1、考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 D 为单位圆x2+y21，I 1= (2x6+y5)dxdy，则( )（A）I 1I 2 I3（B） I3I 1I 2（C） I3I 2I 1（D）I 1I 3 I22 设为球面 x2+y2+z2=R2，cos ，cos，cos 为该球面外法线向量的方向余弦，则(x3cos+y3cos+z3cos)ds 等于( )（A）4R 5（B） 2R3（C） 3R4（D） 3 设曲线 L：f(x，y)=1(具有一阶连续偏导数)，过第二象限内的点 M 和第四象限内的点 N， 为 L
2、 上从点 M 到点 N 的一段弧，则下列积分小于零的是( )4 设为球面 x2+y2+z2=R2 上半部分的上侧，则下列结论不正确的是( )5 设有曲线 从 x 轴正向看去为逆时针方向，则Lydx+zdy+xdz 出等于( )6 设 g(x)是可微函数 y=f(x)的反函数，且 f(1)=0， 01xf(x)dx=1005，则 01dx0f(x)g(t)dt的值为( )（A）0（B） 2010（C） 2011（D）21007 设曲线积分 f(x)一 exsinydx 一 f(x)cosydy 与路径无关，其中 f(x)具有一阶连续导数，且 f(0)=0，则 f(x)等于( )二、填空题8 已知
3、 f(x，y)连续，且 f(x，y)=x 2+ ，则 f(x，y)=_。9 设门是由锥面 z= 围成的空间区域，是 的整个边界的外侧，则 xdydz+ydzdx+zdxdy=_10 设 由 =_。11 设 =(x，y，z)x 2+y2+z21，则 =_12 设 由 x2+y2+z2R2，z0 所确定，则 (x2+2y2+3z2)dv=_13 是由曲面 z=xy 与平面 y=x，x=1 和 x=0 所围成的闭区域，则xy2z3dxdydz=_。14 设为锥面 z= (x2+y2+z2)dS=_。15 设曲面：x+y+z=1 ，则 (x+y)dS=_ 16 设曲面为 z= xydydz+xdzdx
4、+x2dxdy=_17 设=(x，y，z)x+y+z=1，x0，y0，z0，则 =_18 设球体 x2+y2+z2z 上任一点处的密度等于该点到原点的距离的平方，则此球的质心的 z 坐标为 =_19 设有一物体，占有空间闭区域 =(x，y，z)0x1，0y1，0z1，在点(x，y， z)处的密度为 (x，y，z)=x+y+z，则该物体的质量为_20 设 D 是由 x2+y2a2，y0 所确定的上半圆域，则 D 的形心的 y 坐标=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 已知 L 是第一象限中从点(0，0)沿圆周 x2+y2=2x 到点(2，0)，再沿圆周 x2+y2=4到点
5、(0 ，2) 的曲线段，计算曲线积分 L3x2ydx+(x3+x 一 2y)dy22 设直线 L 过 A(1，0，0)，8(0 ，1，1)两点，将 L 绕 z 轴旋转一周得到曲面 ，与平面 z=0，z=2 所围成的立体为力(1)求曲面的方程；(2)求 的形心坐标23 设 D=(x， y)axb，cyd，若 f“xy 与 f“yx 在 D 上连续，证明24 设 D=(x， y)(x 一 1)2+(y 一 1)2=2，计算二重积分 (x+y)d25 设 L 为圆周 x+y=2 正向一周，计算曲线积分 I= ydx+y 一 x3xdy26 计算 ，其中 D=(x，y)0yminx，1 一 x27 计
6、算二重积分28 求二重积分 ，其中 D 是由曲线 r=2(1+cos)的上半部分与极轴所围成的区域29 计算累次积分30 计算曲线积分 I= ，其中 L 为(x 一 1)2+y2=R2(其中 R0 且 R1)，取逆时针方向31 已知积分 L(x+xysinx)dx+ =0，(1)求 f(x)；(2)对(1)中求得的 f(x)，求函数 u=u(x，y)使得 du=(x+xysinx)dx+ ；(3)对(1)中求得的 f(x)，求上述积分，其中积分路径为从 4(，1)到 B(2，0)的任意路径32 计算 x+ydxdy.33 求下列积分(1)设 f(x)= ，求 01x2f(x)dx；(2)设函数
7、 f(x)在0，1连续且01f(x)dx=A，求 01dxx1f(x)f(y)dy34 求 I= ，其中 C+是以 A(1，1)，B(2，2) 和 E(1，3)为顶点的三角形的正向边界线考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷 10 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由于积分域 D 关于两个坐标轴都对称，而 x3 是 x 的奇函数，y 3，y 5是 y 的奇函数，则【知识模块】 多元函数积分学2 【正确答案】 D【知识模块】 多元函数积分学3 【正确答案】 B【试题解析】 在 上 f(x，y)=1，M 在第二象限，在第四象限，
8、因此 M 点的纵坐标 yM 大于 N 点的纵坐标 yN，因此 =yN 一 yM0， 故选 B【知识模块】 多元函数积分学4 【正确答案】 B【试题解析】 对于第二类面积分，若曲面(包含侧)关于 x=0(即 yOz 坐标面)对称，则 这里曲面关于 x=0 对称，而选项 A、C、D 中的被积函数 x2，y 2，y，关于 x 都是偶函数，则其积分为零，而 B 选项中的被积函数 x 为 x 的奇函数，则【知识模块】 多元函数积分学5 【正确答案】 C【试题解析】 取为平面 x+y+z=0 包含球面 x2+y2+z2=a2 内的部分，法线方向按右手法则，由斯托克斯公式得【知识模块】 多元函数积分学6 【
9、正确答案】 B【试题解析】 01dx0f(x)g(t)dt=010f(x)g(t)dtdx =x0f(x)g(t)dt 0101xgf(x)f(x)dx=001x2f(x)dx =01x2df(x)df(x)= x2f(x) 01+201xf(x)dx=201xf(x)dx=2010。【知识模块】 多元函数积分学7 【正确答案】 B【试题解析】 由于曲线积分 Lf(x)一 exsinydxf(x)cosydy 与路径无关，因此本题可应用格林公式，因此有f(x)一 excosy=f(x)cosy，即 f(x)+f(x)=ex所以有【知识模块】 多元函数积分学二、填空题8 【正确答案】 x 2+
10、(x+y)【试题解析】 对等式两端积分可得【知识模块】 多元函数积分学9 【正确答案】 (2 一 )R3【试题解析】 在力上利用高斯公式可得：【知识模块】 多元函数积分学10 【正确答案】 【试题解析】 用平面 Z=z(0z1) 去截积分区域，得椭圆：【知识模块】 多元函数积分学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数积分学12 【正确答案】 【试题解析】 根据题意，令 1：x 2+y2+z2R2，则有【知识模块】 多元函数积分学13 【正确答案】 【试题解析】 由题干可知，闭区域力=(x，y，z)0zxy ，0yx，0x1 则【知识模块】 多元函数积分学14 【正确答案】 【
11、试题解析】 【知识模块】 多元函数积分学15 【正确答案】 【试题解析】 由于曲面关于平面 x=0 对称，因此 =0又因曲面：x+ y+ z =1 具有轮换对称性，于是【知识模块】 多元函数积分学16 【正确答案】 4【试题解析】 利用高斯公式及轮换对称性进行求解，补平面 S 为 x2+y24的下侧，令 =+S，则【知识模块】 多元函数积分学17 【正确答案】 【试题解析】 由曲面积分的计算公式可知【知识模块】 多元函数积分学18 【正确答案】 【试题解析】 由质心公式【知识模块】 多元函数积分学19 【正确答案】 【试题解析】 根据三重积分的几何意义可知，该物体的质量 M 就是密度函数 在闭
12、区间 上的三重积分，即【知识模块】 多元函数积分学20 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 设圆 x2+y2=2x 为圆 C1，圆 x2+y2=4 为圆 C2，补线利用格林公式即可设所补直线 L1。为 x=0(0y2)，应用格林公式得：【知识模块】 多元函数积分学22 【正确答案】 (1)由已知 设任意点 M(x，y，z) ，对应于L 上的 M0(x0，y 0，z)，则有 x2+y2=x02+y02【知识模块】 多元函数积分学23 【正确答案】 f“xy(x， y)dxdy=abdxcdf“xy(x，y)
13、dy= abfx(x，y) cbdx =abfx(x，d)f x(x，c)dx=f(x，d) ab 一 f(x，c) ab =f(b，d)f(a，d)+f(a，c)一f(b，c) 同理， f“yx(x,y)dxdy=cddyabf“yx(x，y)dx=f(b，d)一 f(a，d)+f(a，c) 一f(b，c) 结诊成立。【知识模块】 多元函数积分学24 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学25 【正确答案】 画出圆 x+y=2 及曲线 y=x，如图 612 所示，它们交于两点A(1，1)与 C(一 1，一 1)【知识模块】 多元函数积分学26 【正确答案】 如图 6 一 13 所示，在极
14、坐标中【知识模块】 多元函数积分学27 【正确答案】 积分区域 D 的图形如图 614 所示【知识模块】 多元函数积分学28 【正确答案】 积分区域 D 如图 615 所示，D 的极坐标表示是： 0，0r2(1+cos)，于是【知识模块】 多元函数积分学29 【正确答案】 设则积分区域分别是 D1=(x，y) 0x1 ，1 一 xy2 一 x， D 2=(x，y)1x2，0y2 一 x 记区域 D=D1+D2，D 是由直线 y：1 一 x，y=2 一 x 与 x 轴和 y 轴在第一象限围成的平面区域(如图 616 所示) ，且【知识模块】 多元函数积分学30 【正确答案】 (1)当 0R1 时
15、，记 L 围成闭区域D1，P，Q 在 D1 上偏导数连续，由格林公式，(2)当 1R+时，补 L1：x 2+y2=a2，其中 a0，且 a 充分小，使 L1 在 L 内部，L 1 取顺时针方向，设L 与 L1 围成 D2，如图 617 所示，由多连通区域的格林公式，【知识模块】 多元函数积分学31 【正确答案】 (1)由题意 这是一阶线性微分方程，通解为 f(x)=x(sinxxcosx+C)，由初始条件 f( )=0，得 C=一 1，于是 f(x)=x(sinxxcosx 一 1) (2)由(1) 中结论，【知识模块】 多元函数积分学32 【正确答案】 令【知识模块】 多元函数积分学33 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学34 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学
