[考研类试卷]考研数学三(微积分)模拟试卷100及答案与解析.doc
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1、考研数学三(微积分)模拟试卷 100 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=3x2+x2x,则使 f(n)(0)存在的最高阶数 n=(A)0(B) 1(C) 2(D)32 设 f(x)在 x=0 的某邻域连续且 f(0)=0, 则 f(x)在 x=0 处(A)不可导(B)可导且 f(0)0(C)有极大值(D)有极小值3 若 x f(x)+3xf(x)2=1 一 e-x 且 f(x0)=0(x00),则(A)(x 0,f(x 0)是曲线 y=f(x)的拐点(B) f(x0)是 f(x)的极小值(C) f(x0)不是 f(x)的极值, (x0,
2、f(x 0)也不是曲线 y=f(x)的拐点(D)f(x 0)是 f(x)的极大值4 曲线 渐近线的条数是(A)1(B) 2(C) 3(D)45 曲线的拐点有(A)1 个(B) 2 个(C) 3 个(D)4 个二、填空题6 设 y=aretanx,则 y(4)(0)=_7 74 的极大值点是 x=_,极小值点是x=_8 设 f(x)=xex,则 f(n)(x)在点 x=_处取极小值 _9 曲线 y=x2e-x2 的渐近线方程为_10 曲线 的渐近线方程为_11 曲线(x 一 1)3=y2 上点(5,8)处的切线方程是_12 曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为_13 设某商品
3、的需求量 Q 与价格 P 的函数关系为 Q=aPb,其中 a 和 b 是常数,且a0,则该商品需求对价格的弹性 =_14 设某商品的需求量 Q 与价格 P 的函数关系为 Q=1005P若商品的需求弹性的绝对值大于 1,则该商品价格 P 的取值范围是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求函数 F(x)=01(1 一 t)x 一 tdt(0x1)的凹凸区间16 证明:17 设 f(x)=2x3+3x2 一 12x+k,讨论 k 的取值对函数零点个数的影响18 设当 x0 时,方程 有且仅有一个解,求 k 的取值范围19 设 f(x)在a,+)上连续,在 (a,+)内可导,且
4、求证:存在 (a,+) ,使 f()=020 设 f(x)在0,1上连续,在 (0,1)内可导,且 f(0)=0求证:如果 f(x)在(0,1)内不恒等于零,则必存在 (0,1),使得 f()f()0 21 设 p(x)在区间 0,+)上连续且为负值y=y(x)在0,+)上连续,在(0,+)内满足 y+p(x)y0 且 y(0)0,求证:y(x)在0,+)单调增加22 证明23 设 x(0,1),证明不等式 xln(1+x)+aretanx 2x24 已知以 2 为周期的周期函数 f(x)在(一 ,+) 上有二阶导数,且 f(0)=0设 F(x)=(sinx 一 1)2f(x),证明存在 使得
5、 F(x0)=025 设 ba0,f(x)在a,b上连续,在(a ,b)内可导,f(a)f(b) ,求证:存在, (a,b)使得26 设 0x 1x 2,f(x)在x 1,x 2可导,证明:在(x 1,x 2)内至少存在一个 c,使得27 设 f(x)在a,b上连续,在(a,b) 内二次可导,且求证:存在 (a,b),使 f()028 设 f(x)在a,+)有连续导数,且 f(x)k0 在(a,+)上成立,又 f(a)0,其中 k 是一个常数求证:方程 f(x)=0 在 内有且仅有一个实根29 设 f(x)在 x=0 的某邻域内有连续的一阶导数,且 f(0)=0,f(0) 存在求证:30 设
6、a0,试确定方程 e2x=ax2 实根的个数及每个根所在的区间31 设生产某产品的固定成本为 c,边际成本 C(Q)=2aQ+6,需求量 Q 与价格 P 的函数关系为 Q= (dP),其中 a,b,c,d,e 都是正的常数,且 db求:(I)产量 Q 为多少时,利润最大?最大利润是多少?( )这时需求对价格的弹性是多少?()需求对价格的弹性的绝对值为 1 时的产量是多少?32 设某商品的需求量 Q 是单价 P(单位:元)的函数 Q=1200080P;商品的总成本C 是需求量 Q 的函数 C=25000+50Q;每单位商品需要纳税 2 元,试求使销售利润最大的商品单价和最大利润额33 求下列函数
7、带皮亚诺余项型至括号内所示阶数的麦克劳林公式:(I)f(x)=e xcosx(3阶);()34 求下列函数的带皮亚诺余项的麦克劳林公式:(I) ()f(x)=xln(1 一 x2)35 确定下列无穷小量当 x0 时关于戈的阶数:考研数学三(微积分)模拟试卷 100 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因 3x2 在(一,+)具有任意阶导数,所以 f(x)与函数 g(x)=x2x具有相同最高阶数的导数因 从而综合即得类似可得综合即得 g(0)存在且等于 0,于是 由于 g(x)在 x=0 不可导,从而 g(x)存在的最高阶导数
8、的阶数 n=2,即 f(x)存在的最高阶导数的阶数也是 n=2故应选 C【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 因 ,由极限的保号性质知, 由于 1cosx0当 0x时 f(x)0,又 f(0)=0,故 f(x)在 x=0 取得极小值故应选 D【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 由题设知 又由 f(x)存在可知 f(x)连续,再由 在 x=x00 附近连续可知 f(x)在 x=x0 附近连续,于是由f(x0)=0 及 f(x0)0 可知 f(x0)是 f(x)的极小值故应选 B【知识模块】 微积分4 【正确答案】 A【试题解析】 令 f(x)的定义域是(一,一
9、2)U(一 2,1)U(1,+),因 从而 x=1 与 x=一 2 不是曲线 y=f(x)的渐近线又因 故 是曲线 y=-f(x)的水平渐近线综合知曲线 y=f(x)有且只有一条渐近线选 A【知识模块】 微积分5 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)的定义域为( 一,一 1)(一 1, 1)(1,+),且在定义域内处处连续由令 f(x)=0,解得 x1=0,x 2=2;f(x)不存在的点是 x3=一 1,x 4=1(也是 f(x)的不连续点)现列下表:由上表可知,y 在 x1=0 与 x2=2 的左右邻域内凹凸性不一致,因此它们都是曲线y=f(x)的拐点,故选 B【知识模块】 微积分二、填空
10、题6 【正确答案】 0【试题解析】 因 y=arctanx 是奇函数,且 y 具有任何阶连续导数,从而 y,y是偶函数,y,y (4)是奇函数,故 y(4)(0)=0【知识模块】 微积分7 【正确答案】 极大值点 x=0;极小值点为【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 x 0 一(n+1)为 f(n)(x)的极小值点;极小值为 f(n)(x0)=一 e-(n+1)【试题解析】 由归纳法可求得 f(n)(x)=(n+x)ex,由 f(n+1)(x)=(n+1+x)ex=0 得 f(n)(x) 的驻点 x0=一(n+1)因为 f (n+2)(x) x=x0=(n+2+x)ex x=x
11、0=ex00, 所以 x0 一(n+1)为f(n)(x)的极小值点;极小值为 f(n)(x0)=一 e-(n+1)【知识模块】 微积分9 【正确答案】 y=0【试题解析】 函数 y=x2e-x2 的定义域是(一,+),因而无铅直渐近线又因故曲线y=x2e-x2 有唯一的水平渐近线 y=0【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【试题解析】 本题中曲线分布在右半平面 x0 上,因故该曲线无垂直渐近线又其中利用了当 故曲线仅有斜渐近线【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【试题解析】 由隐函数求导法,将方程(x 一 1)3=y2 两边对 x 求导,得 3(x 一 1)2=2yy令 z=5,y=8
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