1、2014届山西省山西大学附中高三 9月月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ,则 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：因为， ，所以，= ，故选 . 考点：集合的运算，简单不等式解法 . 已知 为平面内两定点 ,过该平面内动点 作直线 的垂线 ,垂足为 .若 ,其中 为常数 ,则动点 的轨迹不可能是 （ ） A圆 B椭圆 C抛物线 D双曲线 答案： C 试题分析：以 所在直线为 轴， 中垂线为 轴，建立坐标系， 设 ； 因为 ， 所以 ， 即 ，当 时，轨迹是圆 当 且 时，是椭圆的轨迹方程； 当 时，是双曲线的轨迹方程 当 时，是直线的轨迹方程； 综上，方程不表示抛物
2、线的方程 故选 C 考点：圆锥曲线的标准方程 已知 的外接圆半径为 1，圆心为 O，且 ，则 的值为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：因为 ，所以 ， 因此 ， 即 ，所以 ，又向量 ， 所以 ，故选 . 考点：平面向量的线性运算、数量积 . 抛一枚均匀硬币，正反每面出现的概率都是 ，反复这样投掷，数列定义如下： ，若 ，则事件 “ ”的概率是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：事件 表示反复抛掷 8次硬币，其中出现正面的次数是 5次， 其概率 事件 “ ”表示前两次全正或全负，则概率为 ，故选 B 考点：独立重复试验事件的概率 已知函数 ,其中 为实数 ,若 对 恒成立
3、 ,且.则下列结论正确的是（ ） A B C 是奇函数 D 的单调递增区间是 答案： D 试题分析： 对 x R恒成立， ， ， 不妨取 ， ， 错； ， 错； ， 错； ， 对； 故选 . 考点：三角函数图象和性质 已知 关于 的一元二次不等式 的解集中有且仅有 3 个整数，则所有符合条件的 的值之和是（ ） A 13 B 18 C 21 D 26 答案： C 试题分析：设 ，其图象是开口向上，对称轴是 x=3 的抛物线，如图所示 若关于 的一元二次不等式 的解集中有且仅有 3个整数， 则 ，即 ， 解得 ，又 则所有符合条件的 的值之和是 6+7+8=21 故选 C 考点：一元二次不等式解
4、法，二次函数的图象和性质 . 函数 的零点个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 答案： B 试题分析：令 得 ，结合函数的图象可知，函数 的零点有两个，故选. 考点：函数的零点，对数函数的图象和性质 . 已知图 中的图象对应的函数为 y f(x)，则图 的图象对应的函数为( ) A B C D 答案： C 试题分析：设所求函数为 ， ， C选项符合题意 故选 C. 考点：函数的图象 设不等式组 表示的平面区域为 .若圆 不经过区域 上的点 ,则 的取值范围是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：作出不等式组 表示的平面区域， 得到如图 及其内部，其中 . 圆 表示以 为圆心，半
5、径为 的圆， 由图可得，当半径满足 或 时，圆 不经过区域 上的点， ， ， 当 或 时，圆 不经过区域 上的点，故选 . 考点：圆的标准方程、平面内两点间的距离公式、二元一次不等式组表示的平面区域 . （ ）展开式中只有第 6 项系数最大，则其常数项为（ ） A 120 B 210 C 252 D 45 答案： B 试题分析：由展开式中只有第 6项的系数 最大可得展开式有 11项即 展开式的通项为 令 可得，此时 ，故选 . 考点：二项式系数的性质 从甲、乙等 名志愿者中选出 名，分别从事 ， ， ， 四项不同的工作，每人承担一项若甲、乙二人均不能从事 工作，则不同的工作分配方案共有（ ）
6、A 种 B C 种 D 种 答案： B 试题分析：根据题意，分两种情况讨论： 、甲、乙中只有 1人被选中，需要从甲、乙中选出 1人，担任后三项工作中的 1种，由其他三人担任剩余的三项工作，有 种选派方案 、甲、乙两人都被选中，则在后三项工作中选出 2项，由甲、乙担任，从其他三人中选出 2 人，担任剩余的两项工作，有 种选派方案， 综上可 得，共有 36+36=72中不同的选派方案，故选 考点：排列组合应用 若复数 的实部与虚部相等，则实数 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：因为， ，而其实部与虚部相等，所以，选 . 考点：复数的概念，复数的代数运算 . 填空题 已知 是定义在 R上
7、的不恒为零的函数，且对于任意的 ，满足， ， 考查下列结论： ； 为偶函数； 数列 为等比数列； 数列 为等差数列 .其中正确的是 _ . 答案： 试题分析：令 ，则 ， 令 ，则 ，所以 故 正确 ， ， f（ -x） =-f（ x） +xf（ -1） =-f（ x）， 是 R上的奇函数故 不正确 ， ， 以此类推 （共 个） = ， 故 正确 ，故 正确 故答案：为： 考点：数列的概念，抽象函数 . 已知 当 取得最小值时，直线 与曲线的交点个数为 答案： 试题分析： ， 当且仅当 ，即 时， 取得最小值 8， 故曲线方程为 时，方程化为 ； 当 时，方程化为 ， 当 时，方程化为 ， 当
8、 时，无意义， 由圆锥曲线可作出方程 和直线 与的图象， 由图象可知，交点的个数为 2. 考点：基本不等式，直线与圆锥曲线的位置关系 . 观察下列算式： ， ， ， ， 若某数 按上述规律展开后，发现等式右边含有 “ ”这个数，则_ 答案： 试题分析：由题意可得第 行的左边是 ，右边是 个连续奇数的和， 设第 行的第一个数为 ，则有 ， ， 以上 个式子相加可得 ， 故 ，可得 ， 故可知 2013在第 45行， 故答案：为 45. 考点：归纳推理 三棱锥 及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱 的长为_ _. 答案： 试题分析：由主视图知 平面 ，设 中点为 E，则 ，且； 由左视图知
9、， 在 Rt BCE中， ，在 中， 故答案：为 . 考点：三视图，距离计算 . 解答题 已知数列 满足 ， ，数列 满足 . （ 1）证明数列 是等差数列并求数列 的通项公式； （ 2）求数列 的前 n项和 . 答案：（ 1）证明：见 . 试题分析：（ 1）利用 ，进一步确定得到 ，两式相减确定数列是等差数列，进一步得到通项公式 .（ 2）根据 可选用 “错位相减法 ”求和，这是一类相当典型的题目，应熟练掌握其一般解法 . 试题：（ 1）证明：由 ，得 ， 2分 所以数列 是等差数列，首项 ，公差为 4分 6分 （ 2） 7分 9分 得 11分 12分 考点：等差数列， “错位相减法 ”求和
10、 . 现有甲、乙两个靶 .某射手向甲靶射击两次 ,每次命中的概率为 ,每命中一次得 1分 ,没有命中得 0分 ;向乙靶射击一次 ,命中的概率为 ,命中得 2分 ,没有命中得 0分 .该射手每次射击的结果相互独立 .假设该射手完成以上三次射击 . (I)求该射手恰好命中两次的概率 ; (II)求该射手的总得分 的分布列及数学期望 ; 答案 ： (I) . (II) 的分布列是 0 1 2 3 4 . 试题分析： (I)此类题的一般解法是，标记事件，计算概率，注意到记 :“该射手恰好命中两次 ”为事件 ,“该射手第一次射击甲靶命中 ”为事件 ,“该射手第二次射击甲靶命中 ”为事件 ,“该射手射击乙
11、靶命中 ”为事件 .可得 , 进一步利用计算即得 . (II)注意到 的所有可能取值为 0,1,2,3,4.利用独立事件同时发生的概率计算公式可得 .细心计算是关键 . 试题： (I)记 :“该射手恰好命中两次 ”为事件 ,“该射手第一次射击甲靶命中 ”为事件 ,“该射手第二次射击甲靶命中 ”为事件 ,“该射手射击乙靶命中 ”为事件 . 由题意知 , , 所以 . 6分 (II)根据题意 , 的所有可能取值为 0,1,2,3,4. , . , , , 11分 故 的分布列是 0 1 2 3 4 12分 所以 . 14分 考点：独立事件同时发生的概率，随机变量的分布列及数学期望 . 设 是抛物线
12、 上相异两点， 到 y轴的距离的积为 且 （ 1）求该抛物线的标准方程 . （ 2）过 Q 的直线与抛物线的另一交点为 R，与 轴交点为 T，且 Q 为线段 RT的中点，试求弦 PR长度的最小值 答案：（ 1） .（ 2）直线 PQ垂直于 x轴时 |PR|取最小值 . 试题分析：（ 1）确定抛物线的标准方程，关键是确定 的值 .利用 ，可得 ， 再根据 P、 Q 在抛物线上，得到 ，集合已知条件， 得 4p2 4， p=1 （ 2）设直线 PQ过点 ，且方程为 ，应用联立方程组 消去 x得 y2 2my 2a 0，利用韦达定理，建立 的方程组，确定 得到，利用 “弦长公式 ”求解 . 试题：
13、（ 1） 0，则 x1x2 y1y2 0， 1分 又 P、 Q 在抛物线上，故 y12 2px1， y22 2px2，故得 y1y2 0， y1y2 4p2 3分 又 |x1x2| 4，故得 4p2 4， p=1 所以抛物线的方程为 : 5分 （ 2）设直线 PQ过点 E(a,0）且方程为 x my a 联立方程组 消去 x得 y2 2my 2a 0 7分 设直线 PR与 x轴交于点 M(b,0)，则可设直线 PR方程为 x ny b,并设 R(x3,y3)， 同理可知 9分 由 、 可得 由题意， Q 为线段 RT的中点， y3 2y2， b=2a 又由（ ）知， y1y2 4，代入 ，可得
14、 2a 4 a 2故 b 4 11分 . 当 n=0，即直线 PQ垂直于 x轴时 |PR|取最小值 14分 考点：抛物线标准方程，直线与抛物线的位置关系 . 设 ，曲线 在点 处的切线与直线垂直 . (1)求 的值 ; (2) 若 ， 恒成立，求 的范围 . (3)求证： 答案： (1) 0. (2) . (3) 结合（ 2） 时 , 成立 .令 得到 ， 累加可得 . 试题分析： (1)求导数，并由 得到 的值 ; (2)恒成立问题，往往转化成求函数的最值问题 .本题中设 ，即转化成.利用导数研究函数的最值可得 . (3) 结合（ 2） 时 , 成立 .令 得到， 累加可得 . 试题： (1) 2分 由题设 ， ， . 4分 (2) , ， ，即 设 ，即 . 6分 若 ， ，这与题设 矛盾 . 8分 若 方程 的判别式 当 ，即 时， . 在 上单调递减， ，即不等式成立 . 9分 当 时，方程 ，其根 ， 当 , 单调递增， ，与题设矛盾 . 综上所述， . 10分 (3) 由 (2)知 ,当 时 , 时 , 成立 . 不妨令 所以 ， 11分 12分 累加可得 14分 考点：导数的几何意义，利用导数研究函数的性质，利用导数证明不等式 .
