1、考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (96 年 )累次积分 f(rcos，rsin)rdr 可以写成 【 】（A）（B）（C） 01d01f(，y)dy（D）2 (99 年 )设 f(，y)连续，且 f(，y)y f(u，v)dudv其中 D 是由y0，y 2， 1 所围区域，则 f(，y)等于 【 】（A）y（B） 2y（C） y（D）y1二、填空题3 (15 年 )设函数 f()连续，() f(t)dt若 (1)1，(1)5，则 f(1)_4 (16 年 )极限 _5 (91 年 )设 ze siny，则
2、dz_6 (92 年 )交换积分次序 _7 (95 年 )设 zyf( )，f(u) 可导，则 zyz y_8 (00 年 )设 z ，其中 f，g 均可微，则 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 (16 年 )设函数 f() 01t 2 2dt( 0)，求 f()，并求 f()的最小值10 (87 年) 设 zarctan ，求 dz11 (87 年) 设 D 是由曲线 y 3 与直线 y 在第一象限内围成的封闭区域，求ddy12 (88 年) 设 ue uy，求 13 (88 年) 求 14 (89 年) 已知 zf(u，v)，uy，vy ，且 f(u，v)的二阶编导数
3、都连续，求15 (90 年) 计算二重积分 ddy，其中 D 是由曲线 y4 2 和 y9 2 在第一象限所围成的区域16 (90 年) 某公司通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入 R(万元)与电台广告费用 1(万元)及报纸广告费用 2(万元)之间的关系有如下经验公式： R1514 132 28 122 1210 22 (1)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略； (2)若提供的广告费用是 15 万元，求相应的最优广告策略17 (91 年) 计算二重积分 I yddy其中 D 是由 轴，y 轴与曲线 1 所围成的区域；a 0，b018 (91 年) 某厂家生产的
4、一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 p1 和 p2；销售量分别为 q1 和 q2；需求函数分别为 q 12402p 1，q 21005p 2 总成本函数为 C 3540(q 1q 2) 试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得总利润最大?最大利润为多少 ?19 (92 年) 设 zsin(y)(， )，求 ，其中 (u，v)有二阶连续偏导数20 (93 年) 设 zf(，y)是由方程 zye z-y-0 所确定的二元函数，求 dz21 (94 年) 计算二重积 (y)ddy ，其中 D(，y) 2y 2y1 22 (94 年) 已知 f(，y) 2arctan y 2arctan ，求
5、 23 (96 年) 设函数 zf(u)，方程 u(u) yp(t)dt 确定 u 是 ，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微；p(t)，(t)连续，且 (u)1求 24 (97 年) 设 uf(，y，z)有连续偏导数，yy()和 zz()分别由方程 eyy0和 ez0 所确定，求 25 (98 年) 设 z( 2y 2) ，求 dz 与 26 (98 年) 设 D(，y) 2y 2，求27 (99 年) 计算二重积分 yddy，其中 D 是由直线 2，y0，y2 以及曲线 所围成的平面区域28 (99 年) 设生产某种产品必须投入两种要素， 1 和 2 分别为两要素的投入量，Q为产出量；若
6、生产函数为 Q2 12，其中 ， 为正常数，且 1，假设两种要素的价格分别为 p1 和 p2，试问：当产量为 12 时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小?29 (00 年) 计算二重积分 ，其中 D 是由曲线 y a (a0)和直线 y围成的区域30 (00 年) 假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别为 p 1182Q 1，p 212Q 2 其中 P1 和 P2 分别表示该产品在两个市场的价格(单位：万元吨) ，Q 1 和 Q2 分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量，单位：吨)并且该企业生产这种产品的总成本函数是 C2Q 5 其中 Q 表示该产品在
7、两个市场的销售总量，即 QQ 1Q 2 (1)如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润； (2)如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 令 f(u，v)dudvA 则 f(，y) yA ，将 f(，y)yA 代入(*)式得 故 f(，y) y【知识模块】 微积
8、分二、填空题3 【正确答案】 2【试题解析】 () f(t)dt，由 (1)1 知 01f(t)dt1，又 () f(t)dt2 2f(2) 由 (1)5 知 5 01f(t)dt2f(1)12f(1) 则 f(1)2【知识模块】 微积分4 【正确答案】 sin1cos1【试题解析】 【知识模块】 微积分5 【正确答案】 e sinycosy(yddy) 【试题解析】 dzde sinye sinydsinye sinycosyd(y)e sinycosy(yddy)【知识模块】 微积分6 【正确答案】 【试题解析】 由原题可知积分域如图 211 所示，则【知识模块】 微积分7 【正确答案】
9、2z【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 当 01 时， f() 0t 2 2dt 1t 2 2dt 0(2t 2)dt 1(t2 2)dt 当 1 时，f() 01(2t 2)dt 2 所以 f() 而故 由 f()0 求得唯一驻点 ，又 f( )0，从而 为f()的最小值点，最小值为 【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 等式 ue uy 两边同时对 求导得 从而 ，同理可得上式两边再对 y 求
10、偏导得【知识模块】 微积分13 【正确答案】 交换积分次序得【知识模块】 微积分14 【正确答案】 由复合函数求导公式得 f u(u，v)yf v(u，v) f uu(u，v)f uv(u，v)f v(u，v)yf vu(u，v)yf vv(u，v) f uu(y)fuvyf vvf v【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 (1)利润函数 L( 1， 2)1514 1 3228 122 1210 22( 1 2) 根据问题本身最大值是存在的，则必在 10 75， 21 25 取最大值 (2)将 215 1 代入 L(1， 2)中，得 L(1) 394
11、12 令 L(1) 810，得 10， 215015【知识模块】 微积分17 【正确答案】 因此 令 t1 ，有 a(1t) 2， d2a(1t)dt 则 Iab 201(t4t 5)dt【知识模块】 微积分18 【正确答案】 利润函数为 L(p 1q1p 1q1)3540(q 1q 2) 32p 102p 1212p 2005p 221395 今 由问题的实际意义可知，当p180，P 2 120 时，厂家所获得的总利润最大，其最大利润为 605【知识模块】 微积分19 【正确答案】 由复合函数求导法知【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 由 2y 2
12、y1 得 令 rcos，y rsin ，则【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 方程 u(u)p(t)dt 两边分别对 和 y 求偏导，得 由上式解得 于是【知识模块】 微积分24 【正确答案】 由 eyy0 得 由 ez0 得 代入(*) 式得【知识模块】 微积分25 【正确答案】 【知识模块】 微积分26 【正确答案】 【知识模块】 微积分27 【正确答案】 【知识模块】 微积分28 【正确答案】 需要在产出量 21212 的条件下，求总费用 p11p 22 的最小值，为此作拉格朗日函数 F( 1， 2，)p 11p 22(122 12) 令 由(
13、1)和(2)得 将 1 代入(3)得 因驻点唯一，且实际问题存在最小值【知识模块】 微积分29 【正确答案】 【知识模块】 微积分30 【正确答案】 (1)根据题意，总利润函数为 L RCp 1Q1p 2Q2(2Q 5) 2Q 12Q 2216Q 110Q 25 令 解得 Q1 4，Q 25，则 p110(万元吨)，p27(万元吨) 因驻点(4，5) 唯一，且实际问题一定存在最大值，故最大值必在驻点处达到，最大利润为 L24 45 2164 105552(万元) (2)若实行价格无差别策略，则 p1p 2，于是有约束条件 2Q 1 Q26 构造拉格朗日函数 F(Q1，Q 2，)2Q 12Q 2216Q 110Q 25(2Q 1Q 26) 令 解得Q15，Q 24，2，则 p1p 28 最大利润L25 24 2165104549(万元) 由上述结果可知，企业实行差别定价所得总利润要大于统一价格的总利润【知识模块】 微积分
