[考研类试卷]考研数学一(一元函数微分学)历年真题试卷汇编1及答案与解析.doc
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1、考研数学一(一元函数微分学)历年真题试卷汇编 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 (1998 年) 函数 f(x)=(x2 一 x 一 2)|x3 一 x|不可导点的个数是( )(A)3(B) 2(C) 1(D)02 (1999 年) 设 其中 g(x)是有界函数,则 f(x)在 x=0 处( )(A)极限不存在(B)极限存在,但不连续(C)连续,但不可导(D)可导3 (2001 年) 设 f(0)=0,则 f(x)在点 x=0 可导的充要条件为( ) 4 (2004 年) 设函数 f(x)连续,且 f(0)0,则存在 0 使得( )(A)f(x)
2、在(0,)内单调增加(B) f(x)在(一 ,0)内单调减少(C)对任意的 x(0,)有 f(x)f(0)(D)对任意的 x(一 ,0)有 f(x)f(0)5 (2005 年) 设函数 则 f(x)在 (一,+)内( )(A)处处可导(B)恰有一个不可导点(C)恰有两个不可导点(D)至少有三个不可导点6 (2006 年) 设函数 y=f(x)具有二阶导数,且 f(x)0,f“(x)0, x 为自变量 x 在X0 处的增量,y 与 dy 分别为 f(x)在点 x0 处对应的增量与微分,若x0,则( )(A)0dyy(B) 0 ydy(C) ydy0(D)dyy07 (2007 年) 设函数 f(
3、x)在 x=0 连续,则下列命题错误的是( ) 8 (1998 年) 设 f(x)连续,则(A)xf(x 2)(B)一 xf(x2)(C) 2xf(x2)(D)一 2xf(x2)9 (2008 年) 设函数 则 f(x)的零点个数为 ( )(A)0(B) 1(C) 2(D)310 (2000 年)设 f(x),g(x)是恒大于零的可导函数,且 f(x)g(x)一 f(x)g(x)0,则当axb 时,有 ( )(A)f(x)g(b) f(b)g(x)(B) f(x)g(a)f(a)g(x)(C) f(x)g(x)f(b)g(b)(D)f(x)g(x) f(a)g(a)11 (2001 年) 设函
4、数 f(x)在定义域内可导, y=f(x)的图形如图所示,则导函数 y=f(x)的图形为( ) 12 (2014 年)设函数 f(x)具有二阶导数, g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x,则在区间0,1上( )(A)当 f(x)0 时,f(x)g(x)(B)当 f(x)0 时,f(x)g(x)(C)当 f“(x)0 时,f(x)g(x)(D)当 f“(x)0 时,f(x)g(x)13 (2017 年)若函数 f(x)可导,且 f(x)f(x)0,则( )(A)f(1)f( 一 1)(B) f(1)f(一 1)(C) |f(1)|f(一 1)|(D)|f(1)|f( 一 1)|14 (200
5、3 年) 设函数 f(x)在 (一,+)内连续,其导函数的图形如图所示,则 f(x)有( ) (A)一个极小值点和两个极大值点(B)两个极小值点和一个极大值点(C)两个极小值点和两个极大值点(D)三个极小值点和一个极大值点15 (2011 年) 曲线 y=(x 一 1)(x 一 2)2(x 一 3)3(x 一 4)4 的拐点为( )(A)(1 ,0)(B) (2,0)(C) (3,0)(D)(4 ,0)16 (2015 年) 设函数 f(x)在 (一,+)内连续,其中二阶导数 f“(x)的图形如图所示,则曲线 y=f(x)的拐点个数为( )(A)0(B) 1(C) 2(D)317 (2007
6、年) 曲线 渐近线的条数为( )(A)0(B) 1(C) 2(D)318 (2012 年) 曲线 渐近线的条数为( )(A)0(B) 1(C) 2(D)319 (2014 年)下列曲线有渐近线的是( )(A)y=x+sinx(B) y=x2+sinx(C)(D)20 (1999 年)设 f(x)是连续函数, F(x)是 f(x)的原函数,则( )(A)当 f(x)是奇函数时, F(x)必是偶函数(B)当 f(x)是偶函数时,F(x)必是奇函数(C)当 f(x)是周期函数时,F(x)必是周期函数(D)当 f(x)是单调增函数时, F(x)必是单调增函数21 (2002 年) 设函数 y=f(x)
7、在(0,+) 内有界且可导,则( ) 22 (2005 年) 设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数,“M N”表示“M 的充分必要条件是 N”,则必有 ( )(A)F(x)是偶函数 f(x)是奇函数(B) F(x)是奇函数 f(x)是偶函数(C) F(x)是周期函数 f(x)是周期函数(D)F(x)是单调函数 f(x)是单调函数二、填空题23 (1999 年)24 (2002 年) 已知函数 y=y(x)由方程 ey+6xy+x2 一 1=0 确定,则 y“(0)=_。25 (2010 年)26 (2013 年)27 (2013 年) 设函数 f(x)由方程 yx=ex(1-y)确定,
8、则=_。28 (2016 年) 设函数 则a=_。29 (2017 年) 已知函数 则 f(3)(0)=_。30 (2004 年)曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为_。31 (2008 年)曲线 sin(xy)+ln(yx)=x 在点(0 ,1)处的切线方程为 _。32 (2005 年) 曲线 的斜渐近线方程为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。33 (2015 年)(I) 设函数 u(x),v(x)可导,利用导数定义证明 u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x); () 设函数 u1(x),u 2(x),u n(x)可导,f(x)=u 1(
9、x)u2(x)un(x),写出 f(x)的求导公式。34 (2002 年) 已知两曲线 y=f(x)与 在点(0,0)处的切线相同,写出此切线方程,并求极限35 (2010 年) 求函数 的单调区间与极值。36 (1999 年) 试证:当 x0 时,(x 2 一 1)lnx(x 一 1)2。37 (2004 年) 设 eabe 2,证明38 (2012 年) 证明:39 (2011 年)求方程 karctanxx=0 不同实根的个数,其中 k 为参数。40 (2014 年) 设函数 y=f(x)由方程 y3+xy2+x2y+6=0 确定,求 f(x)的极值。41 (2017 年) 已知函数 y
10、(x)由方程 x3+y3 一 3x+3y 一 2=0 确定,求 y(x)的极值。考研数学一(一元函数微分学)历年真题试卷汇编 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 方法一:当函数中出现绝对值号时,就有可能出现不可导的“端点”,因为这时的函数是分段函数。f(x)=(x 2 一 x 一 2)|x|x2 一 1|,当 x0,1 时 f(x)可导,因而只需在 x=0,1 处考虑 f(x)是否可导。在这些点我们分别考虑其左、右导数。由 即 f(x)在 x=一 1 处可导。又 所以 f(x)在 x=0处不可导。 类似,函数 f(x)在
11、 x=1 处亦不可导。因此 f(x)只有两个不可导点,故应选 B。 方法二:利用下列结论进行判断: 设函数 f(x)=|x 一 a|(x),其中 (x)在x=a 处连续,则 f(x)在 x=a 处可导的充要条件是 (a)=0。 先证明该结论: 由导数的定义可知: 其中 可见,f(a)存在的充要条件是 (a)=一 (a),也即 (a)=0。 再利用上述结论来判断本题中的函数有哪些不可导点: 首先,绝对值函数分段点只可能在使得绝对值为零的点,也就是说 f(x)=(x2 一 x 一 2)|x3 一 x|只有可能在使得|x 3 一 x|=0 的点处不可导,也即x=一 1,x=0 以及 x=1。 接下来
12、再依次对这三个点检验上述结论: 对 x=一 1,将f(x)写成 f(x)=(x2 一 x 一 2)|x2 一 x|x+1|,由于(x 2 一 x-2)|x2 一 x|在 x=一 1 处为零,可知 f(x)在 x=一 1 处可导。 对 x=0,将 f(x)写成 f(x)=(x2 一 x 一 2)|x2 一 1|x|,由于(x2 一 x 一 2)|x2 一 1|在 x=0 处不为零,可知 f(x)在 x=0 处不可导。 对 x=1,将 f(x)写成 f(x)=(x2 一 x 一 2)|x2+x|x+1|,由于(x 2 一 x 一 2)|x2+x|在 x=1 处不为零,可知f(x)在 x=1 处不可
13、导。 因此 f(x)有两个不可导点,故应选 B。【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 从而 f(0)存在,且f(0)=0,故正确选项为 D。【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 方法一:因为 可见,若f(x)在点 x=0 可导,则极限 一定存在;反过来也成立。 方法二:排除法。 举反例说明 A,C,D 不成立。 例如取 f(x)=|x|,f(x) 在=0 处不可导,但 因有界量与无穷小的乘积为无穷小,所以 故排除 C; 又如取 则 f(x)在 x=0 处不可导,但 排除 D。【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 C【试题解析】 由导
14、数的定义知 根据保号性知,存在0,当 x(一 ,0)(0,)时,有 即当 x(一 ,0)时,f(x)f(0);而当 x(0,)时,f(x) f(0)。故应选 C。【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 C【试题解析】 当|x|1 时,当 x1 时,f(x)必可导。在 x=1 处, 因此 f(x)在 x=1 处不可导。同理, f(x)在 x=一 1 处也不可导。故选 C。【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 A【试题解析】 方法一:图示法。 因为 f(x)0 且 f“(x)0,所以 f(x)严格单调增加且 f(x)是凹函数,作函数 y=f(x)的图形。 结合图分析,就可以明显得出结
15、论:0dyy。 方法二:用两次拉格朗日中值定理 ydy=f(x0+x)一 f(x0)一 f(x0)x(前两项用拉格朗日中值定理 ) =f()xf(x0)x(再用一次拉格朗日中值定理) =f“()( 一 x0)x(x00+x,x 0),由于 f“(x)0,从而ydy 0。又由于 dy=f(x0)x0,故选 A。【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 D【试题解析】 A,B 两项中分母的极限为 0,若要保证极限值存在,分子的极限也必须为 0,再由 f(x)在 x=0 处连续均可推导出 f(0)=0。 若 存在,则 可见 C 也正确,故应选 D。 事实上,可举反例:f(x)=|x|在 x=0
16、处连续,且 存在,但 f(x)=|x|在 x=0 处不可导。【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 A【试题解析】 对变积分限所定义的函数求导数,作积分变量替换 u=x2 一 t2, 选 A。【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)=2xln(2+x 2),则 f(0)=0。 显然,f“(x)0 恒成立,故 f(x)在(一,+)上单调递增。 又因为 f(0)=0,f(x)单调,所以 f(x)有且只有 1 个零点。【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 A【试题解析】 设 则 则 F(x)在 axb 时单调递减,所以对任意的 axb , F(a)F(x
17、)F(b),即 得 f(x)g(b)f(b)g(x) ,ax b,A 为正确选项。【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 D【试题解析】 从题设图形可见,在 y 轴的左侧,曲线 y=f(x)是严格单调增加的,因此当 x0 时,一定有 f(x)0,对应 y=f(x)的图形必在 x 轴的上方,由此可排除 A,C;又 y=f(x)的图形在 y 轴右侧靠近 y 轴部分是单调增,所以在这一段内一定有 f(x)0,对应 y=f(x)的图形必在 x 轴的上方,进一步可排除 B,故正确答案为 D。【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 D【试题解析】 方法一:首先将函数变形为g(x)=f(1)
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- 考研 试卷 数学 一元函数 微分学 历年 汇编 答案 解析 DOC
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