[考研类试卷]考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编4及答案与解析.doc
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1、考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 (02 年 )设函数 f()在闭区间a,b 上有定义,在开区间(a ,b) 内可导,则 【 】(A)当 f(a)f(b)0 时,存在 (a,b),使 f()0(B)对任何 (a,b),有 f()f()0(C)当 f(a)f(b)时,存在 (a,b),使 f()0(D)存在 (a,b) ,使 f(b)f(a) f()(ba) 2 (03 年 )设 f()为不恒等于零的奇函数,且 f(0)存在,则函数 g() 【 】(A)在 0 处左极限不存在(B)有跳跃间断点 0(C)在 0
2、处右极限不存在(D)有可去间断点 03 (04 年 )设 f()(1 ),则 【 】(A)0 是 f()的极值点,但(0,0)不是曲线 yf()的拐点(B) 0 不是 f()的极值点,但(0,0)是曲线 yf() 的拐点(C) 0 是 f()的极值点,且(0,0)是曲线 yf()的拐点(D)0 不是 f()的极值点,(0,0)也不是曲线 yf()的拐点4 (04 年 )设 f()在a,b上连续,且 f(a)0,f(b)0,则下列结论中错误的是 【 】(A)至少存在一点 0(a,b),使得 f(0)f(a)(B)至少存在一点 0(a,b),使得 f(0)f(b)(C)至少存在一点 0(a,b),
3、使得 f(0)0(D)至少存在一点 0(a,b),使得 f(0)05 (05 年 )当 a 取下列哪个值时,函数 f()2 39 212a 恰有两个不同的零点 【 】(A)2(B) 4(C) 6(D)86 (05 年 )设 f()sincos,下列命题中正确的是 【 】(A)f(0)是极大值,f( )是极小值(B) f(0)是极小值, f( )是极大值(C) f(0)是极大值, f( )也是极大值(D)f(0)是极小值,f( )也是极小值7 (05 年 )以下四个命题中,正确的是 【 】(A)若 f()在(0 ,1)内连续,则 f()在(0,1)内有界(B)若 f()在(0,1) 内连续,则
4、f()在(0,1)内有界(C)若 f()在(0,1) 内有界,则 f()在(0,1)内有界(D)若 f()在(0 ,1)内有界,则 f()在(0,1)内有界8 (06 年 )设函数 yf()具有二阶导数,且 f()0,f()0, )为自变量 )在点 0 处的增量, y 与 dy 分别为 f()在点 0 处对应的增量与微分,若 0,则 【 】(A)0dyy(B) 0 ydy(C) ydy0(D)dyy09 (06 年 )设函数 f()在 0 处连续,且 1,则 【 】(A)f(0)0 且 f (0)存在(B) f(0)1 且 f (0)存在(C) f(0)0 且 f (0)存在(D)f(0)1
5、且 f (0)存在10 (07 年) 设函数 f()在 0 处连续,下列命题错误的是 【 】(A)若 存在,则 f(0)0(B) 存在,则 f(0)0(C)若 存在,则 f(0)存在(D)若 存在,则 f(0)存在11 (07 年) 曲线 y ln(1e )渐近线的条数为 【 】(A)0(B) 1(C) 2(D)312 (07 年) 设某商品的需求函数为 Q1602p其中 Q,P 分别表示需求量和价格,如果该商品需求弹性的绝对值等于 1,则商品的价格是 【 】(A)10(B) 20(C) 30(D)4013 (10 年) 设函数 f(),g()具有二阶导数,且 g()0若 g(0)a 是 g(
6、)的极值,则 f(g()在 0 取极大值的一个充分条件是 【 】(A)f(a) 0(B) f(a)0(C) f(a)0(D)f(a) 0二、填空题14 (03 年) 设 f() 其导函数在 0 处连续,则 的取值范围是_15 (03 年) 已知曲线 y 33a 2b 与 轴相切,则 b2 可以通过 a 表示为b2_16 (06 年) 设函数 f()在 2 的某邻域内可导,且 f()e f(),f(2)1,则 f(2)_17 (07 年) 设函数 y ,则 y(n)(0)_18 (09 年) 设某产品的需求函数为 QQ(p) ,其对价格 P 的弹性 p02,则当需求量为 10000 件时,价格增
7、加 1 元会使产品收益增加_19 (10 年) 设某商品的收益函数为 R(p),收益弹性为 1P 3,其中 P 为价格,且R(1) 1,则 R(p)_20 (10 年) 若曲线 y 3a 21 有拐点(1,0),则 b_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 (03 年) 设 f() 试补充定义 f(1)使得 f()在 ,1上连续22 (03 年) 设函数 f()在0,3上连续,在(0,3) 内可导,且 f(0)f(1) f(2)3,f(3)1试证必存在 (0,3)使 f()023 (04 年) 求24 (04 年) 设某商品的需求函数为 Q1005P,其中价格 P(0,20)
8、,Q 为需求量 ( )求需求量对价格的弹性 Ed(Ed0); ()推导 Q(1 E d)(其中 R 为收益),并用弹性 Ed 说明价格在何范围内变化时,降低价格反而使收益增加25 (05 年) 求26 (06 年) 证明:当 0a b 时,bsinb2cosb6asina2cosaa27 (07 年) 设函数 yy()由方程 ylnyy0 确定,试判断曲线 yy()在点(1,1)附近的凹凸性28 (07 年) 设函数 f(),g()在a,b上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,又 f(a)g(a),f(b) g(b),证明:()存在 (a,b) ,使得 f()g() ;()存在
9、 (a,b),使得 f() g()29 (09 年)()证明拉格朗日中值定理:若函数 f()在a,b上连续,在(a,b)内可导,则存在 (a,b) ,使得 f(b)f(a) f()(ba) ()证明:若函数 f()在 0 处连续,在(0 ,)(0)内可导,且 f()A,则 f (0)存在,且 f (0)A 考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由于 f()在(a ,b) 内可导 (a,b),则 f()在 点可导,因而在 点连续,故 f()f()0【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D
10、【试题解析】 由于 f()为奇函数,则 f(0)0,从而 又 g() 在 0 处无定义,则 0 为 g()的可去间断点【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 由 f()(1) 知,f(0)0,而当 0,或 01 时,f()0,由极值的定义知 f()在 0 处取极小值又 则当 0 时,f()20;当 01 时,f()20,则(0,0)是曲线 yf() 的拐点,故应选C【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 由以上分析知,由 f(a)0 知,存在 0(a,b)使 f(0)f(a);由f(b) 0 知,存在 0(a, b),使 f(0)f(b),则选项 A、B 均不能选又
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