1、2013届山东省沂南一中高三第二次质量检测理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 抛物线 的准线方程是 ，则 的值为 （ ） A 4 B CD 答案： C 试题分析：把抛物线 转化为标准式为： ，因为准线方程为 ，所以 ，即 a= .。 考点：抛物线的简单性质。 点评：求抛物线的准线方程时要把抛物线方程转化为标准式，此为易错点。 设 x， y满足条件 的最大值为 12，则 的最小值为 ( ) A B C D 4 答案： D 试题分析：画出不等式表示的平面区域，当直线 ax+by=z（ a 0， b 0）过直线 x-y+2=0与直线 3x-y-6=0的交点（ 4， 6）时，目标函数 z=ax+by
2、（ a 0， b0）取得最大 12，即 4a+6b=12，即 2a+3b=6，则。当且仅当 即 时取等号。故选 D 考点：线性规划的有关知识。 点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题。其中能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数何时求最值是做本题的关键。 已知抛物线 上一点 到其焦点的距离为 5，双曲线 的左顶点为 ，若双曲线的一条渐近线与直线 平行，则实数 的值是 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：根据题意，抛物线 上一点 到其焦点的距离为 5，则点 M到抛物线的准线 x=- 的距离也为 5，即 |1+ |=5，解可得p=8；即抛物线的方程
3、为 y2=16x，易得 m2=28=16，则 m=4，即 M的坐标为（ 1，4）。双曲线 的左顶点为 A，则 a 0，且 A的坐标为（ - ， 0），其渐近线方程为 y= ；而 KAM= ，又由若双曲线的一条渐近线与直线 AM平行，则有 = ，解可得 a= 。故选 A 考点：抛物线的定义；双曲线的简单性质；斜率公式。 点评：本题主要考查双曲线与抛物线性质的综 合应用，难度一般。我们要熟练掌握抛物线的定义和双曲线的渐近线方程。 定义在 上的奇函数 对任意 都有 ，当 时， ，则 的值为 ( ) A B C 2 D 答案： A 试题分析：因为函数 对任意 都有 ，所以 的周期为 4，所以 ，所以
4、=。 考点：函数的性质：奇偶性和周期性。 点评：注意总结周期的有关知识。若函数 对任意 都有 ，则函数 的周期为 。 已知 是（ - ， + ）上的增函数，那么 的取值范围是 ( ) A (1， + ) B (- ,3) C ， 3)D (1,3) 答案： C 试题分析：因为函数 是（ - ， + ）上的增函数，所以 ，所以 ， 3)。 考点：分段函数；函数的单调性；对数函数的性质；一次函数的性质。 点评：此题是易错题，错误的主要原因是：忘记限制条件 。 把函数 的图象向左平移 个单位长度后，所得到的图象关于 轴对称，则 的最小值是 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：因为 ，所以
5、的图象向左平移 m（ m 0）个单位后得： g(x)=f(x+m)=2sin(x+m- )，因为 g(x)=2sin(x+m- )的图象关于 y 轴对称，所以 g(x)=2sin(x+m- )为偶函数，所以 m- =k+ ， k Z，所以 m=k+ ， k Z因为 m 0，所以 mmin= 故选 D 考点：函数 y=Asin（ x+）的图象变换；三角恒等变换。 点评：若函数 y=Asin（ x+）为偶函数，则 ；若函数 y=Asin（ x+）为奇函数，则 。 直线 与抛物线 所围成封闭图形的面积是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：联立直线与抛物线式 ，得： ，设直线与抛物线 所围
6、成图形的面积为 S，所以。 考点：定积分在求面积中的应用。 点评：此题考查了定积分的运算及数形结合的思想，熟练掌握利用定积分表示封闭图形的面积是解本题的关键 已知圆 的圆心为抛物线 的焦点 ,且与直线相切 ,则该圆的方程为 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：易知抛物线 的焦点为（ 1,0），所以 ，又因为圆与直线 相切，所以 ，所以圆的方程为 。 考点：抛物线的简单性质；圆的简单性质；点到之线的距离公式。 点评：要求圆的方程，确定圆心坐标与半径是关键 设等差数列 的前 项和为 、 是方程 的两个根，则等于 ( ) A B 5 CD -5 答案： A 试题分析：因为 、 是方程 的两
7、个根，所以 + =1，所以。 考点：等差数列的简单性质；等差数列前 n项和公式的灵活应用；韦达定理。 点评：熟练掌握等差数列的简单性质是做本题的前提条件。 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ( ) A B C 1 D 2 答案： C 试题分析：由三视图可知：原几何体为三棱柱。所以体积为：。 考点：三视图；空间几何体的体积公式。 点评：由三视图正确还原几何体是做本题的的关键。 已知 是两条不同直线， 是三个不同平面，下列命题正确的 ( ) ABCD答案： B 试题分析：对于 A：若 则 可能平行也可能相交； 对于 B： ，此为线面垂直的性质定理； 对于 C：若 ，则 可能平行、
8、相交或异面； 对于 D：若 ，则 可能平行也可能相交。因此选 B。 考点：点线面之间的位置关系；线面垂直的性质定理。 点评：本题考查了空间想象能力，做题时要注意特殊情况，属于基础题型。 已知命题 ,使 命题 ,都有 给出下列结论： 命题 “ ”是真命题 命题 “ ”是假命题 命题 “ ”是真命题 命题 “ ”是假命题其中正确的是 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：因为命题 ,使 为假命题，命题 ,都有为真命题，所以 命题 “ ”是假命题 ； 命题 “ ”是假命题； 命题 “ ”是真命题； 命题 “ ”是真命题。因此选 D。 考点：含有逻辑连接词命题真假的判断；全称命题；特称命题。
9、点评：熟练掌握含有逻辑连接词的命题真假的判断。 填空题 对正整数 n，设曲线 在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 ，则 的前 n项和是 . 答案： 试题分析：易知 y=nxn-1-（ n+1） xn，曲线 在 x=2处的切线的斜率为k=n2n-1-（ n+1） 2n，切点为（ 2， -2n），所以切线方程为 y+2n=k（ x-2），令 x=0得 an=（ n+1） 2n，所以 ，所以数列 是首项为 2，公比为 2的等比数列。所以 的前 n项和是 。 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的几何意义；等差数列的前 n项和公式。 点评：应用导数求曲线切线的斜率时，要注意 “在某点的
10、切线 ”与 “过某点的切线 ”的区别，否则容易出错。 已知直线 与曲线 相切，则 a的值为 _. 答案： 试题分析：设切点坐标为（ m， n），所以 ， 由导数的几何意义得： y|x=m= 由 联立解得： 。 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的几何意义。 点评：灵活应用导数的几何意义，尤其要注意切点这个特殊点，充分利用切点即在曲线方程上，又在切线方程上，切点处的导数等于切线的斜率这些条件列出方程组求解。属于基础题。 已知向量 , ，若函数 在区间 上存在增区间，则 的取值范围为 答案： 试题分析： ， ，因为 在区间 上存在增区间，所以 0在 上有解，即在 上有解，所以 。 考点：数
11、量积的坐标表达式；函数的单调性与导数的关系 点评：有关恒成立的问题和存在性问题若能用分离参数，一般用分离参数的方法来解决。 已知圆 的圆心在直线 上 ,其中，则 的最小值是 . 答案： 试题分析：易知圆 的圆心为（ 2， 1），因为点（ 2， 1）在直线 上，则 a+b=ab，因为 a 0， b 0，所以由基本不等式得： a+b=ab2 ，即 ab4（当且仅当 时取等号），所以 ab的最小值是4。 考点：基本不等式；圆的一般式方程。 点评：本题主要考查了基本不等式的灵活应用，注意基本不等式应用的 前提条件：一正二定三相等。同时本题也考查了运算求解的能力，属于基础题。 解答题 （本小题满分 12
12、分）已知 的角 A、 B、 C所对的边分别是 ，设向量 , , （ ）若 ，求证： 为等腰三角形； （ ）若 ，边长 ， ，求 的面积 . 答案： ( )见；（ ） 。 试题分析： ( ) ， ，由正弦定理可知， ，其中 R是 外接圆的半径， .因此， 为等腰三角形 .6 分 （ ）由题意可知， ，即 由余弦定理可知， 即 ， ( 舍去 ) .12 分 考点：正弦定理；平面向量数量积的运算；三角形的面积公式。 点评：本题以向量的方式来给出题设条件，来考查三角有关的知识，较为综合。同时本题对答题者公式掌握的熟练程度要求较高，是一道中档题 （本小题满分 12分）已知各项都不相等的等差数列 的前 6
13、项和为 60，且 为 和 的等比中项 . ( I ) 求数列 的通项公式； (II) 若数列 满足 ，且 ，求数列 的前 项和 . 答案：（ ） ；（ ） 。 试题分析：（ ）设等差数列 的公差为 ( )，则2 解得 4 分 5 分 （ ）由 ， ， 6 分 8 分 10 分 12 分 考点：等差数列的简单性质；等比中项；通项公式的求法；数列求和。 点评：若已知递推公式为 的形式求通项公式常用累加法。 注： 若 是关于 n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和 ; 若 是关于 n的二次函数，累加后可分组求和 ; 若 是关于 n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和 ; 若 是关于 n的分式函数
14、，累加后可裂项求和。 （本小题满分 12分）已知函数（ ），直线 ， 是 图象的任意两条对称轴，且的最小值为 （ I）求 的表达式； （ ）将函数 的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，若关于 的方程，在区间 上有且只有一个实数解，求实数 的取值范围 . 答案：（ ） ；（ ） 或 . 试题分析：（ ） 3分 由题意知，最小正周期 ， ，所以 ， -6分 （ ）将 的图象向右平移个 个单位后，得到 的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变，得到的图象 . -9分 令 ， , ，在区间 上有且只有一个实数解
15、，即函数 与在区间 上有且只有一个交点，由正弦函数的图像可知 或 或 . -12分 考点：三角函数的恒等变换应用；二倍角公式；三角函数的性质；图像的变换。 点评：左右平移是对 “x”而言的，若 x前有系数，一定要提系数，不然易错。 （本题满分 12分）如图，四棱锥 中，底面 是边长为 4的正方形， 是 与 的交点， 平面 ， 是侧棱 的中点，异面直线和 所成角的大小是 60 . （ ）求证：直线 平面 ； （ ）求直线 与平面 所成角的正弦值 . 答案：（ ）见；（ ） 。 试题分析：（ ）连结 ， 1 分 四边形 是正方形， 是 的中点， 2 分 又 是侧棱 的中点， / .又 平面 ， 平
16、面 ， 直线/平面 .4 分 （ ） 所成角为 ， , 为等边三角形.5分在 中， , 建立如图空间坐标系， 7 分 设平面 的法向量 ，则有 即 解得 9 分 直线 与平面 所成角记为 ，则 12 分 考点：线面垂直的性质定理；异面直线所成的角；直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定定理 点评：本题考查直线与平面平行的证明及直线与平面所成角的正弦值的求法解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用 （本小题满分 12分）已知函数 ， ，其中 且 . （ I）求函数 的导函数 的最小值； （ II）当 时，求函数 的单调区间及极值； （ III）若对任意的 ，函数 满足 ，求实数 的取值
17、范围 . 答案：（ I） ；（ II）单调增区间是 ， ；单调减区间是 ； 处取得极大值 ，在 处取得极小值 .（ III）。 试题分析：（ I） ，其中 . 因为 ，所以 ，又 ，所以 ， 当且仅当 时取等号，其最小值为 . 24 分 （ II）当 时， ， .5 分 的变化如下表： 0 0 所以，函数 的单调增区间是 ， ；单调减区间是.7 分 函数 在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 .8分 （ III）由题意， . 不妨设 ，则由 得 . 令 ，则函数 在 单调递增 .10分 在 恒成立 . 即 在 恒成立 . 因为 ，因此，只需 . 解得 . 故所求实数 的取值范围为 . 12 分
18、 考点：基本不等式；求导公式及运算法则；利用导数判断函数的单调性；利用导数求函数的极值。 点评：构造出函数 ，把证明 转化为证明 （本小题满分 14 分）已知动圆 过定点 ，且与直线 相切，椭圆 的对称轴为坐标轴，一个焦点为 ，点 在椭圆 上 . (1)求动圆圆心 的轨迹 的方程及椭圆 的方程； (2)若动直线 与轨迹 在 处的切线平行，且直线 与椭圆 交于 两点，试求当 面积取到最大值时直线 的方程 . 答案： (1) 轨迹 的方程 ；椭圆方程为 (2) 试题分析：（ 1）过圆心 M作直线 的垂线，垂足为 H. 由题意得， |MH|=|MF|,由抛物线定义得，点 M的轨迹是以 为焦点，直线
19、为准线的抛物线，其方程为 .3分 设椭圆方程为 ，将点 A代入方程 整理得解得 .故所求的椭圆方程为.5分 （ 2）轨迹 的方程为 ，即 . 则 ，所以轨迹 在 处的切线斜率为 ， .7分 设直线 方程为 ，代入椭圆方程得 因为 ，解得 ； .9分 设 所以 点 A到直线的距离为 .12分 . 所以 当且仅当 ，即 时等号成立，此时直线 的方程为 .14分 考点：圆的简单性质；椭圆的简单性质；轨迹方程的求法；直线与圆锥曲线的综合问题 点评：求轨迹方程的一般方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。本题求轨迹方程用到的是定义法。用定义法求轨迹方程的关键是条件的转化 转化成某一已知曲线的定义条件。
