1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 138 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABC=E，其中 E 为 n 阶单位矩阵，则必有( )（A）ACB=E（B） CBA=E（C） BAC=E（D）BCA=E2 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则( )（A）当 mn 时，必有行列式|AB|0（B）当 mn 时，必有行列式|AB|=0（C）当 nm 时，必有行列式|AB|0（D）当 nm 时，必有行列式|AB|=03 要使 1= 都是线性方程组 AX=0 的解，只要系数矩阵 A 为( )二、填空题4 5 方程 f
2、(t)= =0 的实根为_6 7 设 为 3 维列向量， T 是 的转置，若 T= ，则 T=_8 设 A 是 43 矩阵，且 r(A)=2，B= ，则 r(AB)=_9 曲面 x12+x22+x32+4x1x2+4x1x3+4x2x3=0 的标准方程是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 求下列行列式的值：10 11 11 计算下列 n 阶行列式的值，(其中未写出的元素均为 0)：12 13 14 15 16 设有矩阵 Amn，B nm，已知 EmAB 可逆，证明：E BA 可逆，且(E nBA)1 =En+B(EmAB) 1 A17 设 n 阶矩阵 A 满足 AAT=I，
3、其中 I 为 n 阶单位矩阵，且 |A|0，求|A+I|18 设向量组 1， 2， 3 线性相关，向量组 2， 3， 4 线性无关，问： (1) 1 能否由2， 3 线性表示 ?证明你的结论 (2) 4 能否由 1， 2， 3 线性表示?证明你的结论19 已知 i=(i1， i2， in)T(i=1，2，r；r n) 是 n 维实向量，且1， 2， r 线性无关已知 =(b1，b 2，b n)T 是线性方程组的非零解向量试判断向量组 1， 2， r， 的线性相关性20 问 为何值时，线性方程组 有解，并求出解的一般形式21 设 A*为 n 阶方阵 A 的伴随矩阵(n2)证明：22 已知(1 ，
4、1，1，1) T 是线性方程组 的一个解，试求(1)该方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；(2)该方程组满足 x2=x3 的全部解23 设 3 阶矩阵 A 的特征值为1，1，1，对应的特征向量分别为 (1，1，1)T， (1，0， 1)T，(1，2，4) T求 A10024 设 A 为 n 阶非零方阵，且存在某正整数 m，使 Am=O求 A 的特征值并证明 A不与对角矩阵相似24 设 n 维实向量 =(a1，a 2，a n)T0，方阵 A=T25 证明：对于正整数 m，存在常数 t，使 Am=tm1 A，并求出 t；26 求可逆矩阵 P，使 P1 AP 成对角矩阵27
5、 设 c1，c 2，c n 均为非零实常数，A=(a ij)nn 为正定矩阵，令bij=aijcicj(i，j=1，2，n) ，矩阵 B=(bij)nn，证明矩阵 B 为正定矩阵考研数学三（线性代数）模拟试卷 138 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由题设条件 A(BC)=E，知 A 与 BC 互为逆矩阵， BCA=E【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 当 mn 时，有 r(AB)r(A)nm ，故 m 阶方阵 AB 为降秩方阵，即|AB|=0或解：当 mn 时，方程组 BX=0 中的方程个数 n 小
6、于未知量个数 m，故 BX=0 有非零解，从而方程组(AB)X=0 有非零解 |AB|=0【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 此时基础解系至少含 2 个向量( 1 及 2)，故有 3r(A)2，因而 r(A)1，故只有 A 正确【知识模块】 线性代数二、填空题4 【正确答案】 (a 1a4b 1b4)(a2a3b 2b3)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 t=6【试题解析】 注意行列式各行元素之和均等于 6t，f(t)=(t6)(t 2+3)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 3【试题解析】 T=a12+a22+a32=1+
7、1+1=3【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 2【试题解析】 因 B 为满秩方阵，故 r(AB)=r(A)=2【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 5y 12y 22y 32=1【试题解析】 A= 的特征值为 1=5， 2=3=1，曲面的标准方程为5y12y 22y 32=1【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 160【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 -10【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 (1) n1 (n1) n2 先将第 2 行的(1)倍加到第 i 行(i=3，n)，再
8、按第 1 列展开，并把(2，1)元素的余子式的第 2，3，n1列都加到第 1 列，则得上三角行列式【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 (x1)(x2)(x n+1) 将第 1 行的(1)倍加到第 i 行(i=2，3，n)，得上三角行列式【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 n!(1+x+ )先把第 1 行的(1)倍加到第 i 行(i=2，3，n)，再把第 j 列的 1j 倍加到第 1 列(j=2，3，n)，则得上三角行列式【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 n+1按第 1 行展开，并将(1，2)元素的余子式按第 1 列展开，得递推公式 Dn=2Dn1 D n 2， Dn=Dn1
9、 =Dn1 D n2 ，由此可得DnD n1 =Dn1 D n2 =D2D 1=1， Dn=1D n1 =2+Dn2 =(n2)+D2=n+1【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 只要验证(E nBA)E n+B(EmAB) 1 A=En【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 |A+I|=|A+AA T|=|A(I+AT)|=|A|I+AT|=|A|(I+AT)T|=|A|I+A|=|A|A+I| (1|A|)|A+I|=0 ，又 1|A| 0 |A+T|=0【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 (1)能由 2， 3 线性无关，而 1， 2， 3 线性相关即可证明(2)不能否则， 4
10、 能由 1， 2， 3 线性表示，由(1)知 1 能由 2， 3 线性表示 i能由 2， 3 线性表示，这与 2， 3， 4 线性无关矛盾【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 由题设条件有 Ti=0(i=1，2，r)设 k11+krr+kr+1=0 (*)两端左乘 T，得 kr+1T=0，又 0， T=2 0，故 kr+1=0 代入(*) 式，得k11+krr=0，又 1， r 线性无关，所以有 k1=kr=0，因此 1， r，线性无关【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 当且仅当 =1 时有解，通解为 x=(1，1，0) T+c(1，2，1) T【知识模块】 线性代数21 【正确答案
11、】 当 r(A)=n 时，|A|0，|A *|=|A|n1 0， r(A*)=n；当 r(A)=n1 时，A 中非零子式的最高阶数为 n1，故 A*O， r(A*)1，又 A*A=|A|E=O，A 的每一列都是力程组 A*x=0 的解向量，故 A*x=0 至少有 r(A)=n1 个线性无关解，从而有 nr(A *)n1 r(A*)1，以上两方面说明 r(A*)=1；当 r(A)n1 时，A 的每个 n1 阶子式即每个元素的余子式都为零，故 A*=O r(A*)=0【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 将解向量 x=(1，1，1，1) T 代入方程组，得 =，对方程组的增广矩阵施行初等行变换
12、：(1)当 12时，有 因 r(A)=r( )=3 4，故方程组有无穷多解，全部解为 x=(0，12，12，0) T+k(2，1，1，2) T，其中 k 为任意常数当=12 时，有 因 r(A)=r( )=24，故方程组有无穷多解，全部解为 x=(12，1，0，0) T+k1(1，3，1，0) T+k2(1，2，0，2) T，其中k1，k 2 为任意常数(2)当 12 时，由于 x2=x3，即 k，解得k=12 ，故此时，方程组的解为 x=(0，12，1 2，0) T+ (2，1，1，2)T=( 1，0，0，1) T当 =12 时，由于 x2=x3，即 13k 12k 2=k1，解得k2= =
13、2k1，故此时全部解为 x=(12，1，0，0) T+k1(1，3，1，0) T+( 2k 1)(1， 2，0，2) T=(1，0，0，1) T+k1(3，1，1， 4)T【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 因为 A 有 3 个线性无关特征向量，故 A 可相似对角化令则 P 可逆，且使 于是有 A100=PEP1 =E【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 1=2= n=0，(0EA)x=0 的基础解系最多含 n1 向量即 n阶方阵 A 最多有 n1 个线性无关特征向量，故 A 不相似于对角阵【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 A m=(T)(T)( T)=
14、(T)m1 T=(T)m1 (T)=( ai2)m1 A=tm1 A，其中 t= ai2【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 AO， 1r(A)=r(T)r()=1， r(A)=1，因为实对称矩阵 A 的非零特征值的个数就等于 A 的秩，故 A 只有一个非零特征值，而有 n1 重特征值1=2= n 1=0，计算可得属于特征值 0 的线性无关特征向量可取为(设 a10)：1=(a 2a 1，1，0， 0)T， 2=(a 3a 1，0，1 ，0)T， ， n1 =(a na 1，0，0，1) T由于 A 的全部特征值之和等于 A 的主对角线元素之和 ai2，故得 A 的唯一的非零特征值为 n= ai2=T，且由 A=(T)=(T)=n=n 可得 为对应于 n 的一个特征向量令矩阵 P=1 n1 ，则有 P1 AP=diag(0，0，0， ai2)为对角矩阵【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 令矩阵 则 C 可逆，注意用对角矩阵 C 左(右)乘矩阵 A，等于用 C 的主对角线元素依次乘 A 的各行(列)，于是有=CAC=CTAC。即 B 与正定阵 A 合同，故 B 正定(事实上， xRn，x0，由 C 可逆知 Cx0，再由 A 正定知(Cx) TA(Cx)0，即xT(CTAC)x=xTBx0，故 B 正定)【知识模块】 线性代数
