1、1,第一章 信号分析的理论基础,1.1 引言 1.2 信号的分类 1.3 信号的奇函数表示法 1.4 正交函数 1.5 奇异函数 1.6 信号的时域分解与变换 1.7 离散时间信号序列 1.8 卷积,2,1.6 信号的时域分解与变换,将信号分解为正交函数的线性组合,将信号表示为阶跃信号或冲激信号之和,信号的时域分解,3,1.6 信号的时域分解与变换,一、任意信号分解为阶跃函数之和,二、任意信号表示为冲激函数之和,三、信号的时域变换,练习：,返 回,4,一、任意信号分解为阶跃函数之和,1、矩形脉冲,5,2、任意函数,用一系列阶跃函数之和近似表示任意函数,返回,6,二、任意信号表示为冲激函数之和,
2、返回,f(t) 用一系列矩形脉冲相迭加的阶梯型曲线来 近似表示。,t 作为各矩形脉冲的宽度， 高度是脉冲左侧边界对应 的函数值。,7,三、信号的时域变换,1、信号的迭加与相乘,f(t)任意时刻的值为两信号同在该时刻的数值之和,f(t)任意时刻的值为 两信号同在该时刻的数值乘积。,8,2、信号的翻转（反褶）,信号f(t)的自变量t用-t替换，称为信号的翻转。,反褶后的波形与原波形 相对于纵轴对称。,信号的反褶运算可以看 作把过去的时间与未来的 时间相互调换。,9,3、信号的时间平移,信号f(t)的自变量t用t-t0替换。,t00时，f(t-t0)的波形为： f(t)沿时间轴右移t0,t00时，f
3、(t-t0)的波形为： f(t)沿时间轴左移|t0|,10,4、信号波形展缩（尺度变换）,信号f(t)的自变量t用at替换。,a1时，f(at)的波形为： f(t)的波形沿时间轴压缩 1/a倍，幅值不变。,0a1时，f(at)的波形为： f(t)的波形沿时间轴扩展 1/a倍，幅值不变。,11,例1：,已知f(t)的波形，试画出f(1-2t)的波形。,平移：,展缩：,反褶：,12,例2：,用反褶展缩时移的顺序解例1,平移：,展缩：,反褶：,13,例3：,已知f(5-t)的波形，试画出f(2t+4)的波形。,反褶,平移,展缩,注：,冲激信号的强度压缩到原信号的1/2。,14,总结：,返 回,15,
4、课堂练习：1-10 已知f(t)的波形如图，试画出 下列函数的波形：,1. f(3t) 2. f(t/3)u(3-t),返 回,16,1. 解：,2. 解：,17,3. 解：将f(t)表示为函数形式,所以，,18,4. 解：将f(t)表示为函数形式,所以：,当t0时,当 0t1时,19,当 1=t3时,当 3=t时,20,返 回,21,1.7 离散时间信号序列,表示离散信号的时间函数，只在某些规定的离散瞬时给出函数值；在其他时间，函数没有定义。,这些时间上不连续的值构成数值的序列。,一、常用的离散时间信号,二、离散时间信号的运算,22,一、常用的离散时间信号,1、单位函数序列,也称“单位脉冲”
5、，“单位冲激”，“单位取样”,单位函数定义：,(n)类似于连续时间信号(t)，但其定义很简单： (n)在n=0处幅值为1，其余点取值为0。,23,2、单位阶跃序列,u(n) 类似于u(t)，但u(t)在t=0点函数无定义，u(n)在n=0处明确定义为1。,24,3、矩形序列,矩形序列有N个幅值为1的函数值，类似于连续时间函数中的矩形脉冲,25,以上三种序列之间的关系,(1),(2),26,4、斜变序列,5、指数序列,|a|1时，为发散序列,27,|a|1时，为收敛序列,a0时，序列取正值,a0时，序列值在正负 之间摆动,28,6、正弦序列,0为正弦序列的数字域频率，单位是弧度。,它表示序列变化
6、的速率，或者说表示两个相邻序列值之间变化的弧度数。,若正弦序列是由模拟信号f(t)=sin0t采样得到的，可以写成：,29,比较,和,可得,由,所以,上式表示数字频率是连续频率f0对采样频率fs的归一化频率,30,正弦序列的周期性：,若0N=2k，k为整数时，f(n)=f(n+N) 为周期序列,其周期满足：,其中N,k为整数,31,可分以下几种情况讨论：,其中，Q，P为互质的整数,则：,正弦序列的周期性：,32,只有当k=P，即N=Q时为 最小正整数,无论正弦序列是否呈周期性，0都称为它的频率,33,7、复指数序列,它具有实部和虚部，0是复正弦的数字域频率。,用极坐标表示为：,其中：,返 回,
7、34,二、离散时间信号的运算,同序号的序列值逐项对应相加或相乘。,1、两序列的迭加和相乘,35,2、序列与标量相乘,其中，a为标量,3、移序,设离散序列f(n)，当n0为正值时，,则f(n-n0)指原序列f(n)延时（右移）n0位，,而f(n+n0)指原序列f(n)超前（左移）n0位。,36,4、用单位函数序列来表示任意序列,将任意序列f(n)表示为单位函数序列的延时加权和，即,由单位函数定义：,上式与式（1.64）的连续函数表示方法相似，它为以后的离散系统的时域分析提供了极大的方便,37,练习： 1. = ( ).A、(k） B、1 C、U(k) D、 KU(k),2. P 38 1-13（
8、1）,作业：1-9，1-10,返 回,38,返回,对于（1）式：,当n0时，u(n)为0,当n0时，u(n)为1,39,对于（2）式：,当n0时，u(n)为0,当n0时，u(n)为1,返回,40,1.8 卷 积,一、定义：,设函数f1(t) 与函数f2(t)具有相同的自变量t，将f1(t)与f2(t)经如下的积分，可得到第三个相同自变量的函数g(t)，即,此积分称为卷积积分，记为：,41,1.8 卷 积,（一）、卷积的图解计算,（二）、卷积的解析计算,例题：P29，图1.8-2,（三）、卷积的性质,（四）、函数f(t)与冲激函数或阶跃函数的卷积,（五）、卷积积分的数值计算,42,（一）、卷积的
9、图解计算,两个矩形波f1(t)与 f2(t) 如图所示,求解 f1(t) f2(t),43,解：1、变量置换：,2、反褶：,44,3、平移：,将f(-)沿时间轴平移t，t为参变量,t0时向右平移，t0时向左平移,随t取值不同，f2(t-)出现在不同位置,45,4、相乘：将f1()和 f2(t-)相乘,5、积分,阴影的面积，即g(t)的值，是一个t的函数,返回,47,（二）、卷积的解析计算,1、积分限的确定：,A、设f1(t)是有始函数， f2(t)不受此限,积分下限为0,48,B、t0时，f2(t)=0， f1(t)不受此限,即，当t时， f2(t-)=0，,C、将A、B两个条件合并： t0时
10、，f1(t)=0， f2(t)=0,积分上限为 t,积分上限为 t，下限为0,49,卷积的被积函数是有始函数，卷积也是有始函数,50,2、起始时刻的确定：,若f1(t)从t1时刻起始，f2(t) 从t2时刻起始，即：,（二）、卷积的解析计算,51,积分限是：,起始时刻：,当t-t2t1，g(t)=0,当t-t2t1，g(t)不为0,起始时刻： tt1 t2,所以，g(t)可表示为：,具体计算方法：将两个阶跃函数的时间相加。,u(-t1)与u(t-t2)中： -t1+ t-t2= t- t1 -t2,返回,52,例：,求,53,（1）、图解法,首先将f2()反褶,再将f2(-)沿轴平移t,用图解
11、法进行分段积分，求出g(t),55,当t0时，f1()f2(t-)=0，所以g1(t)=0,当0t2时，f1()与f2(t-) 有部分重迭， 积分限 0t，g2(t)为：,56,当2t时，f2(t-) 完全落在f1()上， 积分限 t-2t，g3(t)为：,对以上结果用一个函数表达：,57,（2）、解析法,对式,和,都是有始函数。所以下限为0，上限为t，即,起始时刻为t=0,将两个阶跃函数时间相加，即+t- =t为阶跃函数所应具有的起始时刻,59,对式,和,下限为0，上限为t-2,起始时刻：t=2,将两个阶跃函数时间相加，即+t-2- =t-2为阶跃函数所应具有的起始时刻,返回,61,（三）、
12、卷积的性质,1、交换率：,2、分配率：,3、结合率：,以上三条性质与乘法运算性质相似,62,4、卷积的微分：,5、卷积的积分：,返回,63,（四）、函数f(t)与冲激函数或阶跃函数的卷积,1、 f(t)与冲激函数卷积，结果是f(t)本身,证明：根据卷积定义和冲激函数的抽样性质,类似有：,64,2、 f(t)与冲激偶的卷积,(t)称为微分器,3、 f(t)与阶跃函数的卷积,u(t)称为积分器,推广：,返回,65,（五）、卷积积分的数值计算,用数值计算法求e(t)*h(t),步骤：,1、将e()和h(-)分解成若干宽度为T的矩形脉冲，得到近似函数ea()和ha(-),66,2、将ha(-)自左向右
13、移动，并在T的整数倍的位置上计算ea()和ha(nT-)对应项乘积之和,t=0,ra(0)=0,t=T,ra(T)=Te0h1,t=2T,ra(2T)=T(e0h2+ e1h1),67,推广到一般情况，即t=nT时，,返回,68,f0(t)在t=0时刻加入。,f1(t)在t=t时刻加入，高度为f(t)=f(t)-f(0)。,69,同理，t=kt处应迭加一高度为f(t)=f(kt)-f(kt- t)的阶跃函数，即,迭加f0(t), f1(t), fk(t), fn(t)，成为一阶梯形函数，近似表示f(t)。,70,上式的近似程度取决于t的大小。,71,t越小，近似程度越高,则：,返 回,72,f(t) 用一系列矩形脉冲相迭加的阶梯型曲线来 近似表示。,t 作为各矩形脉冲的宽度，高度是脉冲左侧 边界对应的函数值。,73,脉冲函数在一定条件下， 可以演变为冲激函数。,把脉冲用冲激函数来表示：,冲激函数的位置脉冲左边界所在时刻， 冲激函数的强度脉冲的面积,74,当t0时，,返 回,75,证明：利用卷积定义,用积分换元法：令=t-，则d=-d,return,76,证明：,对上式右侧的定积分，可将对t的微分移至积分内，是参变量。,4、卷积的微分：,return,77,5、卷积的积分：,证明：,变换积分次序,return,
