1、考研数学（数学三）模拟试卷 461 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 的渐近线条数为( )（A）1 条（B） 2 条（C） 3 条（D）4 条2 3 当 x0 时，无穷小的阶数最高的是( )（A）（B） tanxx（C） (1+tanx)ln(1+2x)1（D）4 下列反常积分收敛的是( ) 5 设 A 为 mn 矩阵，以下命题正确的是( ) （A）若 AX=0 只有零解，则 AX=b 只有唯一解（B）若 AX=0 有非零解，则 AX=b 有无数个解（C）若 r(A)=n，则AX=b 有唯一解（D）若 r(A)=m，则 AX=b 一定有解6 设 A
2、为三阶矩阵，特征值为 1=2=1， 3=2，其对应的线性无关的特征向量为1， 2， 3，令 P1=(1 3， 2+3， 3)，则 P11 A*P1=( ) 7 设随机变量 XN(， 2)，其分布函数为 F(x)，又 Y=F(X)，则 等于( ) 8 设 XN(1 ，4) ，YB 且 X，Y 相互独立，则 P(XY+1X+Y=( ) 二、填空题9 曲线 在 t=0 对应点处的法线方程为_10 差分方程 yx+1 一 3yx=23x 的通解为_11 设 f 可微，f 1(3，2)=2 ，f 2(3，2)=3，则 dz (2,1)=_12 微分方程 y“3y+2y=2e x 满足 的特解为_13 已
3、知三阶方阵 A，B 满足关系式 E+B=AB，A 的三个特征值分别为 3，3，0，则B 1 +2E=_14 设 X1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，其中 E(X)=，D(X)= 2，令则 UV=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 计算二重积分 其中 D=(x，y)0x，y1)16 设 f(x)在01上连续可导， f(1)=0， 证明：存在 0，1，使得 f ()=417 设生产某种产品需投入两种生产要素，x，y 分别为两种生产要素的投入量，Q为产品的产量，设生产函数 Q=2xy，其中 0，0 且 +=1设两种生产要素的价格分别为 p1 及 p2，问当产量
4、为 12 时，两种生产要素投入多少可使投入总费用最少?18 求幂级数 的收敛半径、收敛域及和函数，并求19 设 z=z(x，y)二阶连续可偏导且满足方程 在变换下，原方程化为 求 a，b 的值20 设 问 a，b，c 为何值时，矩阵方程 AX=B有解，有解时求出全部解21 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 经过正交变换化为标准形 f=2y12y 22y 32，又A*=，其中 =(1，1， 1)T (I) 求矩阵 A； ( )求正交矩阵 Q，使得经过正交变换 X=QY，二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 化为标准形22 设(X，Y)的联合密度函数为 (I)求常数 k； (
5、)求 X 的边缘密度； () 求当 下 Y 的条件密度函数 fYX (yx)23 设随机变量 X1，X 2，X m+n(m2，令 求：(I)D(Y)， D(Z)； () YZ考研数学（数学三）模拟试卷 461 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 所以 y=x+7 为曲线的斜渐近线，故曲线有两条渐近线，应选 B2 【正确答案】 C【试题解析】 3 【正确答案】 A【试题解析】 由(1+tanx) ln(1+2x)1=e ln(1+2x)(ln1+tanx)1ln(1+2x)ln(1+tanx)2x 2 得(1+tanx) ln
6、(1+2x)1 为 2 阶无穷小； 4 【正确答案】 B【试题解析】 应选 B5 【正确答案】 D【试题解析】 因为当 r(A)=m 时，则 r(A)= =m，于是若 r(A)=m，则 AX=b一定有解，选 D6 【正确答案】 A【试题解析】 A *的特征值为 2，2，1，其对应的线性无关的特征向量为1， 2， 3， 选 A7 【正确答案】 B【试题解析】 8 【正确答案】 B【试题解析】 PXY+1 X+Y=P(X1)(Y 1)0 =PX1，Y1+PX1，Y1 =PX1PY1+PX1PY1 应选 B.二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 y(x)=A3 x+2x3x1
7、【试题解析】 齐次差分方程 Yx+13y x=0 的通解为 y=A 3x，设差分方程yx+13y x=23x 的特解为 y0(x)=Cx 3x，将 y0(x)=Cx 3x 代入方程 yx+13y x=23x 得故原差分方程的通解为 y(x)=A 3x+2x 3x1 11 【正确答案】 7dx8dy【试题解析】 12 【正确答案】 y=3e x+3e2x2x e x【试题解析】 特征方程为 23+2=0，特征值为 1=1， 2=2，y“3y+2y=0 的通解为 y=C 1ex+C2e2x 令原方程的特解为 y0(x)=Axex，代入原方程为 A=2，原方程的通解为 y=C 1ex+C2e2x2x
8、 e x 由 得 y(0)=0，y(0)=1，代入通解得C1=3 ，C 2=3，特解为 y= 3e x+3e2x2xe x13 【正确答案】 8【试题解析】 因为 A 的特征值为 3，3，0，所以 AE 的特征值为2，4，1，从而 AE 可逆，由 E+B=AB 得(AE)B=E，即 B 与 AE 互为逆阵，则 B 的特征值为 B1 的特征值为 2，4，1，从而 B1 +2E 的特征值为 4，2，1，于是B 1 +2E= 814 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 令 D1=(x，y) x 2+y21，x0，y0)，D 2=DD 1，
9、 16 【正确答案】 由分部积分，得 由拉格朗日中值定理，得 f(x)=f(x)f(1)=f()(x 1)，其中 (x，1)， f(x)=f()(x 1)两边对 x 从0 到 1 积分，得 因为 f(x)在0，1上连续，所以 f(x)在0，1 上取到最小值 m 和最大值 M， 由 M(x1)f()(x1)m(x1) 两边对 x 从 0 到 1 积分， 由介值定理，存在0， 1，使得 f()=417 【正确答案】 投入费用函数为 C=p 1x+p2y， 令 F(x，y，)=p1x+p2y+(2xy12)， 18 【正确答案】 当x1时，幂级数绝对收敛； 当x1 时，幂级数发散， 19 【正确答案
10、】 20 【正确答案】 令 X=(1， 2， 3)，B=( 1， 2， 3)，矩阵方程化为 A(1， 2， 3)=(1， 2， 3)，即 当a=1，b=2，c=2 时，矩阵方程有解， 21 【正确答案】 (I)显然 A 的特征值为 1=2， 2=1， 3=1，A=2，伴随矩阵 A*的特征值为 1=1， 2=2， 3=2由 A*= 得 AA*=A，即 A=2，即=(1， 1， 1)T 是矩阵 A 的对应于特征值 1=2 的特征向量 令 =(x1，x 2，x 3)T 为矩阵 A 的对应于特征值 2=1， 3=1 的特征向量，因为 A 为实对称矩阵，所以T=0，即 x1+x2x 3=0，于是 2=1， 3=1 对应的线性无关的特征向 22 【正确答案】 23 【正确答案】 (I)因为 X1，X 2，X m+n 相互独立， ()Cov(Y，Z)=Cov(X1+Xm)+(Xm+1+Xn)，X m+1+Xmn =Cov(X1+Xm，X m+1+Xm+n)+Cov(Xm+1+Xn，X m+1+Xm+n) =D(Xm+1+Xn)+Cov(Xm+1+Xn，X n+1+Xm+n)=(nm) 2，
