1、2014届重庆市高三下学期考前模拟（二诊）理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知 为虚数单位，复数 的虚部是（ ） A B C D 答案： A 试题分析： .选 A 考点：复数的概念及基本运算 已知椭圆 和椭圆 的离心率相同，且点 在椭圆 上 . （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）设 为椭圆 上一点，过点 作直线交椭圆 于 、 两点，且 恰为弦 的中点。求证：无论点 怎样变化， 的面积为常数，并求出此常数 . 答案：（ 1）椭圆 的方程为 ；（ 2） 的面积为常数 试题分析：（ 1）由题知， 且 ， 解这个方程组求得即可得椭圆 的方程；（ 2）涉及直线与曲线的关系的问题，多是将直线方程与曲
2、线方程联立再用韦达定理解决 .此题中有两个椭圆，将哪个椭圆的方程与直线方程联立？此题意即直线与 的交点的中点在 上，故应将直线方程与的方程联立由韦达定理得中点坐标，再将中点坐标代入 的方程 .然后求出三角形 OAB的面积的表达式，再利用前面所得关系式化为一常数即可 . 试题：（ 1）由题知， 且 即 ， 椭圆 的方程为； 4分 （ 2）当直线 的斜率不存在时，必有 ，此时 ， 5分 当直线 的斜率存在时，设其斜率为 、 点 ，则 与椭圆 联立，得 ，设， 则 即 8分 又 9分 综上，无论 怎样变化， 的面积为常数 12分 考点： 1、椭圆的方程； 2、直线与圆锥曲线的位置关系 . 已知 ，函
3、数 的零点分别为 ，函数的零点分别为 ，则 的最小值为（ ） A 1 B C D 3 答案： B 试题分析：由题知， ， ， ， . ， 又 故选 B 考点： 1、函数的零点； 2、指数运算； 3、函数的最值 . 已知 中， 边的中点，过点 的直线分别交直线 、 于点、 ，若 ， ，其中 ，则 的最小值是（ ） A 1 BC D 答案： A 试题分析：由已知得： ，因为 D、 E、 F三点共线，所以 ，由重要不等式得：. 考点：向量的运算 . 对任意实数 ，定义运算 ： ，设，则 的值是（ ） A B C D不确定 答案： A 试题分析：题中所定义运算即为取最大值 .设 ，则，当 时， 单调递
4、减，所以最大，选 A. 考点： 1、新定义； 2、导数的应用 . 设 是椭圆 上两点，点 关于 轴的对称点为 （异于点 ），若直线 分别交 轴于点 ，则 （ ） A 0 B 1 C D 2 答案： D 试题分析：（特例法）不妨设 ，则 ，.选 D. 考点：椭圆及向量 . 某几何体的三视图如题（ 6）所示，其侧视图是一个边长为 1 的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则这个几何体的体积为（ ） A 1 BC D 答案： C 试题分析：这是由两个三棱锥拼成的几何体，其体积为 .选 C. 考点：三视图及几何体的体积 . 执行如图所示的程序框图，则输出的 为（ ） A 20 B 14 C 1
5、0 D 7 答案： A 试题分析：根据程序框图可得：，由此可知，所有 构成一个周期为 5的周期数列， 时， ，此时循环结束，故输出 20. 考点：程序框图 . 如图是收集重庆市 2013年 9月各气象采集点处的平均气温（单位： ）的数据制成的频率分布直方图，图中有一处因污迹看不清。已知各采集点的平均气温范围是 ，且平均气温低于 22.5 的采集点个数为 11，则平均气温不低于 25.5 的采集点个数为（ ） A 6 B 7 C 8 D 9 答案： D 试题分析：根据频率分布直方图可得， 21.5， 23.5的频率是 0.24，所以 20.5，22.5的频率是 0.22，所以采集点总数为 ，平均
6、气温不低于 25.5的采集点个数为 . 考点：频率分布直方图 . 若 是 的必要条件， 是 的充分条件，那么下列推理一定正确的是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由题意得， ，从而 . 考点：逻辑与命题 . 设集合 ，集合 ，则 （ ） A B C D 答案： A 试题分析：根据集合 B的定义可得，当 时， ，所以 ；当 时， ，所以 ；当 时， ，所以；所以 . 考点：集合的基本运算 . 填空题 函数 ，若不等式 的解集为 ，则实数 的值为 . 答案： 试题分析：将 代入 得 且，解之得 .再将 代入 得其解集为，故 . 考点：不等式选讲 . 在直角坐标系 中，以原点 为极点，
7、轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线 （ 为参数）与曲线 异于点 的交点为 ，与曲线 异于点 的交点为 ，则 . 答案： 试题分析：直线 （ 为参数）的普通方程为 ；曲线的普通方程为 ；曲线 的普通方程为.易得 . 考点：极坐标与参数方程 . 如图：两圆相交于点 、 ，直线 与 分别与两圆交于点 、 和 、， ，则 . 答案： 试题分析：由题设得， ，. 考点：几何证明及计算 . 已知平面区域 ，直线 和曲线有两个不同的交点，直线 与曲线 围成的平面区域为 ，向区域 内随机投一点 ，点 落在区域 内的概率为 ，若 ，则实数 的取值范围是 . 答案： 试题分析：如图所示，设直线 与曲线 交于
8、两点， 的大小为 ， 的面积 扇形 的面积 阴影部分面积 显然 ，且 关于 递增，易得当 时， ，此时 ；当 时， ，此时 ； 考点： 1、平面区域； 2、几何概型 . 等比数列 满足：对任意 ，则公比 . 答案： 试题分析：由已知得， .因为 ，所以 . 考点： 1、等比数列； 2、二次方程 . 已知 ，且 ，则 . 答案： 试题分析：由已知得， . 考点：三角函数基本运算 . 解答题 已知向量 ，函数的最小正周期为 . （ 1）求 的值； （ 2）设 的三边 、 、 满足： ，且边 所对的角为 ，若关于的方程 有两个不同的实数解，求实数 的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题
9、分析：（ 1）由向量的数量积得： ，将降次化一，化为 的形式，然后利用公式 便可求得 （ 2）首先求出角 即 的范围，再结合正弦函数的图象便可得出方程有两个不同的实数解时 的取值范围 .由余弦定理得：，从而可得 的范围 . 试题：（ 1）4分 ； 6分 （ 2） 9分 所以 ， 由函数 的图象知，要有两个不同的实数解，需 ，即 13分 考点： 1、三角函数； 2、向量； 3、余弦定理 . 某学校在一次运动会上，将要进行甲、乙两名同学的乒乓球冠亚军决赛，比赛实行三局两胜制 .已知每局比赛中，若甲先发球，其获胜的概率为 ，否则其获胜的概率为 . （ 1）若在第一局比赛中采用掷硬币的方式决定谁先发球
10、，试求甲在此局获胜 的概率； （ 2）若第一局由乙先发球，以后每局由负方先发球 .规定胜一局记 2分，负一局记 0分，记 为比赛结束时甲的得分，求随机变量 的分布列及数学期望 . 答案：（ 1） ；（ 2） 分布列如下， . 试题分析：（ 1）甲获得发球权的概率为 ，如果甲获发球权，则他取胜的概率为 ，若他未获得发球权，则他获胜的概率为 .二者相加即得甲获胜的概率 .（ 2）若甲连输两局，则得 0分；若甲胜两局，则得 4分；若以 1比 2告负，则得 2分，所以 的取值为 ，据此可得其分布列和期望 试题：（ 1） ； 6分 （ 2）由题知， 的取值为 ，分布列如下： 13分 考点： 1、古典概型
11、； 2、随机变量的分布列及期望 . 如图，直三棱柱 中， ， 为 中点， 上一点，且 . （ 1）当 时，求证： 平面 ； （ 2）若直线 与平面 所成的角为 ，求 的值 . 答案：（ 1）详见；（ 2） . 试题分析：由于 两两互相垂直，故可以 为坐标轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解 .（ 1）建立空间直角坐标系如图所示，求出向量 ，再数量积 ，只要它们的数量积等于 0即可 .（ 2）首先求出平面 的一个法向量 ，由直线与平面所成角的公式及题设可得 ，解这个方程即得 . 试题：（ 1）建立空间直角坐标系如图所示 ,则 ， 3分 又 平面 ； 6分 （ 2）由题知 ， ， ， ， 平
12、面 的一个法向量为 9分 即 解得 13分 考点： 1、空间直线与平面的位置关系； 2、空间直线与平面所成的角 . 已知函数 . （ 1）设函数 ，当 时，讨论 的单调性； （ 2）若函数 在 处取得极小值，求 的取值范围 . 答案：（ 1） 在 上单减，在 上单增；（ 2） . 试题分析：（ 1）首先求导数，当 时，函数单调递减；当 时，单调递增；（ 2） ，显然，要使得函数 在 处取得极小值，需使 在 左侧为负，右侧为正 .令 ，则只需 在 左、右两侧均为正即可 .结合图象可知，只需 即可，从而可得 的取值范围 试题：（ 1） ， 2分 显然当 时， ， ，当 时， ， 在 上单减，在 上
13、单增； 6分 （ 2） ， 显然 ，要使得函数 在 处取得极小值，需使 在 左侧为负，右侧为正 .令 ，则只需 在左、右两侧均为正即可 亦即只需 ，即 .12分 (原解答有误， 与 轴不可能有两个不同的交点 ) 考点：导数的应用 . 如图所示的两个同心圆盘均被 等分（ 且 ），在相重叠的扇形格中依次同时填上 ，内圆盘可绕圆心旋转，每次可旋转一个扇形格，当内圆盘旋转到某一位置时，定义所有重叠扇形格中两数之积的和为此位置的“旋转和 ”. （ 1）求 个不同位置的 “旋转和 ”的和； （ 2）当 为偶数时，求 个不同位置的 “旋转和 ”的最小值； （ 3）设 ，在如图所示的初始位置将任意 对重叠的扇
14、形格中的两数均改写为 0，证明：当 时，通过旋转，总存在一个位置，任意重叠的扇形格中两数不同时为 0. 答案： （ 1） ；（ 2） 最小值 ；（ 3）详见 . 试题分析：（ 1） 个不同位置的 “旋转和 ”的和，就是将所有位置的旋转相加，故内盘中的任一数都会和外盘中的每个数作积；（ 2）设内盘中的 和外盘中的同扇形格时的 “旋转和 ”为 ；设内盘中的 和外盘中的 同扇形格时的 “旋转和 ”为 ；依次下去，设内盘中的 和外盘中的 同扇形格时的 “旋转和 ”为 ；这样便得一个数列 .这样问题转化为求该数列的最小值 .求数列的最值，首先研究数列的单调性，而研究数列的单调性，就是研究相邻两项的差的符
15、号，即研究的符号；（ 3）显然直接证明有点困难，故采用反证法 .由于该问题只涉及 0与非 0的问题，故可将图中所有非 数改写为 ，这样共有 个 0， 个 1.假设任意位置，总存在一个重叠的扇形格中两数同时为 ，则此位置的 “旋转和 ”必大于或等于 ，初始位置外的 个位置的 “旋转和 ”的和为 ，则有 ，即 ，这与矛盾，故命题得证 试题：（ 1）由于内盘中的任一数都会和外盘中的每个作积，故 个不同位置的“旋转和 ”的和为 ； 3分 （ 2）设内盘中的 和外盘中的 同扇形格时的 “旋转和 ”为 则 5分 所以当 时， ，当 时， ，所以 时，最小 最小值 ； 8分 （ 3）证明：将图中所有非 数改写为 ，现假设任意位置，总存在一个重叠的扇形格中两数同时为 ，则此位置的 “旋转和 ”必大于或等于 ，初始位置外的 个位置的 “旋转和 ”的和为 ，则有 ，即，这与 矛盾，故命题得证 12分 考点：数列及数列的和 .
