1、考研数学一（概率统计）模拟试卷 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X (i=1，2) ，且满足 P(X1X2=0)=1，则 P(X1=X2)等于( )（A）0（B）（C）（D）12 设随机变量 X，Y 相互独立，XU(0，2)，Y E(1)，则 P(X+Y1)等于( )（A）1 一（B） 1 一 e（C） e（D）2e3 设随机变量(X，Y) 的分布函数为 F(x，y)，用它表示概率 P(Xa ，Yy)，则下列结论正确的是( ) （A）1 一 F(一 a，y)（B） 1 一 F(一 a，y0)（C） F(+，y0) 一 F(一 a，
2、y 一 0)（D）F(+， y)一 F(一 a，y)4 设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0，1)，Y N(1 ，1)，则( ) 5 设 X，y 相互独立且都服从 N(0，4)分布，则( ) 6 设 X，Y 为两个随机变量，P(X1，Y1)= ，则Pmin(X，Y)1)=( ) 7 设二维随机变量(X，Y)在区域 D：x 2+y29a2(a0)上服从均匀分布，p=P(X2+9Y29a2)，则( )（A）p 的值与 a 无关，且 p=（B） p 的值与 a 无关，且 p=（C） p 的值随 a 值的增大而增大（D）p 的值随 a 值的增大而减少8 设(X，Y) 服从二维正态分布，则下列说法
3、不正确的是( )（A）X，Y 一定相互独立（B） X，Y 的任意线性组合 l1X+l2Y 服从正态分布（C） X，Y 都服从正态分布（D）=0 时 X，Y 相互独立二、填空题9 设 XP(1)，YP(2)，且 X，Y 相互独立，则 P(X+Y=2)=_10 设随机变量 X，Y 相互独立且都服从二项分布 B(n，p)，则 Pmin(X，Y)=0=_11 设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 f(x， y)= ，则a=_，P(XY)一_12 设随机变量 XN(0， 2)，YN(0，4 2)，且 P(X1，Y2)= ，则P(X1，Y一 2)=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
4、13 设 X，Y 的概率分布为 X ，且 P(XY=0)=1(1)求(X ， Y)的联合分布； (2)X，Y 是否独立?14 设起点站上车人数 X 服从参数为 (0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为 p(0p1) ，且中途下车与否相互独立，以 Y 表示中途下车人数(1)求在发车时有 n 个乘客的情况下，中途有 m 个乘客下车的概率；(2)求(X，Y)的概率分布15 袋中有 10 个大小相等的球，其中 6 个红球 4 个白球，随机抽取 2 个，每次取 1个，定义两个随机变量如下： 就下列两种情况，求(X，Y)的联合分布律： (1) 第一次抽取后放回； (2)第一次抽取后不放回16 设(X，Y
5、)在区域 D：0 x1，|y|x 内服从均匀分布(1)求随机变量 X 的边缘密度函数； (2)设 Z=2X+1，求 D(Z)17 设(X，Y)的联合概率密度为 f(x，y)= 求：(1)(X ，Y)的边缘密度函数； (2)Z=2XY 的密度函数18 随机变量(X，Y) 的联合密度函数为 f(x，y)= (1)求常数 A； (2)求(X，Y)落在区域 x2+y2内的概率19 设两台同样的记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布，首先开动其中一台，当发生故障时停用而另一台自动开动求两台记录仪无故障工作的总时间 T 的概率密度20 设 X，Y 相互独立，且 XN(1，2)，YN(0 ，
6、1)，求 Z=2XY+3 的密度21 设 X 在区间一 2，21 上服从均匀分布，令Y= 求：(1)Y ，Z 的联合分布律； (2)D(Y+Z)22 设二维随机变量(X，Y)的联合分布律为则在 Y=1 的条件下求随机变量 X的条件概率分布23 设二维随机变量(X，Y)的联合密度为 f(x，y)= (1)求c； (2)求 X，Y 的边缘密度，问 X，Y 是否独立? (3)求 Z=max(X，Y)的密度24 设随机变量(X，Y) 的联合密度为 f(x，y)= 求：(1)X，Y 的边缘密度； (2) 25 设(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)= (1)求 a； (2)求 X，Y的边缘密度，并判
7、断其独立性； (3)求 fX|Y(x|y)26 设一设备开机后无故障工作时间 X 服从指数分布，平均无故障工作时间为 5 小时，设备定时开机，出现故障自动关机，而存无故瞳下工作 2 小时便自动关机，求该设备每次开机无故障工作时间 Y 的分布27 设(X，Y)f(x ，y)= (1)判断 X，Y 是否独立，说明理由； (2)判断 X，Y 是否不相关，说明理由； (3) 求 Z=X+Y 的密度28 设随机变量 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，令 U=X2+Y2求： (1)f(u)；(2)PUD(U)|UE(U)29 设 X，Y 相互独立，且 XB(3， )，YN(0，1)，令 U=max(X
8、，Y)，求P1U196(其中 (1)=0841，(1 96)=0975)30 设随机变量 XU(0，1)，YE(1) ，且 X，Y 相互独立，求随机变量 Z=X+Y 的概率密度考研数学一（概率统计）模拟试卷 11 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由题意得 P(X 1=一 1，X 2=一 1)=P(X1=一 1，X 2=1) =P(X1=1，X 2=一1)一 P(X1=1， X2=1)=0故 P(X1=0，X 2=0)=0，于是 P(X 1=X2)=P(X1=一 1，X 2=一 1)+P(X1=0，X 2=0)+P(X1=
9、1，X 2=1)=0， 选(A)【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 A【试题解析】 由 XU(0，2)，YE(1) 得【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 C【试题解析】 P( 一 Xa，Yy)=P(X 一 a，Yy)因为 P(Y y)=P(X一 a，YY)+P(X一 a，Yy)，所以 P(X一 a，Yy)=P(Yy)一 P(X一 a，Yy)=F(+，y0)一 F(一 a 一 0，y0)，选(C)【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 B【试题解析】 X，Y 独立，XN(0，1)，YN(1 ，1)，X+Y N(1 ，2)P(X+Y1)= ，所以选(B)【知识模块】 概率统计5 【正确答案
10、】 B【试题解析】 因为 X，Y 相互独立且都服从 N(0， 4)分布，所以 xyN(0 ，8)，从而 P(x+y0)= ，故(C)、(D)都不对；Pmax(X，Y)0=1一 Pmax(X， Y)0=1一 P(X0，Y0) =1 一 P(X0)P(Y0) 【知识模块】 概率统计6 【正确答案】 C【试题解析】 令 A=X1，B=Y1 ，则 P(AB)= ， Pmin(X，Y)1=1 一 Pmin(X，Y) 1=1 一 P(X1，Y 1)=1 一 =P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB)= ，选(C) 【知识模块】 概率统计7 【正确答案】 B【试题解析】 因为(X，Y)在区域 D：x
11、2+y29a2 上服从均匀分布，【知识模块】 概率统计8 【正确答案】 A【试题解析】 因为(X，Y)服从二维正态分布，所以(B)，(C)，(D)都是正确的，只有当 =0时， X，Y 才相互独立，选 (A)【知识模块】 概率统计二、填空题9 【正确答案】 e3【试题解析】 P(X+Y=2)=P(X=0，Y=2)+P(X=1， Y=1)+P(X=2，Y=0)， 由 X，Y相互独立得 P(X+Y=2)=P(X=)P(Y=2)+P(X=1)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=【知识模块】 概率统计10 【正确答案】 2(1p) n 一(1p) 2n【试题解析】 令 A=(X=0)，B=(Y=0)
12、，则 Pmin(X，Y)=0)=P(A+B)=P(A)+P(B) 一P(AB) =P(X=0)+P(Y=0)=P(X=0，Y=0)=2(1p) n 一 (1p)2n【知识模块】 概率统计11 【正确答案】 6，【试题解析】 【知识模块】 概率统计12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 (1)因为 P(XY=0)=1，所以 P(X=一 1，Y=1)=P(X=1，Y=1)=0 ，【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 (1)设 A=(发车时有 n 个乘客)，B=(中途有 m 个人下车)，则P(B|A)=P(Y=
13、m|X=n)=Cnmpm(1 一 p)nm(0mn) (2)P(X=n，Y=m)=P(AB)=P(B|A)P(A) =Cnmpm(1 一 p)nm (0mn，n=0 ，1，2，)【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 (1)(X， Y)的可能取值为(0，0)， (1，0)，(0，1)，(1，1)【知识模块】 概率统计16 【正确答案】 【知识模块】 概率统计17 【正确答案】 (1)当 0x1 时，f X(x)=+f(x，y)dy= 02xdy=2x，【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 用 X，Y 分别表示两台记录仪先后开动无故障工作的时间，则
14、T=X+Y，【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 因为 X，Y 相互独立且都服从正态分布，所以 X，Y 的线性组合仍服从正态分布，即 Z=2XY+3 服从正态分布，由 E(Z)=2E(X)一 E(Y)+3=5， D(Z)=4D(X)+D(Y)=9， 则 Z 的密度函数为 fZ(z)= 【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 (1)因为 X 在区间一 2，2 上服从均匀分布，所以 fX(x)=(Y，Z)的可能取值为( 一 1，一 1)，(一 1，1) ，(1，一 1)，(1，1)则D(Y+Z)=2【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 因为 P(Y=1)=06，【知识模块】 概率统计23
15、 【正确答案】 (1)1=c 0+dx0+xex(y+1)=dy=cc=1 (2)当 x0 时，f(x)=0；当x0 时，fx(x)= 0+xex(y+1)=dy=ex 当 y0 时，f Y(y)=0；当 y0 时，f Y(y)=0+xex(y+1)dx= 显然当 x0，y0 时， f(x，y)f X(x)fY(y)，所以X，Y 不相互独立 (3)当 z0 时，F z(z)=0； 当 x0 时，F z(z)=P(Zz)=Pmax(X， Y)z=P(Xz，Yz)【知识模块】 概率统计24 【正确答案】 【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 (1)由 +dx+f(x，y)dy=a 0+xdxx
16、+eydy=a0+xexdx=1，得a=1 (2) 当 x0 时，f X(x)=0；当 x0 时，f x(x)=+f(x，y)dy= x+xeydy=xex【知识模块】 概率统计26 【正确答案】 因为 XE()，所以 E(X)= ，根据题意有Y=min(x，2) 当 y0 时，F(y)=0 ；当 y2 时，F(y)=1； 当 0y2 时，F(y)=P(Yy)=Pmin(X，2)y=P(Xy)=1 ，故 Y 服从的分布为 F(y)=【知识模块】 概率统计27 【正确答案】 (1)0 x1 时，f X(x)=+f(x，y)dy= 0x12y2dy=4x3，则【知识模块】 概率统计28 【正确答案】 (1)因为 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，所以(X，Y) 的联合密度函数为因为 P(U4)=1 一 P(U4)=1 一(1 一 e2)=e2，P(U2)=1 一(1 一 e1)=e1， 所以 PUD(U)|UE(U)=e 1【知识模块】 概率统计29 【正确答案】 P(Uu)=Pmax(X ，Y)u=PXu ，Yu=P(Xu)P(Yu)， P(U196)=P(X196)P(Y196)=P(X=0)+P(X=1)P(Y1 96)则 P(1U1 96)=P(U196)一 P(U1)=0067【知识模块】 概率统计30 【正确答案】 【知识模块】 概率统计
