1、2013-2014学年广东省清远市高二下学期期末理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 复数 i1（ i是虚数单位）的虚部是（ ） A 1 B 1 C i D i 答案： A 试题分析：直接由复数虚部的定义知， i-1的虚部是 1，故选 A 考点：复数的基本概念 已知 ，把数列 的各项排列成如图所示的三角形状，记 A（ m，n）表示第 m行的第 n个数，则 A（ 10， 11） =（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由三角形状图可知，图中的第一行、第二行、第三行、 ，分别占了数列 的 1项、 3项、 5项、 ，每一行的项数构成了以 1为首项，以 2为公差的等差数列，则图中前 9行占了数
2、列 的总项数为项 A（ 10， 11）表示第 10行的第 11个数，则 A（ 10， 11）表示的是数列的第 92项，则 故选 A 考点：等比数列的定义及性质 设 ，则 （ ） A 2014 B 2014 C 2015 D 2015 答案： D 试题分析：由题意可得 即为展开式第 2015项的系数，再根据通项公式可得第 2015项的系数为： ，故选 D 考点：二项式系数的性质 用数学归纳法证明 12+32+52+ （ 2n1） 2= n（ 4n21）过程中，由 n=k递推到 n=k+1时，不等式左边增加的项为（ ） A（ 2k） 2 B（ 2k+3） 2 C（ 2k+2） 2 D（ 2k+1）
3、 2 答案： D 试题分析：用数学归纳法证明 12+32+52+ （ 2n1） 2= n（ 4n21）过程中，第二步，假设 n=k时等式成立，即 12+32+52+ （ 2k1） 2= k（ 4k21），那么当 n=k+1时， 12+32+52+ （ 2k1） 2+（ 2k+1） 2= k（ 4k21） +（ 2k+1） 2，等式左边增加的项是（ 2k+1） 2，故选 D 考点：数学归纳法 由函数 y=x2的图象与直线 x=1、 x=2和 x轴所围成的封闭图形的面积是（ ） A 3 B C 2 D 答案： B 试题分析：根据定积分的几何意义知，函数 y=x2的图象与直线 x=1、 x=2和 x
4、轴所围成的封闭图形的面积实质上为 ，故选 B 考点：定积分在求面积中的应用 运行如图的程序框图，则输出 s的结果是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：根据框图知，该算法实质上是计算 ，即输出的结果为，故选 B 考点：程序框图 函数 在点（ 1， 2）处的切线的斜率是（ ） A B 1 C 2 D 3 答案： C 试题分析：依题意得 ，于是 在点（ 1， 2）处的切线的斜率等于 2，故选 C 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 填空题 世卫组织规定， PM2 5日均值在 35微克 /立方米以下空气质量为一级；在35微克 /立方米 75微克 /立方米之间空气质量为二级；在 75微克 /
5、立方米以上空气质量为超标清远市环保局从市区 2013年全年每天的 PM2 5监测数据中随机抽取 15 天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶），从这 15天的数据中任取 3天的数据，则恰有一天空气质量达到一级的概率为 _ （用分数作答） 答案： 试题分析：由茎叶图知随机抽取 15天的数据中， PM2 5日均值在 35微克 /立方米以下的天数有 5天，因此从这 15天的数据中任取 3天的数据，恰有一天空气质量达到一级的概率为： 故答案：为： 考点：茎叶图 现有 4个男生和 3个女生作为 7个不同学科的科代表人选，若要求体育科代表是男生且英语科代表是女生，则不同的安排方法的种数为
6、 _ （用数字作答） 答案： 试题分析：由题意知，可 分三步完成本件事情，第一步，选 1男生为体育课代表，第二步，选 1女生为英语课代表，剩下的 5人进行全排列，最后根据分步计数原理得不同的安排方法的种数为 考点：计数原理的应用 若 ，则 的最小值为 _ 答案： 试题分析：由 得 ，且 ， ， ，所以，当且仅当 时等号成立。由 解得 ，所以 的最小值为 考点：基本不等式；对数的运算性质 （ 2014 濮阳县一模）如图，在矩形区域 ABCD的 A， C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域 ADE和扇形区域 CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）若在该矩形区域内随机
7、地选一地点，则该地点无信号的概率是 _ 答案： 试题分析：根据题意，计算出扇形区域 ADE和扇形 CBF的面积之和为 ，结合矩形 ABCD的面积为 2，可得在矩形 ABCD内且没有信号的区域面积为，再利用几何概型计算公式即可得出所求的概率 首先，因为扇形 ADE的半径为 1，圆心角等于 ，所以扇形 ADE的面积为 同理可得，扇形 CBF的面积也为 ；然后又因为长方形 ABCD的面积，再根据几何概型的计算公式得，在该矩形区域内 随机地选一地点，则该地点无信号的概率是 考点：几何概型 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在我市某普通中学高中生中随机抽取 200名学生，得到如下 22列联
8、表： 喜欢数学课 不喜欢数学课 合计 男 30 60 90 女 20 90 110 合计 50 150 200 经计算 K26 06，根据独立性检验的基本思想，约有 _ （填百分数）的把握认为 “性别与喜欢数学课之间有关系 ” 答案： 5% 试题分析：因为 K26 06 5 024，对照表格： 0 100 0 050 0 025 0 010 0 001 2 706 3 841 5 024 6 635 10 828 所以有 97 5%的把握认为 “性别与喜欢数学课之间有关系 ” 考点：独立性检验的基本思想 若复数 z满足 iz=1（其中 i为虚数单位），则 |z|= _ 答案： 试题分析：设 z
9、=x+yi， iz=1， i（ x+yi） =-y+xi=1，故 x=0， y=-1，即 z=-i，所以 |z|=1 考点：复数的乘除运算；复数模的定义 解答题 已知随机变量 服从正态分布 N（ 2， 2），且 P（ 4） =0 9，则 P（ 0 2） =（ ） A 0 2 B 0 3 C 0 4 D 0 6 答案： C 试题分析：因为随机变量 服从正态分布 N（ 2， 2），所以正态曲线的对称轴是 x=2，又因为 P（ 4） =0 9， 所以 P（ 4） =0 1因此 P（ 0 2） =0 5-0 1=0 4故选 C 考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 已知向量 ， ，函数 （ 1）
10、求函数 的最小正周期和单调递增区间； （ 2）如果 ABC的三边 所对的角分别为 、 、 ，且满足，求 的值 答案：（ 1）最小正周期为 ， 的增区间为； （ 2） 试题分析：（ 1）直接利用数量积的运算、倍角公式、两角和差的正弦公式即可得出函数 的表达式，再利用周期公式和正弦函数的单调性即可得出其单调递增区间；（ 2）利用余弦定理、特殊角的正弦函数值即可得出 试题：（ 1）因为所以 的最小正周期为 ，由得 的增区间为 （ 2）由 得 ，又由 在 ABC中， ，所以 考点：平面向量数量积的运算；余弦定理 从某节能灯生产线上随机抽取 100件产品进行寿命试验，按连续使用时间（单位：天）共分 5组
11、，得到频率分布直方图如图 （ 1）请根据频率分布直方图，估算样本数据的众数和中位数（中位数精确到0 01）； （ 2）若将频率视为概率，从该生产线所生产的产品（数量很多）中随机抽取 3个，用 表示连续使用寿命高于 350天的产品件数，求 的分布列和期望 答案：（ 1）众数 ，中位数 ；（ 2） 的分布列为 0 1 2 3 P 0 729 0 243 0 027 0 001 数学期望 E=np=0 3 试题分析：（ 1）由频率分布直方图，得到众数落在第三组（ 250， 300），由此能求出众数：数据落在第一、二组的频率是 0 20 5，所以中位数一定落在第三组 250， 300）中，设中位数是
12、x，则 0 2+（ x-250） 0 011=0 5，由此能求出中位数；（ 2）由题意=0， 1， 2， 3，且 B（ 3， 0， 1），由此能求出 的分布列和期望 试题 :（ ）由频率分布直方图，得到众数落在第三组（ 250， 300），所以； 因为数据落在第一、二组的频率是 0 20 5，所以中位数一定落在第 三组 250， 300）中，于是设中位数是 x，则 0 2+（ x-250） 0 011=0 5，解之得中位数 （ ）因样本中连续使用寿命高于 350天的产品有 10件，所占频率为 0 1，若将频率视为概率 0 1，则 =0， 1， 2， 3，且 B（ 3， 0， 1）， ， ， 所
13、以 的分布列为 0 1 2 3 P 0 729 0 243 0 027 0 001 所以数学期望 E=np=0 3 考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图 如图，平面 PAD 平面 ABCD， ABCD为正方形， PAD=90，且 PA=AD，E、 F分别是线段 PA、 CD的中点 （ ）求证： PA 平面 ABCD； （ ）求 EF 和平面 ABCD所成的角 的正切； （ ）求异面直线 EF 与 BD所成的角 的余弦 答案：（ 1）由已知 PA AD， AB AD，所以 为平面 PAD与平面ABCD所成二面角的平面角 由已知平面 PAD 平面 ABCD得， PA AB，又 AB 平
14、面 ABCD， AD 平面ABCD，且 ABAD=A，所以 PA 平面 ABCD；（ 2）所求的角 的正切值为；（ 3）异面直线 EF 与 BD所成角 的余弦值为 试题分析：（ 1）根据两个平面垂直的性质定理可得 PA 平面 ABCD；（ 2）连接 AF，则 即为 ，在直角三角形 EAF中，根据 计算求得结果即可；（ 3）欲求异面直线 EF 与 BD所成的角 的大小，只需平移两条异面直线中的一条，使它们成为相交直线，则相交直线所成的锐角或直角，就是异面直线所成角，再放入三角形中，通过解三角形，求出此角 试题：（ 1）由已知 PA AD， AB AD，所以 为平面 PAD与平面ABCD所成二面角
15、的平面角 由已知平面 PAD 平面 ABCD得， PA AB，又 AB 平面 ABCD， AD 平面ABCD，且 ABAD=A，所以 PA 平面 ABCD （ 2）连接 AF，因为 PA 平面 ABCD，则 AF 是 EF 在平面 ABCD上的射影，即 =设 PA=AD=a， FD= ，则 在 中，所以所求的角的正切值为 （ 3）取 BC 的中点 M，连接 EM、 FM，则 FM BD， EFM（或其补角）就是异面直线 EF 与 BD所成的角 可求得 ，同理， ，又 ， 在 MFE中， ， 故异面直线 EF 与 BD所成角 的余弦值为 考点：异面直线及其所成的角；直线与平面平行、垂直的判定；直
16、线与平面所成的角 在数列 ， 中， 且 ， ， 成等差数列， ， ，成等比数列（ ） （ 1）求 及 ； （ 2）猜想 ， 的通项公式，并证明你的结论 答案：（ 1） ； （ 2）猜想 用数学归纳法证明： 1、当 时，由上可得结论成立； 2、假设当 时，结论成立，即 ， 那么当 时， ，所以当 时，结论也成立 综上所述， 对一切正整数都成立 试题分析：（ 1）由已知可知 ， ，把 代入计算即可求得结果； （ 2）由（ 1）的结论猜想 ，再用数学归纳法证明猜想即可 试题：（ 1）由条件得 ， ，由 可得： （ 2）猜想 用数学归纳法证明： 1、当 时，由上可得结论成立； 2、假设当 时，结论成立
17、，即 ， 那么当 时， ，所以当 时，结论也成立 综上所述， 对一切正整数都成立 考点：数列的应用；数学归纳法 设 F1， F2分别是椭圆 C： 的左、右焦点 （ 1）设点 是椭圆 C上的点，且 F1（ 1， 0）， F2（ 1， 0），试写出椭圆C的方程； （ 2）设 K 是（ 1）中所得椭圆上的动点，求线段 的中点 B的轨迹方程； （ 3）设点 P是椭圆 C上的任意一点，过原点的直线 L与椭圆相交于 M、 N 两点，若直线 PM， PN的斜率都存在，并记为 ，试探究 的值是否与点 P及直线 L有关，并证明你的结论 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3） 的值与点P的位置无关，同时与直线 L
18、无关。理由如下：因过原点的直线 L与椭圆相交的两点 M， N 关于坐标原点对称，故可设 ， ， ，则 ， ，即 因为 、 、 在椭圆上，应满足椭圆方程即 ， ，两式相减得 ，所以 即 ， 故 的值与点 P的位置无关，同时与直线 L无关。 试题分析：（ 1）计算椭圆 C上点 到两点 F1（ 1， 0）， F2（ 1， 0）的距离和为 4，根据椭圆的定义知 和 ，再由 即可求出 ， ，即可写出椭圆 C的方程；（ 2）确定 的中点 ，与点 坐标之间的关系，把 的坐标代入椭圆方程，即可求线段 的中点 的轨迹方程；（ 3）设出 的坐标，代入方程，由两点式写出 与 所在直线的斜率，作积后把点的纵坐标用横坐
19、标表示，整理后可得要证明的结论 试题：（ 1）由于点 是椭圆 C上的点，故，即 又因为 ，所以 ，所以椭圆 C的方程为 （ 2）设 的中点 ，则点 ，把 的坐标代入椭圆方程中得 ，所以线段 的中点 的轨迹方程为 （ 3） 的值与点 P的位置无关，同时与直线 L无关。 理由如下：因过原点的直线 L与椭圆相交的两点 M， N 关于坐标原点对称，故可设 ， ， ，则 ， ，即 因为 、 、 在椭圆上，应满足椭圆方程即 ， ，两式相减得 ，所以 即 已知函数 的图象在点 处的切线方程为 来 （ 1）用 表示出 ， ； （ 2）证明：当 时， 在 上恒成立； （ 3）证明： 答案：（ 1） ；（ 2）由
20、（ 1）得 ，令， ， ， ， ， ， 是增函数，所以 ，即 ，故当 时， 所以当 时， 在上恒成立 （ 3）由（ 2）知，当 时， 在 上恒成立 令 ，则 ，当且仅当 时等号成立，即当 时，总有 令 ，则 ，即 令 ，得到 个不等式并将之累加得，整理得 试题分析：（ 1）通过函数的导数，利用导数值就是切线的斜率，切点在切线上，求出 ， 与 的关系； （ 2）利用不等式 ，构造函数 ，问题转化为在 上恒成立，利用导数求出函数在 上的最小值大于 0，求 的取值范围； （ 3）由（ 1）可知当 时， 在 上恒成立，则当 时，在 上恒成立，对不等式的左侧每一项裂项，然后求和即可推出要证的结论 试题：（ 1） ，则有 ， ，代入得 ，解得 （ 2）由（ 1）得 ，令， ， ， ， ， ， 是增函数，所以 ，即 ，故当 时， 所以当 时， 在上恒成立 （ 3）由（ 2）知，当 时， 在 上恒成立 令 ，则 ，当且仅当 时等号成立，即当 时，总有 相关试题 2013-2014学年广东省清远市高二下学期期末理科数学试卷（带）
