1、考研数学三（微积分）模拟试卷 184 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 xa 处可导，且 f(a)0，则f(x) 在 xa 处( )（A）可导（B）不可导（C）不一定可导（D）不连续2 下列说法正确的是( )（A）f(x)在(a，b)内可导，若（B） f(x)在(a，b) 内可导，若（C） f(x)在(，)内可导，若（D）f(x)在(，) 内可导，若3 设 f(x)在 R 上是以 T 为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是( )（A） axf(t)dt（B） ax f(t)dt（C） x of(t)dt x0f(t)dt（D
2、） x xtf(t)dt二、填空题4 _5 设 f(x)x 2 ，则 f(x)_6 设 f(x，y)可微，f(1 ，2)2，f x(1，2)3，f y(1，2)4，(x)fx,f(x，2x)，则 (1)_7 _8 设 f(u，v)一阶连续可偏导，f(tx ，ty)t 3f(x，y)，且 fx(1，2)1，f y(1，2)4，则 f(1，2)_9 微分方程 yxe y 0 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 确定常数 a，b，c ，使得 c11 设 an A，证明：数列a n)有界12 求 13 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，f(0) 0，f(
3、)1，f(1)0证明：(1)存在 ( ，1)，使得 f()；(2)对任意的 k( ，)，存在 (0，)，使得 f()kf()114 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二阶可导，f(a)f(b)0，且 f (a)0证明：存 在 (a，b) ，使得 f()015 就 k 的不同取值情况，确定方程 x33xk0 根的个数16 设 f(x)在0，1连续可导，且 f(0)0证明：存在 0，1，使得 f()2 01f(x)dx17 设 an tannxdx(n2)，证明： 18 设 f(x)C0，1，f(x)0证明积分不等式：ln 01f(x)dx01lnf(x)dx19 设 z(x 2y 2)
4、sec2，求20 计算 (x2y 2)dxdy，其中 D(x，y)x 2y 24，x 2y 22x21 设 f(x)在0，1上连续且单调减少，且 f(x)0证明：22 设 f(x)在( ，) 内一阶连续可导，且 1证明：收敛，而 发散23 设 an ，对任意的参数 ，讨论级数 的敛散性，并证明你的结论24 一条曲线经过点(2，0)，且在切点与 y 轴之间的切线长为 2，求该曲线25 早晨开始下雪整天不停，中午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午 2 点扫雪 2km，到下午 4 点又扫雪 1 km，问降雪是什么时候开始的?考研数学三（微积分）模拟试卷 184 答案与解析一、选择题下列每
5、题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 不妨设 f(a)0，因为 f(x)在 xa 处可导，所以 f(x)在 xa 处连续，于是存在 0，当xa 时，有 f(x)0，于是f(a)，即f(x)在 xa 处可导，同理当 f(a)0 时，f(x)在 xa 处也可导，选(A)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 设 f(x) f(x)，f(x)时，f(x)0，其中 kZ，则 f(x)， (A)不对。设 f(x) f(x)0，(B)不对；设 f(x)x， f(x)，但 f(x)1， f(x)1，(C)不对，选(D)【知识模块】 微积分3 【正确答案
6、】 D【试题解析】 设 (x) x xtf(t)dt2 0xtf(t)dt， (xT)2 0xT (t)dt2 0xtf(t)2 xx Ttf(t)dt(x)，选(D)【知识模块】 微积分二、填空题4 【正确答案】 ln2【试题解析】 e 3a，由e3a8，得 aln2【知识模块】 微积分5 【正确答案】 2x(14x)e 8x【试题解析】 得f(x)2xe 8x 8x2e8x2x(14x)e 8x【知识模块】 微积分6 【正确答案】 47【试题解析】 因为 (x)f xx，f(x，2x) f yx，f(x ，2x)f x(x，2x)2f y(x，2x)， 所以 (1)f x1，f(1，2)f
7、 y1，f(1，2)f x(1，2)2f y(1，2) 34(38)47【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 3【试题解析】 f(tx，ty) t3f(x，y)两边对 t 求导数得 xfx(tx，ty) yf(tx ，ty)3t 2f(x，y)， 取 t1，x 1，y2 得 fx(1，2)2fy(1，2)3f(1，2)，故 f(1，2)3【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 所以原方程的通解为 ey 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】
8、取 01，因为 anA，根据极限定义，存在 N0，当 nN时，有a n A1，所以a n A1取Mmaxa 1，a 2，a N，A1)，则对一切的 n，有a nM【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 (1)令 (x)f(x) x，(x)在0，1 上连续， 0，(1)10，由零点定理，存在 ( ，1)，使得 ()0，即 f() (2) 设 F(x)e kx (x)，显然 F(x)在0，上连续，在(0，)内可导，且 F(0)F()0，由罗尔定理，存在 (0，) ，使得 F()0，整理得 f()kf() 1【知识模块】 微积分14 【正确答案】 因为 f (
9、a)，所以存在 0，当 0xa时，有 0，从而 f(x)f(a)，于是存在 c(a，b)，使得 f(c)f(a)0由微分中值定理，存在 1(a，c) ， 2(c，b)，使得再由微分中值定理及 f(x)的二阶可导性，存在 (1， 2) (a，b)，使得【知识模块】 微积分15 【正确答案】 令 f(x)x 33xk， f(x)， f(x)由 f(x)3x 230，得驻点为 x11，x 21f(x)6x，由 f(1)6，f(1)6，得 x11，x 21 分别为 f(x)的极大值点和极小值点，极大值和极小值分别为f(1)2k，f(1)k2(1)当 k2 时，方程只有一个根； (2)当 k2 时，方程
10、有两个根，其中一个为 x1，另一个位于(1，)内；(3)当2k2 时，方程有三个根，分别位于(，1)，(1，1)，(1，)内；(4)当 k2 时，方程有两个根，一个位于(，1)内，另一个为 x1；(5)当 k2 时，方程只有一个根【知识模块】 微积分16 【正确答案】 因为 f(x)在区间0,1上连续，所以 f(x)在区间0,1上取到最大值M 和最小值 m，对 f(x)f(0) f(c)x（其中 c 介于 0 与 x 之间）两边积分得 01f(x)dx 01f(c)xdx， 由 mf(c)M 得 m01xdx01f(c)xdxM01xdx， 即 m201f(c)xdxM或 m201f(x)dx
11、M， 由介值定理，存在 0，1，使得 f()2 01f(x)dx【知识模块】 微积分17 【正确答案】 a na n 2 (1tan 2x)tannxdx tannxd(tanx)，同理 ana n2 因为 tan2x，tan n2 在0， 上连续，tan xtann2 x，且 tannx，tan n2 x 不恒等，所以xdx，即 ana n2 ，于是 a na n2 2a n，即 an【知识模块】 微积分18 【正确答案】 令 g(t) lnt(t0)，g(t) 0，再令 x0 01f(x)dx，则有 g(f)g(x0)g(x 0) gf(x)g(x0)g(x 0)f(x)x 0，两边积分，
12、得 01lnf(x)dxln01f(x)dx【知识模块】 微积分19 【正确答案】 由 z2sec2(xy)ln(x 2y 2) sec2(xy)，2sec2(xy)tan(xy)ln(x 2y 2) sec2(xy)【知识模块】 微积分20 【正确答案】 (x2y 2)dxdy (x2y 2)dxdy (x2y 2)dxdy 而(x2y 2)dxdy02d02r3dr8 (x2 y2)dxdy所以 (x2y 2)dxdy 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 等价于 01f2(x)dx01xf(x)dx01f(x)dx01xf2(x)dx，等价于 01f2(x)dx01yf(y)dy01f
13、(x)dx01yf2(y)dy，或者 01dx01yf(x)f(y)f(x)f(y)dy0 令 I 01dx01yf(x)f(y)f(x)f(y)dy，根据对称性，I 01dx01xf(x)f(y)f(y)f(x)dy，2I 01dx01f(x)f(y)(yx)f(x) f(y)dy，因为 f(x)0 且单调减少，所以(y x)f(x)f(y)0，于是 2I0，或 I0，【知识模块】 微积分22 【正确答案】 由 1 得 f(0)0，f(0)1，于是因为 f(x)f(0)1，所以存在 0，当x 时，f(x)0，于是存在 N0，当 nN 时， ，由莱布尼兹审敛法知 收敛，因为发散【知识模块】 微
14、积分23 【正确答案】 由ana n2 sec2xtannxdx ，a na n2 sec2xtann2 xdx ，得(1)当 0 时，因为级数 收敛，所以级数 收敛；(2)当 0 时，因为级数 发散，所以级数 发散【知识模块】 微积分24 【正确答案】 曲线在点(x，y)处的切线方程为 Yyy(Xx)，令 X0，则Yyxy，切线与 y 轴的交点为(0，yxy) ，由题意得 x2x 2y24，解得 y，变量分离得 dy dx，积分得因为曲线经过点(2，0)，所以C0，故曲线为 y 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 设单位面积在单位时间内降雪量为 a，路宽为 b，扫雪速度为 C，路面上雪层厚度为 H(t)，扫雪车前进路程为 S(t)，降雪开始时间为 T，则 H(t)a(tT)，又 bH(t)sct，【知识模块】 微积分
