1、考研数学一（概率统计）模拟试卷 12 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 X 为随机变量，E(X)=，D(X)= 2，则对任意常数 C 有( )（A）E(XC) 2=EE(X 一 )2（B） E(XC)2E(X)2（C） EE(XC)2=E(X2)一 C2（D）E(XC) 2E(X 一 )22 设 X，Y 为两个随机变量，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则( ) （A）D(XY)=D(X)D(Y)（B） D(X+Y)=D(X)+D(Y)（C） X，Y 独立（D）X，Y 不独立3 设 X，Y 为两个随机变量，若对任意非零常数 a，b 有 D(aX+
2、bY)=D(aX 一 bY)，下列结论正确的是( ) （A）D(XY)=D(X)D(Y)（B） X，Y 不相关（C） X，Y 独立（D）X，Y 不独立4 设 X，Y 为随机变量，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则 ( )（A）X，Y 独立（B） X，Y 不独立（C） X，Y 相关（D）X，Y 不相关5 若 E(XY)=E(X)E(Y)，则 ( )（A）X 和 Y 相互独立（B） X2 与 Y2 相互独立（C） D(XY)=D(X)D(Y)（D）D(X+Y)=D(X)+D(Y)6 设随机变量 XU0，2，Y=X 2，则 X，Y( )（A）相关且相互独立（B）不相互独立但不相关（C）不相关且相互
3、独立（D）相关但不相互独立二、填空题7 随机变量 X 的密度函数为 f(x)= ，则 D(X)=_8 从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且遇到红灯的概率为 设 X 表示途中遇到红灯的次数，则 E(X)=_9 设随机变量 XB(n，p)，且 E(X)=5，E(X 2)= ，则n=_，p=_10 随机变量 X 的密度函数为 f(x)=ke|x|(一 x+)，则 E(X2)=_11 设 X 表示 12 次独立重复射击击中目标的次数，每次击中目标的概率为 05，则 E(X2)=_12 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则 PX =_13 设随机变
4、量 X 在一 1，2上服从均匀分布，随机变量 Y= ，则D(Y)= _。14 设随机变量 X1，X 2，X 3 相互独立，且 X1U0，6，X 2N(0，2 2)，X 3P(3) ，记 Y=X22X2+3X3，则 D(Y)=_15 设随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，令 Y=4X 一 3，则 E(Y)=_，D(Y)= _。16 若随机变量 XN(2， 2)，且 P(2X4)=03，则 P(X0)= _17 设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XU一 1，3，Y B(10， )，ZN(1，3 2)，且随机变量 U=X+2Y 一 3Z+2，则 D(U)= _18 设常数 a0，1 ，随机
5、变量 XU0，1，Y=|X 一 a|，则 E(XY)=_19 设随机变量 X，Y 相互独立，D(X)=4D(Y)，令 U=3X+2Y，V=3X 一 2Y，则UV=_20 设 X，Y 为两个随机变量，且 D(X)=9，Y=2X+3，则 X，Y 的相关系数为_21 设 X，Y 为两个随机变量，DCX)=4，D(Y)=9，相关系数为 ，则 D(3X 一 2Y)= _。22 设 X，Y 为两个随机变量，E(X)=E(Y)=1，D(X)=9，D(Y)=1，且 XY= ，则E(X 一 2Y+3)2=_23 设 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 E|XY|=_，D|X Y|=_24 设 D(X)=1
6、，p(Y)=9 ， XY=一 03，则 Cov(X，Y)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。25 一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为01，02，03，假设各部件的状态相互独立，以 X 表示同时需要调整的部件数，求 E(X)，D(X)26 设随机变量 x 服从参数为 的指数分布，对 X 独立地重复观察 4 次，用 Y 表示观察值大于 3 的次数，求 E(Y2)27 设随机变量 X，Y 同分布，X 的密度为 f(x)= 设 A=Xa与 B=Ya相互独立，且 P(A+B)= 28 某流水线上产品不合格的概率为 p= ，各产品合格与否相互独立，当检测到
7、不合格产品时即停机检查设从开始生产到停机检查生产的产品数为 X，求 E(X)及D(X)29 设试验成功的概率为 ，独立重复试验直到成功两次为止求试验次数的数学期望30 游客乘电梯从底层到顶层观光，电梯于每个整点的 5 分、25 分、55 分从底层上行，设一游客早上 8 点 X 分到达底层，且 X 在0，60上服从均匀分布，求游客等待时间的数学期望考研数学一（概率统计）模拟试卷 12 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 E(XC) 2一 E(X 一 )2=E(X2)一 2CE(X)+C2一E(X 2)一 2E(X)+2 =C2
8、+2E(X)E(X)一 C一E(X) 2=CE(X)20，选(B)【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 E(XY)=E(X)E(Y)，所以 Cov(X，Y)=0，又 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)，所以 D(X+Y)=D(X)+D(Y)，选(B)【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 B【试题解析】 D(aX+bY)=a 2D(X)+b2D(y)+2abCov(X，Y)， D(aX 一 bY)=a2D(X)+b2D(Y)一 2abCoy(X，Y)， 因为 D(aX+bY)=D(aX 一 bY)，所以 Cov(X，Y)=0，即 X，Y 不相关，选(B
9、)【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)，所以若 E(XY)=E(X)E(Y)，则有 Cov(X，Y)=0，于是 X，Y 不相关，选(D) 【知识模块】 概率统计5 【正确答案】 D【试题解析】 因为 E(XY)=E(X)E(Y)，所以 Coy(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)=0，而 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)，所以 D(X+Y)=D(X)+D(Y)，正确答案为(D)【知识模块】 概率统计6 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 概率统计二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 E
10、(X)= +xf(x)dx=10x(1+x)dx+01x(1 一 x)dx=0，【知识模块】 概率统计8 【正确答案】 【试题解析】 显然 XB【知识模块】 概率统计9 【正确答案】 15，【试题解析】 因为 E(X)=np，D(X)=np(1 一 p)，E(X 2)=D(X)+E(X)2=np(1 一 p)+n2p2，所以 np=5，np(1 一 p)+n2p2= 【知识模块】 概率统计10 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 概率统计11 【正确答案】 39【试题解析】 XB(12，05)， E(X)=6，D(X)=3，E(X 2)=D(X)+E(X)2=3+36=39【知识模块】
11、 概率统计12 【正确答案】 e 1【试题解析】 【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 46【试题解析】 由 D(X1)= =3，D(X 2)=4，D(X 3)=3 得 D(Y)=D(X 1 一2X2+3X3)=D(X1)+4D(X2)+9D(X3)=3+16+27=46【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 5，32【试题解析】 因为 XP(2)，所以 E(X)=D(X)=2，于是 E(Y)=4E(X)一 3=5，D(Y)=16D(X)=32【知识模块】 概率统计16 【正确答案】 02【试题解析】 【知识模块】 概率统计17 【
12、正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 【试题解析】 E(XY)=EX|X a|=01x|xa|f(x)dx=01x|xa|dx=【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 【试题解析】 Cov(U，V)=CoV(3X+2Y，3X2Y)=9CoV(X ，X) 4CoV(Y，Y)=9D(X)+4D(Y)=40D(Y)，由 X，Y 独立，得 D(U)=D(3X+2Y)= 9D(X)+4D(Y)=40D(Y)D(V)=D(3X2Y)= 9D(X)+4D(Y)=40D(Y)【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 1【试题解析】 D(Y)=4D(X)=36，CoV(X ，Y)
13、=CoV(X ，2X+3)=2CoV(X，X)+CoV(X，3)=2D(X)+CoV(X ，3) 因为 CoV(X，3)=E(3X) E(3)E(X)=3E(X) 3E(X)=0，所以 CoV(X，Y)=2D(X)=18，于是【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 36【试题解析】 Cov(X，Y)= =3，D(3X2Y)=9D(X)+4D(y)12 CoV(X，Y)=36【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 25【试题解析】 E(X2Y+3)=E(X)2E(Y)+3=2D(X2Y+3)=D(X2Y)=D(X)+4D(Y)4CoV(X，Y)由 CoV(X，Y)= 31=2，得D(X2Y+
14、3)=D(X)+4D(Y)4CoV(X，Y)=9+4+8=21，于是 E(X2Y+3) 2=D(X2Y+3)+E(X2Y+3) 2=21+4=25【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 概率统计24 【正确答案】 09【试题解析】 CoV(X，Y)= =0313=09【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。25 【正确答案】 令 Ai=第 i 个部件需要调整)(i=1，2，3)，X 的可能取值为0，1，2，3， P(X=3)=P(A1A2A3)=0006，P(X=2)=105040 3980006=0092，所以 X 的分布律为
15、E(X)=10398+20092+30006=06，D(X)=E(X 2)一E(X)2=120398+2 20092+3 20006036=046【知识模块】 概率统计26 【正确答案】 显然 YB(4，p)，其中 p=P(X3)=1 一 P(X3)，因为从而 p=1 一 Fx(3)=e1由 E(Y)=4e1，D(Y)=4e 1(1 一 e1)， 得 E(Y2)=D(Y)+E(Y)2=4e1 一 4e2+16e2=4e1+12e2【知识模块】 概率统计27 【正确答案】 (1)因为 P(A)=P(B)且 P(AB)=P(A)P(B)，所以令 P(A)=p， 【知识模块】 概率统计28 【正确答案】 X 的分布律为 P(X=k)=(1 一 p)k1p(k=1，2，)则 D(X)=E(X2)一E(X) 2=190100=90【知识模块】 概率统计29 【正确答案】 设试验的次数为 X，则 X 的分布律为【知识模块】 概率统计30 【正确答案】 【知识模块】 概率统计
