方图； （ 3）为了对数据举行分析，采用了计算机辅助计算 .分析中一部分计算见算法流程图，求输出的 值。 答案：（
13、 1） ； ； ； （ 2）频率分布直方图见； （ 3）输出的 为 试题分析：（ 1）根据频率 =频数 /总数计算 内的频率，然后由所有的频率和等于 1可得 内的频率，进而求出该区间的频数； （ 2）根据所给的频率分布表，画出坐标系，画出频率分布直方图； （ 3）首先要理解直到型结构图的含义，输入 的值后，由赋值语句可以知道流程图进入一个求和状态，即根据频率分布直方图求这组数据的平均数 试题：（ 1） ； ； ； （ 2）频率分布直方图如图所示； （ 3）首先要理解直到型循环结构图的含义 .输入 的值后，由赋值语句 : 可知，流程图进入一个求和状态：令，前 项的和为 ，即 : ，则输出的 为
14、. 考点：用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图；循环结构 已知向量 ， ，且 的最小正周期为 .( ) （ 1）求 的值； （ 2）若 ，解方程 ； （ 3）在 中， 为原点， ， ，且 为锐角，求实数的取值范围 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3） 且 . 试题分析：（ 1）利用向量数量积的坐标表示及三角函数公式，得出； （ 2）利用特殊角的三角函数值求解； （ 3） 为锐角可转化为 ，且 、 不同向 . 试题：（ 1） . （ 2）由 得， 或， . 又 ， . （ 3） ， 为锐角， ，即 . 又 时， 、 同向， 且 . 考点：平面向量数量积的运算；函数的零点；两角和与差的正
15、弦函数；中参数的物理意义 已知 为常数， ，函数 ， 且方程有等根 （ 1）求 的式及值域； （ 2）设集合 ， ，若 ，求实数的取值范围； （ 3）是否存在实数 ，使 的定义域和值域分别为 和？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由 答案：（ 1） ，值域为 ；（ 2） ；（ 3）存在 ， 使 的定义域和值域分别为 和 . 试题分析：（ 1）由方程 有两个相等的实数根，则，得 ，又由 ，可求 ，从而求得 ，进而得出函数的值域； （ 2）首先对集合 进行分类： ； ；然后根据二次函数图像以及根的分布情况，分别确定实数 的取值范围；最后将这两类情况的实数 的取值范围取并集即可； （ 3）由函数 的最大值，确定 ，从而知当 时， 在上为增函数 .若满足题设条件的 存在，则 ，从而可求 的值 . 试题：（ 1） 又方程 ， ，即 有等根， ，即 ，从而 ， . 又 ，值域为 . （ 2） ， 当 时， ，此时 ，解得 ； 当 时，设 ，对称轴 ，要 ，只需，解得 ， . 综合 ，得 . （ 3） ，则有 ， . 又因为对称轴 ，所以 在 是增函数，即 ， 解得 ， . 存在 ， 使 的定义域和值域分别为 和 . 考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；函数式的求解及常用方法；二次函数在闭区间上的最值
